1903

мов планирования эксперимента, позволяющей свести эффект некоторого случайного фактора к случайной ошибки.

По экономическим соображениям для большинства невоспроизводимых экспериментов на строительных конструкциях целесообразнее применять полностью или частично рандомизированный план. Причиной являются следующие обстоятельства:

естественные дефекты материала конструкции способствующие возникновению тенденции к изменению структурных свойств в процессе эксперимента, например при изменении метеорологических условий;

изменение независимой переменной (х) при воздействии механической нагрузки;

влияние человеческого фактора в виде изменения работоспособности исследователя в процессе эксперимента.

Для воспроизводимых инженерных экспериментов рандомизированный план позволяет исключить любые регулярные изменения, обусловленные окружающими условиями, дефектами испытательной аппаратуры и обслуживающим персоналом.

Невозможность исключения влияния внешних переменных и дискретных факторов определяет возможность распределения эффекта равномерного их влияния на все условия эксперимента путём рандомизации с помощью рандомизированных блоков. Это явилось причиной появления рандомизированных экспериментальных планов с ограничениями, наложенными на рандомизацию: латинские, греко-латинские квадраты и кубы, неполноблочные сбалансированные планы, квадраты Юдена [366, 367, 418, 710].

Основные этапы и свойства построения плана многофакторного эксперимента представлены на примере планирования эксперимента по исследованию долговечности железобетонных конструкций. Априорная информация показывает, что изменение прочности железобетонных конструкций зависит от трёх внешних переменных факторов х1, х2, х3, варьирующихся

x1 , переменной нагрузки

x2 и агрессивной среды x3 . Математической моделью изучаемого про-

цесса является линейное уравнение регрессии [417]:

где Е – знак математического ожидания.

Для постановки эксперимента используется матрица Адамара планирования с насыщенным планом табл. 4.1 [417].

261

Для оценки свободного члена в матрицу планирования эксперимента добавляется столбец «фиктивной» переменной х0.

План, приведённый в табл.4.1, обладает свойствами:

условием ортогональности к столбцу из единиц;

условием попарной ортогональности столбцов, показывающее, что все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга;

условием нормировки [417].

Условие нормировки определяет, что все диагональные элементы матрицы (ХтХ)-1 равны 1/N. В этом случае коэффициенты регрессии определяются по формулам:

где b – вектор оценок параметров b, полученных по методу наименьших квадратов.

Коэффициенты регрессии, исходя из формул (4.23) и (4.24), оцениваются по всем N опытам. Соответственно, в N раз уменьшается дисперсия в их оценке по сравнению с дисперсией единичного опыта.

Многофакторный эксперимент, в виде матрицы планирования, заданный в табл.4.1, обладает и дополнительным положительным свойством рототатбельности.

Обладание коэффициентами регрессии (4.21) независимостью друг от друга при наличии свойства ортогональности (см. табл. 4.1) означает, что одновременно, независимыми друг от друга оказываются и доверительные

262

границы для оценок коэффициентов регрессии при интерпретации результатов исследования.

Результатом полной рандомизации является латинский квадрат, представляющий из себя план дисперсионного анализа, задаваемый расположением некоторого числа символов в ячейках, сгруппированных в строки и столбцы таким образом, чтобы каждый символ встречался один раз в каждой строке и в каждом столбце [160].

Латинский квадрат использовался для планирования экспериментальных исследований на железобетонных конструкциях: жесткости и прочности железобетонных конструкций в зависимости от параметров ступенчато – повторной нагрузки, а именно режима загружения максимальной на-

грузкой tP max / Tц и длительности цикла (Тц) при различных уровнях загруженияминимальнойнагрузкой Pmin / Pmax (табл. 4.2) [381, 382].

При наличии пяти и большего числа переменных, когда все они берутся при одном и том же числе уровней, применяется греко-латинский квадрат. Однако, из-за больших трудностей, связанных с получением требуемых комбинаций, такие квадраты «высокого порядка» практически не используются при проведении эксперимента в строительстве.

Для многих экспериментов из-за трудоёмкости их проведения латинские и греко-латинские квадраты не всегда являются наиболее удобными планами. Поэтому наиболее часто используются сбалансированные и несбалансированные планы эксперимента, так называемые квадраты Юдена, и решетчатые квадраты (табл. 4.3) [649].

