1977

Здесь для случая плоской деформации ' ; z 0 ; для случая

Уравнение неразрывности деформаций

Уравнение неразрывности деформаций для плоской задачи (7.10) или (7.23) в полярной системе координат будет иметь вид:

Перейдём в уравнении (8.11) от дифференцирования по декартовым координатам x и y к дифференцированию по полярным координатам r и .

Рассмотрим некоторую функцию r, и выразим её частные

производные по декартовым координатам в полярных координатах, учитывая, что декартовы и полярные координаты связаны между собой соотношениями (8.1).

По правилу дифференцирования сложной функции

Перейдём к отысканию вторых производных. Применяя к производнымx и y опять правило дифференцирования сложной функции, будем иметь:

141

Подставив производные (г) в соотношения (в) и выполнив приведение подобных слагаемых, получим:

142

уравнение неразрывности деформаций (8.11) в полярной системе координат:

запишем уравнение неразрывности деформаций в терминах напряжений (7.33) – уравнение Леви – в полярной системе координат:

Подводя итог сказанному, отметим, что общая система уравнений плоской задачи теории упругости в полярных координатах представляется:

геометрическими соотношениями – (8.6);

статическими уравнениями – (8.7);

физическими зависимостями – (8.9) или (8.10).

При этом решение плоской задачи теории упругости должно

удовлетворять условиям на поверхности тела и уравнению неразрывности деформаций (8.14), если решение строится в перемещениях, либо соотношению (8.15), если решение строится в напряжениях.

143

§8.2. Решение плоской задачи теории упругости в полярных координатах

Построение решения плоской задачи теории упругости в полярных координатах возможно как в перемещениях, так и в напряжениях. Для получения решения в перемещениях следует из общей системы уравнений

плоской задачи теории упругости в полярных координатах исключить и

напряжения, и деформации. Для построения решения в напряжениях надо из общей системы уравнений плоской задачи теории исключить и перемещения, и деформации.

Решение в перемещениях

Подставим физические уравнения в форме Ляме (8.10) в уравнения равновесия (8.7). Затем в полученных соотношениях деформации заменим перемещениями в соответствии с геометрическими соотношениями (8.6). В результате получим систему двух дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных относительно функций перемещений u r, и v r, :

144

Системадифференциальныхуравненийвчастныхпроизводныхвторого порядка относительно функций перемещений (8.18) представляет собой разрешающую систему уравнений плоской задачи теории упругости в полярных координатах.

Решение плоской задачи теории упругости в перемещениях в полярной системе координат сводится к отысканию таких функций перемещений

u r, и v r, , которые удовлетворяли бы уравнениям равновесия (8.18) и

условиям на границе тела. Условия неразрывности деформаций (8.14) удовлетворяются при этом тождественно.

При определении краевых условий следует учитывать, что при r 0 система (8.18) будет иметь особенность. Таким образом, краевые условия в перемещениях нужно формулировать так:

при r r0 перемещения на поверхности тела будут равны заданным: u r0, u0; v r0, v0 . (8.19)

Здесь r0 0 .

Решение в напряжениях

Решение в напряжениях плоской задачи теории упругости в полярных координатах сводится к интегрированию уравнений равновесия (8.7) совместно с уравнением неразрывности деформаций (8.15).

Введём функцию напряжений в полярных координатах: r, . Как известно, в декартовой прямоугольной системе координат напряжения

145

Теперь на основе выражений (8.21) для x , y и xy составим выражения для напряжений r , и r . Для этого совместим ось r с осью Х. Тогда будем иметь [15]: 0, r x , y и r xy . Следовательно, формулы (8.21) преобразуются к виду:

Непосредственной подстановкой соотношений (8.22) в уравнения равновесия (8.7) можно убедиться, что уравнения равновесия удовлетворяются тождественно.

Подставив формулы (8.22) в уравнение неразрывности деформаций (8.15), получимбигармоническоеуравнение, записанноевполярнойсистеме координат:

уравнению (8.23). Уравнения равновесия (8.7) при этом будут удовлетворены тождественно.

146

§8.3. Главные площадки и главные напряжения в полярной системе координат

Оценку прочности упругих тел, находящихся в условиях плоской задачи, в полярной системе координат следует выполнять в соответствии с теориями прочности, часть из которых описана в гл. 4, §4.5. Критерии прочности в гл. 4 записаны в терминах главных напряжений, между которыми имеет место следующая зависимость: 1 2 3 , то есть 1

это наибольшее главное напряжение, 3 наименьшее главное напряже-

ние. Ввиду этого в полярной системе координат найдём площадки, на которых действуют главные напряжения, а также найдём величину главных напряжений.

Рассмотрим элемент тела a,b, c единичной толщины в направлении, перпендикулярномплоскостичертежавполярнойсистемекоординат r, ,

выделенный в окрестностях некоторой точки деформированного тела, находящегося в условиях плоской задачи (рис. 44).

Рис. 44

Ориентацию в пространстве произвольной наклонной площадки bc

будем определять нормалью n . Обозначим угол между направлением радиуса-вектора полярной системы координат ξ и нормалью к наклонной

площадке n буквой . Проекции вектора полного напряжения P , действующего на наклонной площадке, на оси и обозначим P и P .

147

Бесконечно малый элемент abc находится в равновесии. Следовательно, сумма проекций всех сил на оси и , действующих на выделенный элемент abc , должна быть равна нулю:

В соотношениях (8.24) длина наклонной площадки lx может быть получена из рассмотрения геометрии вырезанного элемента abc (рис. 45).

Рис. 45

Действительно, длины сторон равнобедренной трапеции abdefc равны: