Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1977

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

4.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

При изгибе мембран основную роль в восприятии поперечной нагрузки играют усилия растяжения (а также сдвига) в срединной поверхности. Эти усилия, называемыемембранными, создаютпроекциюна вертикальнуюось

итем самым уравновешивают внешнюю поперечную нагрузку.

Утонких жёстких пластинок основную роль в сопротивлении внешним нагрузкам играют изгибные силовые факторы. Деформациями в срединной поверхности и мембранными усилиями в этом случае можно пренебречь.

Тонкая гибкая пластинка одновременно работает и на изгиб, и как мембрана. Значимость изгибных силовых факторов и мембранных усилий становится одного порядка

Далее мы будем рассматривать вопросы расчёта тонких жёстких пластин на изгиб.

§10.1. Основные гипотезы и допущения

Тонкие жёсткие пластинки рассчитывают по приближённой теории – технической теории изгиба пластинок, основанной на гипотезах, предложенных немецким физиком Г. Кирхгофом. При изложении теории изгиба тонких жёстких пластинок будем в основном придерживаться работ

[1]и [34].

1.Гипотеза прямых нормалей: любой прямолинейный элемент, нормальный к срединной плоскости до деформации, остаётся прямолинейным и нормальным к срединной поверхности и после деформирования пластинки, и длина его не изменяется.

Влокальнойсистемепрямоугольныхдекартовыхкоординат, координатная плоскость XOY которой привязана к срединной поверхности пластинки, гипотеза прямых нормалей предполагает, что прямые углы между направлением рассматриваемого прямолинейного элемента и осями OX и OY не меняются в процессе изгиба пластинки, то есть остаются прямыми. Следовательно, сдвиги между слоями пластинки, параллельными срединной плоскости, отсутствуют, или, по крайней мере, настолько малы, что их можно не учитывать:

zx 0;

zy 0.

(10.1)

Гипотеза о сохранении длины прямолинейного элемента предполагает, что линейная деформация в направлении оси Z (по толщине пластинки) отсутствует или настолько мала, что ею можно пренебречь:

z=0.

(10.2)

2. Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластинки, параллельными срединной плоскости: слои пластинки, параллельные срединной плоскости, при её изгибе не давят друг на друга.

161

Эта гипотеза позволяет пренебрегать напряжением z ввиду его малости, то есть, по сути, принимается, что

z 0.

(10.3)

3. Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: в срединной плоскости отсутствуют деформации растяжения, сжатия и сдвига, то есть она является нейтральной, и её перемещения в направлении осей X и Y равны нулю, то есть

u0 0,

v0 0 .

(10.4)

Третья гипотеза носит характер ограничения ввиду малости вертикальных прогибов пластинки, что означает, что мембранными усилиями в пластинке можно пренебречь.

§10.2. Перемещения, деформации и напряжения в пластинке

На основании геометрических соотношений (2.12) и первой гипотезы Г. Кирхгофа (соотношение (10.2)) получаем:

z	w	0 , то есть w w x, y .	(10.5)
	z

Это означает, что перемещения точек пластинки в направлении оси OZ не зависят от координаты z. Другими словами, все точки пластинки, лежащие на одной вертикали, в результате деформации получают одинаковые перемещения в направлении оси OZ .

Рассмотрим далее соотношения (10.1):

zx	w	u	0;		zy		w	v	0.
	x	z					y	z
Отсюда
	u		w	;	v	w .
	z		x		z		y

Проинтегрируем полученные зависимости по координате z . В результате, принимая во внимание соотношение (10.5), получим:

	u z w c x, y ;			v z w c			x, y .	(а)
	x	1			y	2
	x				y
Постоянные интегрирования			c1 x, y		и c2 x, y (постоянные			по
отношению к переменной z) найдём на основании третьей гипотезы:
 при z 0	имеем u u0 0 , то есть c1 x, y 0 ;

162

 при z 0 имеем v v0 0 , то есть c2 x, y 0 .

Тогда перемещения (а) в пластинке будут определяться по формулам

u z	w	u x, y, z ;	v z	w	v x, y, z .	(10.6)
	x			y

Деформации найдём, используя геометрические соотношения (2.12):

x	u	z	2w		x x, y, z ;
	x			x2
y	v	z	2w		y x, y, z ;			(10.7)
	y			y2
xy	u	v		2z		2w	xy x, y, z .
xy	y	v		2z			xy x, y, z .
	y	x				x y

Таким образом, соотношения (10.7), с учётом зависимостей (10.1) и (10.2), определяют все компоненты тензора деформации.

Из соотношений (10.6) и (10.7) следует, что и перемещения, и деформации в пластинке выражены через функцию прогибов w x, y

срединной поверхности.