В табл. 4.3 буквами обозначены различные варианты испытаний, а цифрами – номера исследованных блочных серий. Знаки «+» и «-» обозначают, что испытания соответственно проводились и не проводились. Данный план называется неполноблочным, так как в каждом блоке не запланировано по одному варианту испытания, и сбалансированным – из-за распределения вариантов испытаний симметрично относительно блоков.

263

Таблица 4 . 3 Неполноблочный сбалансированный план

Для получения результатов в планах подобного типа используется

где yij – результат эксперимента, относящегося к той клетке табл. 4.3,

которая находится на пересечении i-й строки и j-го столбца; μ – математическое ожидание для среднего по всей таблице μ= М {ij}; Bi – математи-

ческое ожидание эффекта i-го блока; Тi – математическое ожидание эффекта j-го варианта испытаний; ij – ошибка эксперимента в клетке с

индексами i j, которая задаёт все ошибки неоднородности в условиях проведения эксперимента, не связанные с изменением уровней факторов.

Предполагается(4.25), что случайная величина ε имеет нормальное распределение, нулевое среднее и дисперсию 2 , записываемая в виде

N O; 2 . Анализ экспериментального материала включает подсчёт

суммы квадратов для каждого из эффектов и для ошибки, переход к полученным дисперсиям и оценка их значимости по отношению к дисперсии, задаваемой ошибкой опыта с помощью F-критерия.

Однако по сравнению с последовательными (классическими) экспериментами, наиболее серьезным ограничением факторных экспериментов на применение в инженерной работе является их использование без затруднений только в случае рабочих формул двух типов. К первому типу относятся формулы, в которых зависимая переменная (результат R) является

где f1, f2 , f3 – функции любой сложности.

Однако примеры такого класса взаимодействующих соотношений в технике и физике встречаются редко.

Второй тип формул, допускающий применение факторных экспериментов, встречается более часто и представляет собой произведение

264

Выражение (4.27) включает результат, широко применяемый при

и анализе множества различных сложных формул, например таких, как:

Рассматривая зависимую переменную R, как частный случай соотношений первого типа функции (4.27), она путём логарифмирования преобразовывается к выражению (4.26):

logR=logf1(X) +logf2(Y)+logf3(Z). (4.31)

Латинский куб первого порядка (латинский куб) представляет план дисперсионного анализа, задаваемый расположением некоторого числа символов в квадратах из строк и столбцов таким образом, чтобы каждый символ встречался одинаковое число раз в каждом квадрате [367, 417]. С помощью латинского куба эффективно решаются комбинированные задачи, путём экономной схемы перебора вариантов. Эффективность использования латинского куба показана в работе [418] при разработке нового полимерного материала с учетом рассмотрения девяти факторов. В результате экспериментального исследования, состоящего из 27 опытов, было получено девять физико-химических характеристик нового полимерного материала.

В отличие от полного факторного эксперимента дробные реплики применяются при необходимости получения линейного приближения некоторого небольшого участка поверхности отклика вместо всей поверхности. При решении такого типа задачи для трех факторов можно ограничиться четырьмя опытами, если в планировании для полного факторного

Дробные реплики при полном факторном эксперименте обладают условиями:

n 1

где i, j = 0, 1, 2,..., k; k – число факторов; N – число опытов в матрице планирования; n – номер опыта.

265

Дробные реплики широко применяются при получении линейных моделей. Целесообразность их применения возрастает с ростом числа факторов. Например, при исследовании явления, содержащего 15 влияющих факторов, число опытов сокращается более чем 2000 раз.

При трех и более факторах количество опытов может быть значительно сокращено за счет потери части информации, не очень существенной при построении линейных моделей. Например, вместо плана 2k используется

дробный факторный план 2k p 2k p k 1 , предназначенный для реали-

зации 2k p опытов.

Для построения дробных планов (реплик) применяются матрицы полного факторного эксперимента. Дробные планы создаются делением числа опытов полного факторного эксперимента на число, кратное двум с соответствующим получением 1/2 реплики (полуреплики), 1/4 реплики (четвертьреплики) и т. д. В случаях, когда полный факторный эксперимент типа 26 включает 64 опыта, то полуреплика содержит 26-1 = 32 опыта, четверть реплика – 26-2 = 16 опытов, 1/8 реплики – 26-3 = 8 опытов и т. д.

