1977

Третий компонент перемещений w весьма мал вследствие малой толщины пластинки и на этом основании не представляет практического интереса. Однако при необходимости его можно определить, пользуясь соотношением (7.16).

Запишемусловиянаповерхностиупругоготелавтерминахнапряжений

(1.12):

Здесь x0 , y0 координатыточекповерхноститела; u0 , v0 , w0 переме-

щения точек поверхности тела в направлении осей декартовой системы координат.

Уравнения неразрывности деформаций Сен-Венана (2.42) значительно упрощаются и приводятся к одному соотношению:

Тензоры напряжений и деформаций для случая обобщённого плоского напряжённого состояния имеют вид:

§7.3. Сводка уравнений двумерной плоской задачи теории упругости

Выпишем основные группы соотношений плоской двумерной задачи теории упругости:

1. Геометрические соотношения:

111

Здесьдляслучаяплоскойдеформации z 0, дляслучаяобобщённого

112

Итак, для решения плоской задачи теории упругости имеем восемь

§7.4. Решение плоской задачи теории упругости в перемещениях

Для построения разрешающих уравнений плоской задачи теории упругости в перемещениях следует из уравнений (7.25), (7.26), (7.27) или (7.28) исключить и напряжения, и деформации. Для этого в уравнения равновесия (7.26) подставим физические соотношения в форме Ляме (7.28), в которых компоненты деформации заменим геометрическими соотношениями (7.25). В результате после элементарных преобразований получим два дифференциальных уравнения второго порядка в частных производных относительно компонент перемещений u x, y и v x, y :

Уравнения (7.30) являются разрешающими для плоской задачи теории упругости в перемещениях.

Краевые условия для системы линейных дифференциальных уравнений (7.30) должныбытьсформулированывперемещениях. Еслинаповерхности упругого тела заданы поверхностные силы, то краевые условия будут иметь вид:

Если на поверхности упругого тела заданы перемещения, то краевые условия описываются либо соотношениями (7.9) для случая плоской деформации, либо соотношениями (7.22) для случая обобщённого плоского напряжённого состояния.

113

После отыскания компонент перемещений как функций декартовых координат деформации находятся с использованием геометрических соотношений (7.25), напряжения определяются из физических соотношений, записанных в форме Ляме (7.28).

На методах решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (7.30) останавливаться не будем.

§7.5. Решение плоской задачи теории упругости в напряжениях

Для построения разрешающих уравнений плоской задачи теории упругости в напряжениях, следует из уравнений (7.25), (7.26), (7.27) или (7.28) исключить и деформации, и перемещения. Для этого воспользуемся уравнениями равновесия (7.26) и уравнением неразрывности деформаций

(7.29):

Принимая объёмные силы постоянными, то есть не зависящими от декартовыхкоординат Fx сonst; Fy сonst , запишемуравнениенеразрыв-

ности в напряжениях. Для этого подставим физические уравнения (7.27) в уравнение неразрывности деформаций (7.29):

Правую часть полученного соотношения преобразуем, используя уравнения равновесия. Для этого соотношение (7.321) продифференцируем по x , а соотношение (7.322) – по y :

Сложим полученные соотношения (б):

114

Полученную вторую производную от касательного напряжения подставим в правую часть выражения (а):

Поскольку E' 2G' 1 ' , то соотношение (в) получает вид:

2y2x ' 2y2y 2x2y ' 2x2x 2x2x 2y2y ' 2x2x ' 2y2y ,

или

2x2x 2x2y 2y2x 2y2y 0 ,

или

x22 x y y22 x y 0 ,

или

ческим оператором Лапласа. Тогда уравнение (7.33) можно записать в следующем виде:

Уравнение неразрывности деформаций (7.29), записанное в напряжениях (7.34), называется уравнением Леви.

Итак, возвращаясь к системе уравнений (7.32), имеем разрешающие

115

В систему (7.35) не входят константы упругости – модуль упругости и коэффициент Пуассона. Следовательно, при заданных на поверхности тела нагрузках эти уравнения дадут напряжения, не зависящие от упругих свойств изотропного линейно-упругого материала. Данное обстоятельство можно использовать при исследовании напряжённого состояния упругих тел оптическими методами.

Таким образом, решение плоской задачи теории упругости сводится к интегрированиютрёхдифференциальныхуравнений(7.35) привыполнении условий на поверхности тела в напряжениях: соотношений (7.8) – для случая плоской деформации, соотношений (7.21) – для случая обобщённого плоского напряжённого состояния.

