1977

Физические соотношения в форме обобщённого закона Гука (3.15) с учётом (6.17) получают вид:

Принимаявовниманиеформулы(6.18), запишем геометрические соотношения (2.12):

На основании полученных зависимостей (6.19) и (6.18) можно сделать вывод о том, что

Главные напряжения действуют на взаимно перпендикулярных

являются главными, причём, как это следует из формул (6.18), если x 0,

101

Условия на поверхности упругого тела в напряжениях (1.12) для одномерного напряжённого состояния будут иметь вид:

Условия на поверхности в перемещениях можно записать в следующей форме:

перемещения точек поверхности тела в направлении осей декартовой системы координат.

Уравнения неразрывности деформаций Сен-Венана (2.42), в соответствии с (6.18), приводятся к зависимостям:

содержат координату x в первой степени.

Таким образом, функции перемещений в направлении осей OX и OY при одномерном напряжённом состоянии могут быть лишь следующего

Здесь a и b – некоторые константы.

Итак, для случая одномерного напряжённого состояния имеем

содержащую три искомые функции: u x , x x , x x .

Тензор напряжения и тензор деформации для одномерного напряжённого состояния имеют вид:

Решение задачи теории упругости для тел, находящихся в условиях одномерного напряжённого состояния, как и общей (трёхмерной) задачи, может быть построено как в перемещениях, так и в напряжениях.

102

Решение в перемещениях. Для построения решения в перемещениях следует из уравнений (6.26) исключить и напряжения, и деформации. Для этого подставим уравнение (6.261) в уравнение (6.262) и полученное соотношение подставим в уравнение (6.263). В итоге получим:

Дифференциальноеуравнениевторогопорядка(6.28) являетсяразрешающим уравнением в перемещениях одномерного напряжённого состояния. В зависимости от дополнительных условий с уравнением (6.28) может быть связана либо задача Коши, либо краевая задача.

Для построения задачи Коши нужно задать перемещение и относительную линейную деформацию на поверхности упругого тела (тонкого стержня), перпендикулярной к оси OX :

Если задано смещение обеих торцевых поверхностей упругого тела (тонкого стержня), перпендикулярных к оси OX , то имеем краевую задачу:

Решая задачу (6.28), (6.29) или (6.28), (6.30), находят функцию перемещений u u x . Остальные характеристики напряжённо-деформирован-

ного состояния определяют по формулам (6.18), (6.19), решая обратную задачу теории упругости.

Решение в напряжениях. Разрешающим уравнением одномерной деформации в напряжениях будет уравнение (6.263):

В качестве дополнительного уравнения нужно использовать условия на поверхноститела, вчастноститонкогостержня, записанныевнапряжениях:

Решая задачу Коши (6.31), (6.32) для дифференциального уравнения (6.31), находят функцию x x x . Остальные характеристики напряжён-

но-деформированного состояния определяют по формулам (6.18), (6.19) путём решения обратной задачи теории упругости.

103

§6.3. Напряжённое состояние в точке для одномерной задачи теории упругости

Оценивая напряжённое состояние в точке для одномерной задачи теории упругости, воспользуемся формулами и уравнениями объёмной задачи теории упругости (см. гл. 1). Выделим в деформированном теле некоторую точку и через эту точку проведём произвольную площадку, ориентация которой в декартовой системе координат OXYZ будет задаваться направляющими косинусами: l, m и n . Найдём полное, нор-

мальное и касательное напряжения в рассматриваемой точке, действующие по заданной наклонной площадке.

Одномерная деформация. С учетом вида тензора напряжений (6.11) и зависимости между напряжениями (6.6), проекции полного напряжения, действующего по наклонной площадке, на оси декартовой системы координат OX , OY и OZ , в соответствии с формулами (1.12), будут равны:

Полное напряжение, действующее по наклонной площадке, на основании зависимости (1.13) будет определяться соотношением

Используя зависимость (1.15), получим выражение для нормального напряжения, действующего по наклонной площадке:

Величина касательного напряжения, действующего по наклонной площадке, будет определяться, в соответствии с формулой (1.16), соотношением