Полный факторный эксперимент 22 при постулировании линейной модели рассматривается как совокупность двух полуреплик. Поэтому проведение полного факторного эксперимента с тремя факторами на двух уровнях требует проведение не восемь опытов, а четыре. Это стало возможным за счёт установления соответствующих оценок всех параметров полной кубической модели с учётом отсутствия различия между x0 и x1, x2 , x3; x1

b1 b23; b2 b13; b3 b12. Главные эффекты, включая общее среднее, смешиваются соответственно с эффектом взаимодействий, но с независимой

оценкой друг от друга.

Принципиальное отличие дробных реплик от полного факторного эксперимента заключается в смешивании некоторых линейных эффектов. Разрешающей способности дробной реплики является число линейных эффектов, не смешанных в ней.

Существующие структурные связи между латинским и греко-латин- скими квадратами, кубами, и полным факторным экспериментом с его дробными репликами позволяют рассматривать, например, латинский квадрат 4 4, как 1/2 – реплику полного факторного эксперимента 43. В общем

случае латинский квадрат n n рассматривается как 1/n – реплику n3.

В работе [605] фактором варьирования переменных величин, влияющих на трещиностойкость бетона на пористых заполнителях были

266

выбраны факторы варьирования, отвечающие требованиям отсутствия корреляции между любыми двумя факторами:

1)цементно-водное отношение ;

2)количество цементного текста t;

3)максимальный размер зерна легкого заполнителя;

4)влажность бетона в момент испытания;

5)количество крупного пористого заполнителя в единице объема легкого бетона;

6)активность цемента.

Впостроенной матрице планирования эксперимента, основанной на

применении метода Бокса – Уилсона [193], была реализована 1/8-реплика от полного факторного эксперимента типа 26.

Вцелом, полученные разрешающие зависимости для определения параметров трещиностойкости легких бетонов по характеристикам бетонной смеси и ее компонентов, позволяют прогнозировать трещиностойкость по составу бетона без проведения предварительных экспериментов.

4.4. Планирование экстремальных экспериментов

Поиск оптимальных условий в проведении экспериментов является одной из главных научных задач, стоящих перед исследователями. Параметр оптимизации, связан определённым математическим выражением с факторами, влияющими на изменение изучаемого свойства. Использование данного метода во много раз уменьшает объём экспериментальной работы.

Эксперимент, который ставится для решения задач оптимизации, называется экстремальным. Например, коррозионная сохранность арматуры в бетоне существенно зависит от плотности бетона, которая, в основном определяется следующими факторами: видом и маркой цемента (качественный фактор). а так же количеством наполнителя и воды (количественные факторы). Эксперимент, определяющий вид и марку цемента x1, процентное содержание наполнителя x2 и воды x3 , которые обеспечивают

минимальные значения коэффициента диффузии углекислого газа DCO2 в

бетоне, является экстремальным.

Эффективным способом в планировании исследовательских опытов является планирование экстремальных экспериментов, связанных с поиском экстремальных значений поверхности отклика: самой высокой вершины или самой глубокой впадины. Такие задачи решаются методом экспериментальной оптимизации [160]:

крутого восхождения с движением по градиенту функции отклика;

эволюционного планирования, предназначенного для совершенствованияпроизводственныхобъектов, сдвижениемпоградиентуфункцииотклика.

Рассмотренный подход «крутого восхождения» при планировании эксперимента был предложен в 1951 г. американскими учёными Боксом и Уилсоном [689]. Принципиально новым в экспериментальных исследова-

267

ниях является использование способа движения к экстремуму с помощью градиента в сочетании с дробным фактором плана эксперимента для локального описания поверхности отклика.

Основным принципом метода экстремального планирования экспериментов является поэтапное решение задачи. Работа исследователя заключается в поиске направления кратчайшего движения к области оптимума.

Условиями планирования эксперимента являются:

количественная оценка связей между входными и выходными параметрами изучаемой системы;

управляемость объектом исследования.

Экстремальный эксперимент позволяет при минимальном количестве опытов находить оптимальную область с получением ее математической модели.

Стратегия эксперимента предполагает [120, 418]:

непрерывность шагов достижения поверхности отклика с единственным оптимумом. При этом y f x1x2 ,...xk представляется в виде

степенного ряда в окрестности любой возможной точки факторного пространства. Модели в процессе эксперимента выбираются в виде отрезков степенных рядов – алгебраических полиномов;

проведение эксперимента в факторном пространстве, с учётом выбранной некоторой точки, на основании которого строится первая модель. Она используется для предсказывания результатов в точках, которые не попали в этот эксперимент;

проведение экспериментов для определения численных значений коэффициентов полинома. Чем больше коэффициентов, тем большее минимальное количество опытов необходимо провести. Для уменьшения количества опытов выбирается полином, содержащий как можно меньше коэффициентов. Полином первой степени имеет предпочтение перед полиномами более высоких степеней, благодаря содержанию информации о направлении градиента функции отклика и минимальное число коэффициентов;

повторение экспериментальных циклов до тех пор, пока движение по градиенту не приведёт в почти стационарную область, близкую к оптимуму. В этой области из-за отсутствия необходимости в линейной модели происходит переход к полиномам более высоких степеней.

