1977

между рассматриваемым направлением ab и осью OX декартовой системы координат.

Сопоставляя формулы (7.60) с соотношениями (7.44) и (7.45), замечаем, чтозависимости(7.60) можнополучитьизсоотношений(7.44) и(7.45), если

тственно; угол заменить на угол . Следовательно, каждому результату,

131

полученному из соотношений (7.44) и (7.45) для напряжений и соответствует результат для деформаций и 12 .

В частности, обращаясь к соотношению (7.47), получаем, что сумма относительных линейных деформаций двух взаимно перпендикулярных линейных элементов является величиной инвариантной:

Далее, направления, вдоль которых относительные линейные деформации достигают своих экстремальных значений, определяются, на основании соотношения (7.48), формулой:

Соотношение (7.62) показывает, что в плоской задаче теории упругости существует два направления '0 и ''0 '0 900 , вдоль которых относительные линейные деформации '0 и ''0 экстремальны, а угловая дефор-

мация 0 равна нулю. Эти экстремальные относительные линейные дефор-

мации называются главными деформациями и определяются, в соответствии с формулой (7.49), соотношением:

В соответствии с формулами (7.52), (7.53) и (7.54) максимальная деформациясдвига max возникаетпонаправлению, делящемууголмеждунаправ-

лениями главных деформаций 1 и 2 пополам, и вычисляется по формуле:

Направление, по которому действует максимальная угловая деформация, испытывает относительную линейную деформацию ,max , величина

которой вычисляется на основании формулы (7.55):

По аналогии с напряжённым состоянием в точке упругого тела, находящегося в условиях плоской задачи, можно построить круг деформаций, аналогичный кругу Мора для напряжений. В этом круге

деформаций ординатами будут являться величины 12 , а абсциссами величины .

132

§7.9. Потенциальная энергия деформации

На основании результатов, представленных в гл. 3, запишем формулы для определения удельной потенциальной энергии деформации в случае плоской задачи.

Плоская деформация

Принимая во внимание вид тензоров напряжений и деформаций для случая плоской деформации (7.11), удельную потенциальную энергию деформации (3.26) будем определять по формуле

Формулу (7.66) нетрудно преобразовать к терминам напряжений, используя соотношение (3.22):

Запишем выражение для удельной потенциальной энергии деформации

Наконец, на основании соотношения (3.20) запишем выражение для удельной потенциальной энергии деформации в терминах главных напряжений:

Здесь главные напряжения связаны с напряжениями в произвольных осях формулами (7.49) и (7.5).

Выражение для удельной потенциальной энергии формоизменения (3.31) в случае плоской деформации получает вид:

Обобщённое плоское напряжённое состояние

Для случая обобщённого плоского напряжённого состояния тензоры напряжений и деформаций определяются соотношениями (7.24). Ввиду этого удельная потенциальная энергия деформации (3.26) будет

133

определяться по формуле (7.66). В терминах напряжений выражение для удельной потенциальной энергии деформации (3.22) получает вид:

На основании соотношения (3.25) запишем формулу для удельной потенциальной энергии деформации в терминах деформации:

Запишем выражение для удельной потенциальной энергии деформации в терминах главных напряжений, используя соотношение (3.20):

Выражение для удельной потенциальной энергии формоизменения (3.31) в случае обобщённого плоского напряжённого состояния получает вид:

134

Глава 8. ДВУМЕРНАЯ ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Предыдущее изложение основ теории упругости базировалось на том, что положения точек деформируемого сплошного тела были заданы их проекциями на оси декартовой системы координат. Этот способ описания деформации наиболее рационален и с точки зрения простоты вывода расчётных формул, и с точки зрения простоты вида этих формул. Но не всегда, однако, данный способ целесообразен с точки зрения простоты решения задач. Некоторые задачи решаются значительно проще, если вместо декартовых координат определять положение точек тела до его деформации в некоторой криволинейной системе координат, специально подобранной, исходя из условий постановки рассматриваемой конкретной задачи. Общим правилом, которым при этом следует руководствоваться, является стремление выбрать криволинейные координаты таким образом, чтобы границы рассматриваемого тела входили в число координатных поверхностей. Тогдакраевые условия формулируются наиболее просто, что обычно облегчает построение решения.

