1977
.pdf
Первое из соотношений (б) умножим на sin , второе из соотношений (б) – на cos и сложим полученные соотношения. Принимая во внимание
формулы тригонометрии cos2 sin2 cos2 и |
sin cos |
1 sin 2 , |
||
после элементарных преобразований получаем: |
|
2 |
||
|
|
|||
|
x y |
sin 2 xy cos 2 . |
|
(7.44) |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
Далее первое из соотношений (б) умножим на cos , а второе – на sin . Сложив полученные соотношения и принимая во внимание формулы
тригонометрии cos2 1 1 cos2 |
и sin2 1 1 cos2 , после элемен- |
|||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
тарных преобразований будем иметь: |
|
|
|
|||
|
x y |
|
x y |
cos 2 xy sin 2 . |
|
(7.45) |
|
|
|
||||
2 |
2 |
|
|
|
||
Формулы (7.44) и (7.45) определяют нормальное |
|
и касательное |
||||
|
|
|
|
|
|
|
напряжения на произвольной наклонной площадке, ориентация которой задаётся углом наклона к оси OX нормали n рассматриваемой наклонной площадки.
Правильность полученных соотношений для напряжений и
оценим для характерных углов : |
|
|
для 0 |
получаем: xy ; |
x (рис. 32а); |
для |
получаем: xy ; |
y (рис. 32б). |
2 |
|
|
Рис. 32
121
Таким образом, напряжения на наклонной площадке, если ее повернуть так, что она будет перпендикулярна к координатным осям, совпадают с напряжениями на исходных площадках.
Найдём напряжения на гранях элементарного параллелепипеда, повёрнутого относительно исходной декартовой системы координат вокруг
оси OZ наугол (рис. 33). Напряжения и определяютсяпоформулам
(7.44) и (7.45). Что касается напряжений, действующих на площадке, перпендикулярной к площадке с нормалью n , то для них получим:
90 |
|
x y |
|
|
|
x y |
cos 2 180 yx sin 2 180 |
|
||||||
2 |
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x y |
|
|
x y |
cos2 yx sin 2 ; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
(7.46) |
||||
|
|
|
|
x y |
sin 2 180 xy cos 2 180 |
|||||||||
90 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x y |
sin 2 xy cos2α . |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 33
Из (7.462) следует, что касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и обратны по знаку (законпарностикасательныхнапряжений). Сумманормальныхнапряжений на взаимно перпендикулярных наклонных площадках, в соответствии с формулами (7.45) и (7.461), будет равна:
90 x y . |
(7.47) |
122
Это значит, что сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках не зависит от угла . А так как угол определяет направление нормали к рассматриваемой наклонной площадке, по отношению к оси OX декартовой системы координат, то независимость суммы нормальных напряжений от угла означает независимость этой суммы от выбранной изначально декартовой системы координат. Таким образом, сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярныхплощадках, проходящихчереззаданнуюточкуупругого тела, является инвариантом.
Следует напомнить, что мы сейчас рассматриваем плоскую задачу теории упругости и, следовательно, полученный результат ни в коей мере неприменим к пространственной задаче, где инвариантом является сумма нормальных напряжений на трёх взаимно перпендикулярных площадках
(см. §1.7).
Найдём площадки, на которых нормальные напряжения достигают своих экстремальных значений. Для этого приравняем производную от
напряжения по углу к нулю:
d |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
sin 2 |
xy |
cos2 |
|
2 |
0. |
|
|||||||||
d |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, на площадках с экстремальными нормальными напряжениями, касательные напряжения равны нулю. Такие площадки, как известно, называются главными, а соответствующие им нормальные напряжения – главными напряжениями.
Угол 0, определяющий ориентацию главной площадки в системе
координат XOY , найдём из уравнения: |
|
0 , то есть |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2 0 |
|
|
2 xy |
|
|
. |
(7.48) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Формула (7.48) позволяет определить два взаимно перпендикулярных направления '0 и ''0 '0 900 , задающих направления нормалей к глав-
ным площадкам.