Функция напряжений

Если объёмными силами можно пренебречь, то систему разрешающих уравнений плоской задачи теории упругости можно свести к одному уравнению. Действительно, рассмотрим первые два уравнения из системы

Теперь, согласно соотношениям (*) и (**), напряжения будут определяться формулами

116

Однородные уравнения (7.36) при этом удовлетворяются тождественно. Если объёмными силами пренебречь нельзя, то система напряжений

(7.37) будет иметь вид:

Подставив напряжения (7.38) в уравнение неразрывности деформаций

(7.353), получим:

В развёрнутом виде соотношение (7.39) записывается в следующей форме:

Уравнение (7.40) называется бигармоническим, а функция напряженийx, y , ему удовлетворяющая, – бигармонической. Ещё её называют

функцией Эри.

Функция напряжений x, y имеет размерность силы.

Уравнение (7.40) является разрешающим уравнением в напряжениях плоской задачи теории упругости.

Таким образом, решение плоской задачи теории упругости свелось к интегрированию бигармонического уравнения (7.40), то есть к отысканию

такой функции x, y , которая удовлетворяет бигармоническому уравнению и условиям на поверхности упругого тела в напряжениях:

После отыскания функции напряжений x, y напряжения опреде-

ляются либо по формулам (7.37), если объёмными силами можно пренебречь, либо по формулам (7.38), если объёмные силы нельзя проигнорировать.

117

§7.6. Определение перемещений

При решении плоской задачи теории упругости в напряжениях искомыми функциями являются напряжения. После их отыскания деформации определяются из физических соотношений, записанных в форме обобщённого закона Гука (7.27). Для определения перемещений следуетвоспользоватьсягеометрическими соотношениями (7.25). Процедура решения при этом заключается в том, что из первых двух соотношений (7.25) определяются функции перемещений

а постоянные интегрирования y и x определяются на основании уравнения (7.253):

и условий на поверхности упругого тела.

Замечание. Постоянные интегрирования являются постоянными по отношению к величине, по которой производится интегри-

рование. Такфункция y независитотпеременной x , то естьпоотношениюкпеременной x функция y является величиной постоянной. Функция x не зависит от переменной y , то есть по отношению к переменной y функция x также является величиной постоянной.

деформации, так и для обобщённого плоского напряжённого состояния является одинаковым. Это утверждение следует из того, что в этом случае система уравнений равновесия (7.26) вместе с граничными условиями и уравнением неразрывности деформаций (7.29) или (7.34) дают систему уравнений, которая является достаточной для полного определения распределения напряжений в двумерной задаче. Однако распределение перемещенийвупругомтеле, находящемсявусловияхплоскойдеформации или обобщённого плоского напряжённого состояния, будет различным. Действительно, физические уравнения для плоской задачи определяются соотношениями (7.27), причём в случае плоской деформации компоненты деформации x , y и xy связаныснапряжениями x , y и xy формулами

118

а в случае обобщённого плоского напряжённого состояния – формулами

Такимобразом, задача определенияперемещений при решенииплоской задачи теории упругости в напряжениях, математически сводится к определению вида произвольных функций, а не постоянных (констант) интегрирования. Зачастую эта задача оказывается чрезвычайно сложной.

§7.7. Напряжённое состояние в точке для плоской задачи теории упругости

Рассмотрим упругое тело, находящееся в условиях плоской задачи. Выделим в упругом теле в окрестности некоторой точки элементарный параллелепипед с рёбрами, параллельными осям декартовой системы координат X ,Y , Z (рис. 30).

6

3

4 5

1 2

Рис. 30

119

По граням элементарного параллелепипеда, перпендикулярным осям OX и OY , действуют нормальные x и y , а также касательные xy yx

напряжения; по граням, перпендикулярным к оси OZ , действует отличное от нуля нормальное напряжение z для случая плоской деформации

(касательные напряжения zx и zy при этом равны нулю), либо эти грани

свободны от напряжений для случая обобщённого плоского напряжённого состояния. Действующие на элементарный параллелепипед напряжения покажем на проекции части этого параллелепипеда на координатную плоскость XOY (рис. 31).

3

1 2

Рис. 31

Найдём нормальное и касательное напряжения, действующие на

произвольной наклонной площадке 2-3-6-5, параллельной оси OZ . Ориентация этой наклонной площадки будет задаваться углом .

Будем полагать, что размер элементарного параллелепипеда в направлении оси OZ равен единице, то есть dz 1. Площадь наклонной площадки 2-3-6-5 обозначим dA . Тогда площадь грани 1-3-6-4, перпендикулярной к оси OX , будет равна dAx dA cos , а площадь грани

1-2-5-4, перпендикулярной к оси OY , составит dAy dA sin .

Запишем уравнения равновесия в проекциях на оси координат (рис. 31):

Сучетомвведённогоранеесоотношениямеждуплощадямиформулы(а) получают вид:

120