1903

9) осуществляется проверка линии регрессии с помощью критерия

ляционное отношение Пирсона 2 y 2 , n – число испытанных образцов. my

Линейность подтверждается при значении ξ, не превышающей свою основную ошибку s .

Анализ вероятностного рассеяния характеристик выносливости при статистической обработки результатов испытаний металлических конструкций имеет следующую последовательность [35]:

1)составляется вариационный ряд числа циклов нагружения в порядке возрастания значений долговечности Ni ;

2)при количестве опытных образцов n > 20 штук, накопленные частоты Pi подсчитываются по формуле:

i n

где PB – значение выборочной вероятности в вариационном ряду; n – коли-

чество образцов в выборке.

При количестве образцов в выборке n ≤ 20 значение Pi принимается по табл. 3.10 [35].

3)определяется логарифм долговечности X lg N ;

4)результаты испытаний в виде точек с координатами Pi lg Ni пред-

ставляются в нормально логарифмическом масштабе. При образовании экспериментальными точками прямой линии статистические исследования продолжаются в ниже следующим порядке:

5) определяется среднее арифметическое логарифмов долговечностей по формуле:

i 1

241

Таблица 3 . 1 0

Значение выборочной вероятности Р для выборок малого объёма (n<20)

242

8) вычисляется дисперсия

циент определяемый по табл. 3.11 [35] в зависимости от q 1 100% и k n 1, где – доверительная вероятность; n – количество образцов в

выборке; 11) вычисляются доверительные интервалы для среднего квадратич-

ного отклонения σ с заданной доверительной вероятностью γ, обычно принимаемой равной 90 %, 95 % по формуле:

где n – количество образцов в выборке; z1, z2 – коэффициенты, опре-

деляемые по табл. 3.12 в зависимости от доверительной вероятности γ и числа образцов в выборке;

12) определяется коэффициент вариации:

13) в нормально-логарифмическом масштабе вычерчиваются график распределения долговечности в виде прямой, проходящей через две точки,

с координатами одной точки Р=50 %, lg N lg N и другой, определяемой

выбором вероятности разрушения, 100 % > Р > 50 %. Расчёт долговечности при этой вероятности производится по формуле:

где квантиль U p определяется по табл. 3.13;

243

Таблица 3 . 1 1 Коэффициенты tq.k для расчёта доверительных интервалов математического ожидания в зависимости от q и k

244

Таблица 3 . 1 2 Коэффициенты для расчёта доверительных интервалов среднего квадратичного отклонения σ

245

14) доверительная область логарифма долговечности определяется доверительными границами – линиями, проходящими через крайние значения доверительного интервала для математического ожидания, соответственно определяемых при вероятности разрушения Р=50 % и 100 % > Р > 50 % по формулам:

где U p – квантиль нормального распределения, определяемой по табл. 3.13 [35]; lg N Sn и lg N Sn – верхний и нижний пределы доверительных интервалов математического ожидания случайной величины a lg N ;

интервалов для σ. Построение границ доверительной области выше 50 % производится от Р=50 % и выше. Доверительные границы при вероятностях ниже 50 % назначаются параллельным переносом соответствующих линий;

15) при отсутствии расположения экспериментальных точек на прямой линии на графике в нормально логарифмическом масштабе распределение долговечности не подчиняется нормальному закону. Данный фактор может быть устранён, если вместо случайной величины xi lg Ni принимается

ности по циклам. Порог чувствительности представляет наибольшее количество циклов, для которого при данном уровне напряжении вероятность разрушения равна нулю. Влияние порога чувствительности чаще всего проявляется при низких уровнях напряжения вблизи предела выносливости при испытаниях незначительного количества образцов. Исходным выражением при определении порога чувствительности являет-

ся аналитическое соотношение lg N0 0,86lg N . Определяется порог чув-

ствительности графическим способом. В случае отсутствия расположения этих точек на прямой коэффициент 0,86 увеличивают до значений,

позволяющих получить случайную величин у Xi' Ni N0 , подчиняющуюся нормальному закону распределения.

247

Глава 4. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

4.1. Общие положения

Коэффициент полезного действия экспериментальных научных исследований составляет 2 % из-за отсутствия математического обоснования необходимого количества проводимых экспериментальных опытов и, соответственно, получаемых данных экспериментальных исследований [100]. Незначительный объем получаемых экспериментальных данных не позволяет определить функциональную зависимость исследуемых факторов с высокой точностью, а слишком большой объем – увеличивает время исследования и его стоимость.

