1903

оценке среднего значения в долях среднего значения определяемой характеристики; z1-α/2 – квантиль уровня; Р = 1-α/2 – нормированной нормально

распределённой случайной величины z x a ; Р = 1-α/2 – статистическая

обеспеченность, представляющая собой вероятность непревышения фактической ошибкой при оценке среднего значения характеристики максимальных ошибок ∆а или δа (по модулю); δа – максимальная относительная ошибка (допуск) при оценке среднего значения в долях среднего квадратического отклонения изучаемой характеристики механических свойств.

Неизвестная величина генерального коэффициента вариации γ при определении объёма выборки заменяется выборочным коэффициентом υ, полученным на основании априорной информации по аналогичным материалам и элементам конструкций. При отсутствии аналога значением выборочного коэффициента вариации задаются с последующим его уточнением в процессе эксперимента. В этом случае объём испытаний корректируется методом подбора в соответствии с уточненным значением коэффициента вариации по формуле:

где t ,k – значение квантили статистики t уровня Р = 1 – α/2 для числа

степеней свободы k = n – 1 [575].

Значением вероятности Р = 1 – α/2 при использовании формул (3.24) ÷ (3.26) задаются. Обычно принимается α = 0,1 или α = 0,05, реже α = 0,01. Формулы (3.24) ÷ (3.26) получены из условия, что вероятность попадания оценки математического ожидания в интервал a(1±∆a) или α±δaσ будет Р = 1 – α. Величина максимальных ошибок ∆a и δa определяет точность оценки среднего значения характеристики механических свойств строительных материалов. При низкой точности величину ∆a принимают равной коэффициенту вариации определяемой характеристики. В этом случае δa =1. При средней точности ∆а принимают равной (0,4 ÷ 0,5)γ и δa= 0,4÷0,5

при высокой точности – ∆a = (0,2÷0,3)γ и δa = 0,2÷0,3.

Если целью планируемых испытаний является оценка среднего квадратического отклонения характеристики механических свойств, то объём выборки определяется методом подбора [575]:

где ∆σ – максимальная относительная ошибка (допуск) при оценке среднего квадратического отклонения случайной величины Х при нормальном

231

или γ = lgХ при логарифмически нормальном законе распределения; x2/2 и x0,52 – квантили уровня Р = α/2 и Р = 0,5.

Величина α принимается равной 0,1, или – 0,05. Значение ошибки ∆σ выбирается в зависимости от требований к точности оценки среднего квадратического отклонения характеристик механических свойств. При

При n ≥15 объём выборки определяется по приближённой формулой вместо (2.77) [575]:

z2

n 1,5 1 /2 . (3.33) 22

При оценке квантильных значений характеристик механических свойств строительных материалов и конструкций минимально необходимый объём испытаний определяется исходя из заданной точности и статистической надёжности оценки квантили. При нормальном распределении величины Х минимально необходимый объём серии образцов определяется методом подбора из уравнений [575]

Стьюдента с n-1 степенями свободы и параметром нецентральности. Значением доверительной вероятности β=1-α при использовании формул (3.29) и (3.30) задаются. Обычно принимает β=0,9 реже 0,95. Величина максимальной относительной ошибки оценки квантили принимает δР=0,2÷0,3 при высоких требованиях к точности, δР=0,4÷0,6 при средних требованиях и δР = 0,8÷1,0 при низкой точности.

Необходимое количество измерений из-за условия пренебрежения случайной погрешностью, по сравнению с приборной погрешностьюx cos e определяется по формуле [575]:

где n – число измерений, позволяющих пренебречь коэффициентом Стьюдента; 2n – дисперсия случайной погрешности из сделанных изме-

рений; 2devige – дисперсия приборной (систематической) погрешности.

232

Необходимое число количества экспериментальных образцов [35], испытывающихся на выносливость, обеспечивающих требуемую точность

и надёжность параметра у с учётом y , определяется по формуле:

где σ – предполагаемая дисперсия, принимается по предварительной выборке или на основании ранее проведённых испытаний; t – квантиль из

Исходными расчетными данными при испытании образцов на выносливость являются:

отклонение логарифма долговечности от своего среднего арифметического значения lg N 0, 08;

значение t 1,96 при надёжности 0,9 (табл.3.6);

дисперсия 0, 20 , принимаемая по данным ранее проведённых

испытаний.

Необходимое количество образцов составляет:

Аналогичный пример определения необходимого количества опытов по измерению пульсаций давления газа в компрессорной установке по формуле (3.33) приведён в работе [194]. Установлено, что уменьшение

233

доверительной вероятности Р с 0,99 до 0,95 приводит к уменьшению числа опытов в 1,73 раза.

Для минимизации необходимого числа соответствующих измерений на строительных конструкциях используется способ статистической проверки гипотез в виде последовательного анализа получаемых чисел наблюдений. При этом необходимое число наблюдений не фиксируется заранее, а определяется в процессе самой проверки, так как число наблюдений при последовательном анализе есть величина случайная, чем при способах, в которых число наблюдений фиксировано заранее. К последовательной схеме наблюдений обращаются в ситуациях, когда каждое наблюдение является дорогостоящим или труднодоступным. При последовательной процедуре из-за ограниченности выборки, полученной из генеральной выборки, вместо одного порога как в классической процедуре проведения экспериментальных исследований задаются двумя порогами статистической проверки опытных результатов. Они включают проверку основной, или нулевой гипотезы, по которой возможны ошибки как в ту, так и в другую сторону по сравнению с альтернативной гипотезой, конкурирующей с ней [120].