Для определения величины главных нормальных напряжений подставим угол 0 из формулы (7.48) в формулу (7.45). Имеем:
|
|
x |
|
y |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
xy tg 2 0 |
cos2 0 . |
(в) |
||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
123
Поскольку cos2 0 |
|
x y |
|
, или с учётом соотношения (7.48) |
||
1 tg2 |
|
|
||||
|
|
2 0 |
|
|||
|
cos 2 0 |
|
|
x y |
, |
|
|
|
x y 2 4 2xy |
||||
|
|
|
|
|
||
то формула (в) получает вид:
0 |
1,2 |
x y |
1 |
x y 2 4 2xy . |
|
(7.49) |
|
|
|
||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
||
Главное напряжение 1 соответствует знаку «+», напряжение |
2 |
||||||
знаку « » перед радикалом. |
|
|
|
x , y , xy , |
|||
Таким образом, |
при любых |
исходных напряжениях |
|||||
действующих в данной точке упругого тела, существуют взаимно перпендикулярные площадки, которые проходят через рассматриваемую точку и на которых действуют только нормальные напряжения. Иначе, плоское напряжённое состояние в точке путём поворота осей всегда может быть представлено как растяжение-сжатие в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Найдём направления, соответствующие главным напряжениям 1 и 2 .
Пусть наклонная площадка будет главной (рис. 34).
Запишем условие равновесия элементарной треугольной призмы (рис.
34)в проекциях на горизонтальную ось:
X 0 : 1,2dAcos 1,2 xdAx yxdAy 0.
Рис. 34
X
Принимая во внимание введённое ранее соотношение между площадями dA, dAx , dAy , записанное уравнение
равновесия приведём к виду:
1,2 cos 1,2 x cos 1,2 yx sin 1,2 0;
Отсюда |
|
1,2 x |
|
|
|
tg |
|
. |
(7.50) |
||
|
|||||
1,2 |
|
yx |
|
||
|
|
|
|||
Далее запишем условие равновесия в проекциях на вертикальную ось:
0 : 1,2dAsin 1,2 ydAy xydAx 0 ,
или 1,2 sin 1,2 y sin 1,2 xy cos 1,2 0.
124
Отсюда
tg 1,2 |
|
xy |
|
. |
(7.51) |
|
|
|
|
|
|||
|
1,2 |
|
y |
|
||
Формулы (7.50) и (7.51), как и формула (7.48) определяют ориентацию главных площадок. Однако в формулах (7.50) и (7.51) угол 1,2 привязан к
величине главного напряжения 1,2 , что является несомненным преиму-
ществом этих формул по сравнению с формулой (7.48). Действительно, главному напряжению 1 или 2 в правой части формул (7.50) и (7.51)
соответствует угол 1 или 2 соответственно в левой части этих формул.
При использовании же формулы (7.48) для определения угла наклона главной площадки вопрос о величине действующего по этой площадке главного напряжения остаётся открытым.
Найдём площадки, на которых действуют экстремальные касательные напряжения. Пусть, для упрощения, исходные площадки будут главными, то есть в направлении осей декартовой системы координат OX и OY действуют главные напряжения 1 и 2 соответственно. Тогда на
произвольной наклонной площадке нормальное и касательное напряжения будут определяться, в соответствии с зависимостями (7.44) и (7.45), формулами:
1 2 |
1 2 |
cos2 ; |
1 2 |
sin 2 . |
|
(7.52) |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
Отсюда следует, что при 450 |
касательное напряжение |
|
будет |
|||
максимальным, то есть |
|
|
|
|
|
|
max 1 2 . |
|
|
|
|||
|
|
|
(7.53) |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
Подставив главные напряжения 1 |
и 2 из формулы (7.49) в соотно- |
|||||
шение (7.53), получим: |
|
|
|
|
|
|
max 1 |
x y 2 4 2xy . |
|
|
(7.54) |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
Таким образом, максимальные касательные напряжения в произвольных декартовых осях координат определяются по формуле (7.54) и действуют на площадках, делящих угол между главными напряжениями пополам.