В общем виде схема решения задачи предполагает определение связи между факторами и параметром оптимизации. Выявляемая связь в результате опытов, представляется в виде приведенного уравнения регрессии:

y b0 bi xi bij x j xi bii xi2 .... (4.34)

Связь между исследуемым параметром у и влияющими параметрами представляется в виде некоторой поверхности y xi , x j .... , рас-

положенной в многомерном пространстве. На изменение любого влияющего параметра xi функция отклика, записываемая в виде отрезка степен-

ного ряда, откликается изменением у.

268

Общая схема планирования экспериментов для решения экстремальных задач состоит из следующих этапов:

постановка задачи;

выбор параметра оптимизации;

выбор факторов;

сопоставление линейного плана;

реализация линейного плана и построение линейной модели;

поиск области экстремума;

описание области экстремума;

интерпретация результатов.

Организация планирования эксперимента включает следующие этапы:

выбор однозначного параметра оптимизации, характеризующегося численными значениями и имеющего физический смысл, оценивающийся

смаксимальной статистической эффективностью, позволяющей сократить до минимума число параллельных опытов;

выбор факторов, влияющих на изменение параметра оптимизации, с учётом невозможности их взаимозаменяемости. Количественный выбор факторов ограничивается областью возможного их варьирования. Факторы, не учитывающие в эксперименте по тем или иным причинам, стабилизируются на постоянных уровнях в течение всех опытов;

выбор основного уровня и интервалов варьирования таким образом, чтобы их величина не превышала удвоенной среднеквадратичной ошибки в определении данного фактора. Например, процедура построения прямой способом наименьших квадратов, полностью зависит от тщательного выбора интервалов между значениями независимой переменной (переменных). Существует два критерия выбора интервалов, на основе которых производится выбор экспериментальных точек:

а) относительная точность данных на различных участках области исследуемых значений, вытекающий непосредственно из рассмотрения ошибок и неопределенностей, на различных участках области исследуемых значений. Так инженеры-строители чаще всего сомневаются в данных, полученных при пониженной нагрузке. В этом случае справедливо общее правило, связывающее повышение точности с числом дополнительных отсчетов: четыре точки дают вдвое большую, а девять – втрое большую точность, чем одна [649];

б) выбор план эксперимента с одинаковыми интервалами между точками при известной функции, если на основании критерия, как неопределенность, не удается установить интервалы между точками;

для выбранной случайным образом малой области факторного пространства с помощью дробных реплик проводится первая серия (обычно из четырех) опытов, по которым строится линейная функция отклика. Их целью является предварительное отыскание направления дальнейшего поиска. По результатам опытов, проведенных в соответствии с матрицей

269

планирования, подсчитываются коэффициенты регрессии линейного уравнения, описывающего локальный участок по формуле:

n 1

где xin – значение xi в n-м опыте; yn – значение параметра оптимизации в

том же опыте.

В соответствии с результатами, полученными на предыдущих этапах, в дальнейшем на каждом этапе ставится небольшая серия опытов, результаты которых определяют следующий шаг. Эти испытания с небольшим количеством элементов заканчиваются в области оптимума, где ставится значительно большая серия опытов. При этом поверхность отклика в области оптимума описывается уже нелинейными функциями, например, в виде квадратичного уравнения:

В этой модели оценка коэффициентов регрессии каждого фактора происходит на трех уровнях, что означает необходимость проведения полного Зm-факторного эксперимента или его дробных реплик. Полученные уравнения регрессии служат математическими моделями. О степени влияния соответствующих факторов и их взаимодействий на параметр оптимизации указывают величины коэффициентов этих уравнений. Статистическая значимость этих коэффициентов свидетельствует об эффективности исследований.

На рис.4.1–4.3 приведены алгоритмы экспериментальной оптимизации метода крутого восхождения [120].

Рис. 4.1. Метод крутого восхождения при неадекватной линейной модели

270