В соответствии со второй гипотезой (10.3) нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной плоскости пластинки, равны нулю. В этом случае остальные компоненты тензора напряжений можно найти из физического закона в форме, аналогичной форме Ляме (3.13). С учётом первой и второй гипотез Кирхгофа получим:

Здесь G	E	;
	2 1

x 2G п x п y ;

y 2G п y п x ;

z x y 0;

xy G xy ;

yz G yz 0;

zx G zx 0.

п 1 E1 .

(10.8)

(10.9)

Всоотношениях(10.8) равенства(10.83), (10.85) и(10.86) полученылишь вследствие принятых гипотез. При этом из уравнений равновесия (1.17), без учёта объёмных сил, выполняться будет лишь соотношение (1.173).

Вдействительности касательные напряжения yz и xz не равны нулю,

иих отличные от нуля значения можно найти из первого и второго уравнений равновесия. Но тогда третье уравнение равновесия будет

163

выполняться, если напряжение z будет отличным от нуля; его, отличное

от нуля значение найдём из третьего уравнения равновесия.

Используя выражения для деформаций (10.7), запишем выражения для напряжений x , y и xy :

x 2G п		z		2w	пz	2w	;
				x2		y2
y 2G п		z		2w	пz	2w	;	(10.10)
				y2		x2
xy 2Gz	2w		.
xy 2Gz	x y		.
	x y

Пренебрегая объёмными силами, из первого уравнения соотношений равновесия (1.17) находим

Подставим сюда напряжения из формул (10.10):

zx 2G п z 3w

пz

2Gz

x y2

После упрощений получаем:

2G п z

или

2G п z

2w.

Полученное соотношение проинтегрируем по координате z :

2G п z2

2w c

x, y .

(б)

Постоянную интегрирования c3 x, y (постоянную по отношению к

переменной z) найдём из граничных условий на верхней либо нижней поверхности пластинки, полагая, что на пластинку действует только нормальнаякеёсрединнойповерхностинагрузка, акасательнаянагрузкапо верхней либо нижней поверхности пластинки отсутствует. Итак,

 при z h2 касательные напряжения zx 0, zy 0.

164

С учётом этих условий, из формулы (б) найдём c3 x, y 2G 8 п h2 x 2w .

Подставляя постоянную интегрирования c3 x, y в формулу (б), получаем:

zx	2G п h2		z	2		2	w .	(10.11)

	2	4			x

Рассматривая аналогичным образом второе уравнение из соотношений равновесия (1.17), находим

zy	2G п h2		z	2		2	w.	(10.12)

	2	4			y

Теперь рассмотрим третье уравнение из соотношений равновесия (1.17) и найдём оттуда напряжение z . Имеем:


												zz					xxz		yz			.
												zz					xxz		y			.
Подставим в формулу (в) напряжения из формул (10.11) и (10.12):
	z	2G п h2							z		2				2		w	2G п						h2		z		2				2	w.

		2					4						x	2					2											y	2
z		2					4						x	2					2					4						y	2
После элементарных преобразований получим:
				z		2G п					h2			z		2				2	w					2	w
																													,
								2					4					x2						y2					,
		z						2					4					x2						y2
или										2G п						h2			2
								z		2G п						h2		z	2		2		2		w .
								z					2					z							w .
						z							2			4
Проинтегрируем соотношение (е) по координате z:
					2G п							h2		z		z3		2 2w c							x, y .
			z		2G п									z				2 2w c							x, y .
			z					2					4										4
								2					4				3

(в)

(г)

(д)

Постоянную интегрирования c4 x, y (постоянную по отношению к переменной z) найдём из граничных условий на нижней поверхности

пластинки при z h2 , полагая, что на нижней поверхности пластинки

внешняя нормальная к поверхности пластинки нагрузка отсутствует. Итак, 165

 при z h нормальное напряжение

0 .

Из формулы (д) при этом найдём:

c x, y 2G п h3

2 2w.

Подставивпостояннуюинтегрирования c4 x, y вформулу(д), получим:

z 2G п h3 3h2z 4z3 2 2w.

(10.13)

Итак, выпишем формулы для вычисления компонент тензора напря-

жений в тонких жёстких пластинках:

x 2G п z

пz

;

y 2G п z

пz

;

xy 2Gz

x y

(10.14)

2G п

2G п h3

3h2 z 4z3 2 2w.

Вформулах(10.14) всенапряжениявыраженычерезпрогибысрединной

поверхности пластинки w x, y

На рис. 51 показаны эпюры напряжений по толщине пластинки, действующих в сечениях, перпендикулярных её срединной плоскости. Напряжения x , y и xy yx изменяются по толщине пластинки по

линейномузакону, обращаясьв нуль насрединнойповерхностиипринимая экстремальные значения в точках на верхней и нижней поверхностях пластинки. Касательные напряжения zx xz и zy yz распределяются по

толщине пластинки по закону квадратной параболы, обращаясь в нуль на верхней и нижней поверхностях пластинки и принимая максимальные значения на уровне срединной поверхности. Нормальное напряжение z ,

действующее на площадках, перпендикулярных оси OZ , согласно формуле (10.143) изменяется по толщине пластинки по закону кубической параболы, принимая нулевое значение на нижней поверхности пластинки.