Поэтому все большое значение при постановке экспериментальных исследований, направленных на изучение сложных систем и различных многофакторных объектов, приобретает планирование экспериментов [120]. В основе теории планирования эксперимента лежат методы регрессионного, корреляционного и дисперсионного анализа.

Методы регрессионного и корреляционного анализов используются для поиска математических зависимостей между переменными по накопленным экспериментальным данным.

Регрессионный анализ является статистическим методом анализа и обработки экспериментальных данных, основанный на сочетании аппарата метода наименьших квадратов и техники статистической проверки гипотез, при воздействии на отклик только количественных факторов. Регрессионный анализ является инструментом построения функциональной зависимости по экспериментальным данным. Модель называется линейной моделью регрессионного анализа по параметрам, если функция отклика f

получается в виде линейных комбинаций базисных функций от факторов

[160]:

y 1 f1 x1x2...xk , 2 f2 x1x2 ,..., xk ... m fm x1x2 ,...., xk , (4.1)

ров), не зависящие от параметров модели.

Модель регрессионного анализа второго порядка (квадратичная модель) задаётся полиномом второго порядка и в общем случае содержит

k 1 k 2 параметров [160]:

2

248

Применение методов регрессионного анализа требует соблюдения следующих условий [372]:

переменные параметры процесса в каждом опыте считаются независимыми, нормально распределенными случайными величинами;

дисперсии параметров системы, при переходе от опыта к опыту, считаются однородными с учётом повторяемости опытов.

Регрессионный анализ обеспечивает построение по экспериментальным точкам искомую кривую с помощью метода наименьших квадратов.

Корреляция представляет взаимосвязь двух или нескольких случайных величин в распределении, измеряющих степень линейной зависимости.

Корреляционный анализ математически согласует теоретические выбранные уравнения с экспериментальными, полученными при моделировании натурных процессов, а также степенью полученной связи между двумя и более величинами. Он оценивает согласованность экспериментальных точек с теоретическими прогнозами, показывая, насколько точно они отражают действительность. Однако, полученная взаимосвязанность между переменными не доказывает наличие причинно-следственной связи между ними.

Коэффициент корреляции rху служит мерой корреляционной связи между переменными Х и Y. Он представляет отношение корреляционного момента (математического ожидания произведения отклонений X и Y) к

наблюдений.

249

Дисперсионный анализ производит разложение суммарной дисперсии на составляющие. Различают однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ в зависимости от количества источников дисперсии. Если при постановке опытов реализуются все возможные совокупности условий, задаваемых выбранной схемой эксперимента, то это означает возможность проведения полного дисперсионного анализа. В случаях неполных классификаций дисперсионного анализа сокращение перебора вариантов может быть осуществлено случайным образом.

Моделью дисперсионного анализа является зависимость отклика от качественных факторов (вид материала, тип прибора) и ошибок наблюдений отклика [160]:

где xi – дискретные переменные, обычно целочисленные; i – параметры модели.

4.2. Планирование эксперимента для дискретных переменных

Применение математической статистики в проведении экспериментов позволяет сократить объём экспериментальных исследований. Статистические методы дисперсионного анализа применяются при планировании и постановки эксперимента в условиях неоднородности получаемых результатов. Точность эксперимента зависит от количества полученных данных. Известно что если σ – стандартное отклонение одного наблюдения, то для группы N наблюдений среднее стандартное отклонение будет равно

N . Следовательно, для уменьшения стандартной ошибки в k раз

необходимо увеличить объем выборки в k2 раз [649].

В экспериментальных исследованиях в подавляющем количестве случаев независимые переменные представлены количественными значениями. Условие построения параметрической линейной модели для дискретных факторов требует соответствующую параметризацию, в отличии от случая непрерывных переменных. Для этого каждому уровню переменной приписывается свой параметр – эффект уровня, а каждому сочетанию уровней любой группы факторов – эффект взаимодействия уровней [85].

Для одного дискретного переменного полиномиальная модель пред-

где yij – результат j-го наблюдения на i-м уровне фактора; µ – неизвестный независимый параметр, так называемое среднее; i – неизвестный пара-

250