Одномерное напряжённое состояние. Проекции полного напряжения,

действующего по наклонной площадке, на оси декартовой системы координат OX , OY и OZ , в соответствии с формулами (1.12) и с учетом

вида тензора напряжений (6.27), будут равны:

104

Полное напряжение, действующее на наклонной площадке, согласно зависимости (1.13), будет определяться соотношением

Нормальное напряжение на наклонной площадке найдём по формуле

(1.15), то есть

Касательное напряжение на наклонной площадке, в соответствии с выражением (1.16), будет равно:

Итак, мы определили в заданной точке полное, нормальное и касательное напряжения на произвольной наклонной площадке как для случая одномерной деформации, так и для случая одномерного напряжённого состояния. Тем самым определено напряжённое состояние в точке упругого тела, находящегося либо в условиях одномерной деформации, либо в условиях одномерного напряжённого состояния.

105

Глава 7. ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

Задача называется двумерной, когда характеристики напряжённо-де- формированного состояния (напряжения, деформации, перемещения) являются функцией только двух пространственных координат.

В теории упругости различают два типа двумерных задач в декартовых координатах: плоская деформация и обобщённое плоское напряжённое состояние.

§7.1. Плоская деформация

Плоской деформацией называется такая деформация, при которой перемещения всех точек тела определяются выражениями:

На основе геометрических соотношений (2.12) и с использованием зависимостей (7.1) получаем составляющие тензора деформации:

Запишем физические соотношения в форме Ляме (3.13), учитывая формулы (7.2):

Физические уравнения в форме обобщённого закона Гука (3.15) получают вид:

106

Из соотношения (7.43) следует, что

Принимая во внимание формулу (7.5), запишем соотношения (7.4) в следующей форме:

Уравнения равновесия (1.17) для плоской деформации получают вид:

Условия на поверхности упругого тела в терминах перемещений будут

Здесь x0 , y0 координатыточекповерхноститела; u0 , v0 , w0 переме-

щения точек поверхности тела в направлении осей декартовой системы координат.

Уравнения неразрывности деформаций Сен-Венана (2.42) значительно упрощаются и приводятся к одному соотношению:

107

Всоответствиисвышеизложенным, тензорынапряженийидеформаций для случая плоской деформации имеют вид:

Примером упругого тела, находящегося в условиях, близких к условиям плоской деформации, является такое тело, у которого геометрический размер в направлении одной из осей, например оси OZ , значительно превышаетдвадругих размера, авнешняянагрузканеизменяетсявдольоси OZ . Таким телом является, в частности, толстостенная труба, находящаяся поддействиемвнутреннегоивнешнегодавлений(рис. 27). Вполнепонятно,

что перемещения точек тела трубы в направлении оси OZ будут равны нулю, а перемещенияточектелатрубыврадиальномнаправлении

будут зависеть только от координат x и у.

В качестве второго примера упругого тела,

находящегося в условиях плоской деформации,

можно рассмотреть полупространство, на поверхности которого в направлении, например, оси OZ , действует бесконечно протяжённая полосовая нагрузка (рис. 28). В этом случае

в точках внутри полупространства перемещения в направлении оси OZ будут равны нулю, а перемещения в плоскости XOY будут зависеть только от координат x и y рассматриваемой точки.

Рис. 28

108

§7.2. Обобщённое плоское напряжённое состояние

Обобщённым плоским напряжённым состоянием называется такое состояние упругого тела, при котором напряжения на элементарных площадках, нормальккоторымсовпадаетсвыбраннымнаправлением, равнынулю:

x x x, y ;

y y x, y ;

xy xy x, y .

Вэтом случае уравнения равновесия (1.17) получают такой же вид, как

идля плоской деформации:

Физические соотношения в форме обобщённого закона Гука (3.15) приводятся к соотношениям:

109

Сопоставив формулы (7.14) и (7.6), видим, что запись физических соотношений в форме обобщённого закона Гука для случая обобщённого плоского напряжённого состояния имеет такой же вид, как и для случая плоской деформации. Различие между этими соотношениями заключается лишь в значении упругих постоянных.

Запишем физические соотношения в форме Ляме (3.13):

110