Нормальныенапряжениянатакихплощадкахравныполусуммеглавных напряжений:
|
|
|
0 |
|
1 2 |
|
x y |
. |
(7.55) |
|
2 |
||||||||||
|
|
45 |
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценку прочности упругих тел, находящихся в условиях плоской задачи, следует выполнять в соответствии с теориями прочности, часть из
125
которых описана в гл. 4, § 4.5. Критерии прочности в гл. 4 записаны в терминах главных напряжений, между которыми имеет место следующая
зависимость: |
1 |
2 3 , то есть |
1 это наибольшее главное |
напряжение, |
3 |
наименьшее главное напряжение. В случае плоской |
|
деформации главными напряжениями будут напряжения, определяемые формулами (7.49) и (7.5). В случае обобщённого плоского напряжённого состояния главными напряжениями будут напряжения, определяемые формулами (7.49), и напряжение z 3 0 . Эти напряжения действуют на
трёх взаимно перпендикулярных площадках. Оценка величины этих главных напряжений для определения наибольшего и наименьшего среди главныхнапряжений, действующихвзаданнойточкеупругоготела, требует дополнительного численного исследования в каждом конкретном случае.
Геометрическая интерпретация напряжённого состояния в точке
Зависимости напряжений и от угла наклона нормали рассматри-
ваемой наклонной площадки к оси, совпадающей с наибольшим главным напряжением, имеют простую геометрическую интерпретацию в виде круговой диаграммы, предложенной немецким учёным Отто Мором. Эту круговую диаграмму так и называют: круг Мора или круг напряжений.
Пусть |
a |
1 2 |
и R |
1 2 |
. Тогда формулы (7.52) можно будет |
|
|
2 |
|
2 |
|
записать в следующем виде: |
|
|
|||
a Rcos2 ; |
|
Rsin2 . |
|
|
(7.56) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Освобождаясь в формулах (7.56) от тригонометрических функций, |
||||||||
приведём их к одному уравнению вида: |
|
|
|
|
|
|
||
a |
2 |
2 |
|
2 |
. |
|
|
(7.57) |
|
R |
|
|
|
||||
Уравнение (7.57) в системе координат , описывает окружность |
||||||||
радиуса R с центром, расположенным на оси и смещённым в её |
||||||||
положительном направлении на расстояние а, причём |
|
и |
являются |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
текущими координатами точки на окружности. Уравнения (7.56), таким образом, описывают указанную окружность в параметрической форме, а угол 2 представляет собой угол между направлением радиуса-вектора
точки на окружности с координатами , и положительным направ-
лением оси . Судя по виду уравнений (7.56), ось должна быть направлена вниз, поскольку угол отсчитывается против хода часовой стрелки.
Точки, принадлежащие рассматриваемой окружности, характеризуют нормальные и касательные напряжения на всевозможных площадках, проходящих через заданную точку упругого тела. Точки окружности,
126
расположенные на оси , соответствуют главным напряжениям 1 и 2 в данной точке упругого тела.
Рассмотрим на окружности некоторую точку K , (рис. 35). Прямая, соединяющая точки 2 и K , , будет совпадать с направлением
нормали к рассматриваемой наклонной площадке. Прямая, соединяющая точки 1 и K , , будет совпадать с направлением нормали к пло-
щадке, перпендикулярной рассматриваемой наклонной площадке. Напряжения, действующие на площадке, перпендикулярной к рассматриваемой наклонной площадке, будут равны напряжениям в точке окружности,
расположенной на одном диаметре с точкой K , .
Если в некоторой точке упругого тела известны главные напряжения 1 и 2 , то построение круга Мора выполняется достаточно просто: нужно на оси отметить координаты, равные главным напряжениям 1 и 2 , а затем на отрезке 1 2 , как на диаметре, построить окружность (рис. 35).
Рис. 35
Пусть в некоторой точке упругого тела известны напряжения x , y иxy в произвольных осях декартовой системы координат XOY .
Тогда |
для |
построения круга напряжений сначала строится точка |
M x , xy |
по |
напряжениям, действующим на площадке, перпенди- |
кулярной к оси |
OX , затем строится точка N y , yx по напряжениям, |
|
действующимнаплощадкеперпендикулярнойкоси OY . Точкапересечения прямой MN с осью есть центр круга напряжений, то есть круг Мора строится на отрезке MN как на диаметре (рис. 36).
127
Рис. 36
Круг напряжений используется для анализа напряжённого состояния в точке упругого тела, находящегося в условиях обобщённого плоского напряжённого состояния.