В настоящей главе рассматривается плоская задача теории упругости применительно к случаю обобщённого плоского напряжённого состояния в

полярных координатах. Полярная система координат является криволинейной ортогональной системой координат. Неортогональные криволинейныекоординатынерассматриваются, посколькуониприводят, какправило, к весьма громоздким уравнениям, затруднительным для решения.

§8.1. Основные уравнения

В полярной системе координат положение каждой точки M x,y определяется полярными координатами r и : M r, . Здесь r – расстояние

рассматриваемой точки M от начала координат; – угол между направлением некоторой оси X и направлением r (рис. 39).

Между декартовыми и полярными координатами существуют

135

Полное перемещение MM1 произвольной точки M r, будем

определять двумя компонентами:

u r, перемещение в направлении радиуса r (радиальное пере-

мещение);

v r, перемещение в направлении, перпендикулярном радиусу r (тангенциальное перемещение).

Рис. 39

Геометрические соотношения

Рассмотрим деформацию элемента площади abcd в полярных координатах (рис. 40). Деформацию растяжения (сжатия) в радиальном направлении обозначим r . Деформацию растяжения (сжатия) в окружном

направлении обозначим . Деформацию сдвига, которая измеряется измене-

136

Совместим мысленно отрезок a1b1 с направлением радиуса-вектора r

(рис. 41). Вполне понятно, что удлинение линейного элемента ab будет обусловлено разницей перемещений в

радиальном направлении точек a и b, то есть, если aa1 u , то bb1 u ur dr . Учитывая, что

Рис. 42

137

Складывая обе составляющие, получим:

Рассмотрим угловую деформацию r . Если бы точка a в результате деформации не перемещалась в положение a1 , а осталась на месте, то

Поскольку точка a в результате деформации переместится в положение a1 на величину v, то наклон элемента ab изменится на величину vr . Эту

величину необходимо вычесть из угловой деформации, определяемой формулой (г). В результате получим:

Итак, компоненты деформации для плоской задачи теории упругости в полярных координатах определяются соотношениями (8.3), (8.4) и (8.5):

Уравнения равновесия

Выделим из упругого тела элемент abcd с центральным углом d и наименьшим радиусом r (рис. 43). Пусть толщина элемента abcd из его плоскости будет равна единице. Длины сторон элемента abcd в полярной

По граням рассматриваемого элемента действуют нормальные и касательные напряжения. Рассмотрим условия его равновесия. В силу

138

Умножим приложенные к граням элемента abcd напряжения на соответствующие площади и спроектируем полученные таким образом силы на направление радиуса-вектора r и на направление,

перпендикулярное к радиусу-вектору .

Рис. 43

r 0 : r rd r rr dr r dr d dr d2

d d2 dr r dr 1 r r d dr 1

Fr dr rd 0;

0 : dr 1 d dr 1 r rd

r rr dr r dr d r dr d2

Упростив полученные соотношения, получим:

139

Вычислив сумму моментов всех сил относительно центра тяжести элемента abcd , получим закон парности касательных напряжений в полярной системе координат:

Обратим внимание на одну особенность уравнений равновесия в полярных координатах (8.7), котораявытекает из анализа членов, содержащих в знаменателе координату r. Чем меньше значение координаты r, тем быстрее возрастают эти члены уравнений и для координаты r 0 , эти члены стремятся к бесконечности. Таким образом, уравнения (8.7) нельзя применять, если координата рассматриваемой точки r 0 , то есть уравнения равновесия (8.7) остаются справедливыми, если r r0 , причём r0 0 .

Физические уравнения

Соотношения между напряжениями и деформациями для плоской задачи теории упругости в полярных координатах записываются фактически теми же уравнениями, что и в декартовых координатах. Отличие состоит

только в обозначениях: вместо индексов x и y следует писать r и

соответственно.

Физические уравнения в форме обобщённого закона Гука (7.27) в полярных координатах имеют вид:

r G r .

140