166

Рис. 51

§10.3. Внутренние усилия в пластинке

Для определения внутренних усилий, возникающих в сечениях пластинки, нормальных к её срединной поверхности, и соответствующих напряжениям (10.14), вырежем из пластинки элементарный столбик высотой, равной толщине пластинки h , и размерами в плане dx и dy (рис.

52). На боковых гранях этого столбика на расстоянии z от срединной поверхности выделим элементарные полоски (площадки) с размерами dxdz и dydz . На площадке dydz , перпендикулярной к оси OX , действуют

нормальное напряжение x и касательные напряжения xy и xz . На

площадке dxdz , перпендикулярной к оси OY , действуют нормальное напряжение y и касательные напряжения yx и yz .

Рис. 52

167

Далее рассмотрим боковую грань элементарного столбика, перпендикулярную к оси OX . Совокупности напряжений x , xy и xz , действу-

ющих на элементарных площадках (полосках) на этой грани величиной

dAx dydz ,	соответствует	совокупность	внутренних	усилий
N x , M x , Qx , Sx и H x .				оси OX
Здесь Nx	нормальная сила, действующая в направлении			оси OX
	перпендикулярно к рассматриваемой грани элементарного
	столбика. Её величина будет определяться интегралом:
		Nx xdAx .		(10.15)
		Ax

M x изгибающий момент, поворачивающий рассматриваемую

грань элементарного столбика вокруг оси OY , то есть действующий навстречу оси OX . Величина изгибающего момента будет определяться интегралом:

M x x zdAx .	(10.16)
Ax

Qx поперечная сила, действующая в плоскости рассматриваемой

грани элементарного столбика в направлении оси OZ . Величина поперечной силы будет определяться интегралом:

Qx xzdAx .	(10.17)
Ax

S x сдвигающаясила, действующаявплоскостирассматриваемой

грани элементарного столбика в направлении оси OY . Величинасдвигающейсилыбудетопределятьсяинтегралом:

Sx xydAx .	(10.18)
Ax

H x крутящий момент, поворачивающий рассматриваемую грань

элементарного столбика вокруг оси OX , то есть действующий навстречу оси OY . Величина крутящего момента будет определяться интегралом:

Hx xy zdAx .	(10.19)
Ax

В формулах (10.15)–(10.19) величина Ax hdy .

Поскольку в любом вертикальном сечении пластинки внутренние усилия в общем случае распределены неравномерно, то мы будем рассматриватьвнутренниеусилия, приходящиесянаединицудлины. Вэтом случае dx 1 и dy 1. Но тогда величина элементарной площади dAx dz

168

и площадь боковой поверхности столбика Ax h . Следовательно,

расчётные интегралы (10.15)–(10.18) с учётом соотношений (10.14) будут равны:

w2 п

Nx xdz

zdz

w2 п

2G п

zdz 0;

M x x zdz

2G п

2 п

;

xzdz

wdz

2G п

2w;

12 x

xydz

2Gz

zdz 0;

x y

2 2w

H x

xy zdz

2Gz

dz 2G

x y

169

Рассматривая далее боковую поверхность элементарного столбика, перпендикулярную к оси OY , можно по аналогии получить величину внутренних усилий N y , M y , Qy , Sy и H y , действующих по этой грани.

Итак, под действием поперечной нагрузки в сечениях пластинки, перпендикулярных её срединной плоскости, возникают следующие внутренние усилия:

– изгибающие моменты

;

M x 2G п

(10.20)

;

M y 2G п

– поперечные силы

Qx 2G п h2

2w;

12 x

(10.21)

Qy 2G п h2

2w;

12 y

– крутящий момент

Hx H y H 2G

(10.22)

12 x y

Все внутренние усилия выражены через прогибы срединной поверхности пластинки. Положительные направления указанных усилий показаны на рис. 53.

Отметим, что поскольку все внутренние усилияявляютсяраспре-

делёнными, приходящимися на единицу длины, то единицы их изме-

рения будут следующими:


	M x M y
Рис. 53	H	1 H 1 м					1 H;
	H		1	м			1 H;

					1 H			.

	Qx Qy					1 м
						1 м

170

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20243.98 Mб31972.pdf
#
16.06.20243.99 Mб01973.pdf
#
16.06.20243.99 Mб01974.pdf
#
16.06.20243.99 Mб01975.pdf
#
16.06.20244 Mб21976.pdf
#
16.06.20244.01 Mб11977.pdf
#
16.06.20244.01 Mб11978.pdf
#
16.06.20244.01 Mб01979.pdf
#
16.06.2024225.53 Кб0198.pdf
#
16.06.20244.02 Mб01980.pdf
#
16.06.20244.03 Mб01981.pdf