§7.8. Деформированное состояние в точке для плоской задачи теории упругости
Вновь рассмотрим упругое тело, находящеееся в условиях плоской задачи. Пусть в состоянии до деформации (рис. 37) линейный элемент ds занимал положение ab и составлял с осью OX угол ; после деформации его положение в результате переноса, удлинения (или сжатия) и вращения изменилось, и он стал занимать положение a1b1 . Пусть в некоторой системе
декартовых координат XOY точка a имеет координаты x, y ; тогда координаты точки b будут равны x dx, y dy . Обозначим компоненты
перемещений точки |
a через ua u x, y и |
va v x, y . Компоненты |
||
перемещений точки b будут определяться соотношениями: |
|
|||
ub u x |
dx, y dy u x, y u dx u dy; |
|
||
|
x |
y |
(а) |
|
v v x dx, y dy v x, y v dx v dy. |
||||
|
||||
b |
x |
y |
|
|
|
|
|||
128
Рис. 37
Перенесём мысленно отрезок a1b1 таким образом, чтобы точка a1 совпала с точкой a . Тогда отрезок a1b1 окажется в положении ab2 (рис. 38).
Компоненты перемещения точки b относительно точки a вдоль осей декартовой системы координат XOY будут выражаться отрезками bd и db2 ,
причём (см. рис. 37) |
|
|
|
|
|
|
|
||
bd |
|
u dx |
|
|
u x dx |
u dx |
u dy; |
|
|
x dx u |
u dy |
|
|||||||
|
|
x |
y |
|
|
x |
y |
(б) |
|
|
|
y dy v v dx |
v dy |
v y dy v dx v dy. |
|||||
db |
|
|
|||||||
2 |
|
|
x |
y |
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Опустим из точки b на |
|
|
|
|
|
|
|||
отрезок ab2 перпендикуляр bc . |
|
|
|
|
|
|
|||
Пренебрегая |
малым |
по |
|
|
|
|
|
|
|
сравнению |
с |
углом , |
углом |
|
|
|
|
|
|
bac , найдём: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bc bd sin db2 cos ; |
.(в) |
|
cb2 bd cos db2 sin |
||
|
||
|
Рис. 38 |
|
|
129 |
Поскольку отрезок bc , опять же в силу малости угла bac, можно
отождествить с дугой окружности с центром в точке a , то отрезок cb2
представляет собой абсолютное удлинение линейного элемента ab . Относительное удлинение линейного элемента ab , ориентация которого задаётся произвольным углом , можно найти по формуле:
cb2 |
|
bd cos db2 sin |
bd cos db2 sin . |
(г) |
||
ab |
||||||
ab |
|
ab |
ab |
|
||
Принимаявовниманиесоотношения(б), атакже, учитывая, что ab получим:
bd |
|
|
u dx |
u dy |
||
|
|
x |
y |
|
||
ab |
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
db |
|
|
|
v dx |
v dy |
|
|
|
|
x |
y |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|||||
ab |
|
|
|
|||
|
u dx |
|
u dy |
|
u cos |
u sin ; |
|
x ds |
|
y ds |
|
x |
y |
|
v dx |
|
v dy |
|
v cos |
v sin . |
|
x ds |
|
y ds |
|
x |
y |
ds,
(д)
Подставив формулы (д) в соотношение (г) получим окончательное выражение для относительного удлинения линейного элемента в произвольном направлении в случае плоской задачи теории упругости:
|
u |
сos2 |
|
u |
|
v |
|
v sin2 |
, |
|
sin cos |
||||||||
|
x |
|
|
y |
|
x |
|
y |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos2 xy sin cos y sin2 . |
(7.58) |
|||||||
Далее найдём сдвиговую деформацию. В силу малости угла bac , его можно найти как отношение отрезков bc и ab , а именно
|
bc |
|
bd sin db2 cos |
bd sin db2 |
cos . |
|||||||
|
||||||||||||
|
ab |
|
|
|
ab |
|
|
|
ab |
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Учитывая формулы (б), выражение (е) получает вид: |
|
|||||||||||
|
|
u dx |
u dy |
|
|
|
u dx |
u dy |
|
|
||
|
sin |
|
cos , |
|||||||||
|
|
x ds |
y ds |
|
|
|
x ds |
y ds |
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v cos2 |
|
v |
u |
|
cos u sin2 |
. |
||||||
|
sin |
|||||||||||
|
x |
|
y |
x |
|
|
y |
|
|
|||
(е)
(ж)
130