3.4. Линейные корреляции

Результаты эксперимента, выступающие в роли переменных и параметров некоторой функциональной зависимости, теоретически получаемой в рамках математической модели, менее трудоёмки в проверке, если они представлены в виде линейной зависимости [670]:

где x, y – измеряемые величины; a, b – параметры зависимости.

В отдельных случаях при нелинейном виде зависимости она может преобразоваться в линейную (табл. 3.7).

Таблица 3 . 7 Виды преобразованных нелинейных зависимостей в линейную

234

Принятие гипотезы о линейности экспериментальных данных позволяет подтвердить влияние выбранного количества парных измерений n на ве-

рификацию(проверкусправедливости) используемогомодельногоописания. Метод наименьших квадратов является одним из наиболее распространенных приемов статистической обработки экспериментальных данных, относящихся к различным функциональным зависимостям физических величин, в том числе и к линейной зависимости, позволяющим получить достоверные оценки ее параметров a и b, с оценкой их погрешности [670]. Он позволяет определить наилучшую линейную аппроксимацию данных, поскольку при данных значениях параметров достигается минимум вели-

чины «отклонения» прямой от экспериментальных данных:

Стандартное отклонение нормально распределённого параметра b:

гдеα– уровеньзначимости; n – количествопарныхизмерений(см. табл. 3.5).

235

Значение n 1 берется в связи с тем, что в методе наименьших квадратов из экспериментальных данных находят не одну величину, а две – a и b. Связь между ними уменьшает количество независимых случайных переменных, складывающихся в распределение Стьюдента [670].

В методе наименьших квадратов остаточная сумма квадратов определяется как:

дисперсия отдельного измерения. В статистике обосновывается, что величина подчиняется распределению («хи-квадрат») 2 (3.5).

Анализ гипотезы о справедливости интерпретации экспериментальной зависимости, как линейной, начинается с введения уровня значимости ,

задающего интервал от 0 до x2 n, в который величина попадает, если гипотеза справедлива. Величина x2 n, приведены в табл. 3.8.

236

Если неравенство rs2 x2 n, (s – минимальная величина «отклоне-

ния» прямой от экспериментальных данных) не выполняется, то гипотеза о линейности отвергается.

В случае отсутствия сведений о погрешности отдельных измерений для проверки гипотезы линейности используется величина:

где n – число измерений; R – коэффициент корреляции Пирсона, безразмерный индекс в интервале от -1,0 до 1,0 включительно, который отражает степень линейной зависимости между двумя множествами данных:

В статистике обосновывается, что величина λ подчиняется –распре- делению с n 2 степенями свободы. При выполнении условия x2 n, гипотеза о линейной зависимости отвергается [670].

3.5. Использование корреляционного и вероятностного анализа при статистической обработки результатов испытаний на выносливость строительных конструкций

Из-за большей однородности структуры металла по сравнению с железобетоном металлические конструкции более часто используются в промышленных зданиях при воздействии многократно повторно-перемен- ных нагружений. Однако, по мере накопления числа циклов повторнопеременных напряжений в металле происходят необратимые изменения, которые приводят к исчерпыванию резервов пластичности и образованию трещин, что способствует разрушению конструкции.

Долговечность при испытании на выносливость определяется числом циклов с соответствующими уровнями напряжения в цикле нагрузки, выдержанных образцами до разрушения. В то же время даже при испытании более 40 штук металлических образцов на соответствующих уровнях напряжений рассеяние по долговечности, то есть отношение наибольшего числа циклов к наименьшему, может составлять 50 и более раз [35]. Причиной количественного разброса опытных данных является статистическая природа процесса усталостного разрушения материала. Объяснением является структурная неоднородностью металла: различные размеры, форма и ориентировка зёрен; наличие различных фаз и включений; случай-

237

ные изменения в микрогеометрии кристаллической решётки и структуре поверхностного слоя. Поэтому при испытаниях на переменное напряжение рекомендуется испытывать не менее 10 одинаковых прямых моделей инженерно-строительных конструкций как из металла, так и из другого материала [35].

Применение статистического анализа при обработке результатов испытаний на выносливость позволяет обосновать выводы по влиянию на эксплуатационную надёжность металлических элементов инженерностроительных конструкций, прежде всего, технологических факторов.

Долговечность образцов на выносливость при напряжении σ устанавливается при определении функции распределения вероятности разрушения P N , в зависимости от числе циклов N. Целью статистической

обработки результатов испытания на выносливость определённого количества образцов (12-20 штук) при одном уровне напряжения является обоснование параметров полученной функции распределения [35].

В качестве функции распределения вероятности разрушения образца до N циклов наиболее часто выбирается логарифмически нормальный закон распределения нормированной случайной величины U p , называе-

мую квантилем распределения [537]:

где a – математическое ожидание случайной величины Х; σ – среднее квадратичное отклонение случайной величины Х.

Характер рассеяния долговечности при испытаниях на выносливость, соответствующий логарифмическому нормальному закону распределения, был доказан с помощью экспериментальных исследований на большом количестве образцов, составляющим 400-500 штук [537].

Методика проведения линейного корреляционного анализа результатов испытаний на долговечность экспериментальных металлических конструкций ограниченного количества до 12 штук включает следующие этапы расчёта [35]:

1)результаты испытаний в виде напряжения i , при которых образцы разрушаются, логарифмы этих напряжений xi lg i , а также значения долговечности N и их логарифмы yi lg Ni в порядке убывания должны принимать табличную форму ;

2)средние арифметические значения логарифмов напряжений X и логарифмов долговечности y в зависимости от количества образцов n

вычисляются по формулам:

238

4) ковариация напряжений и долговечности mxy определяется как сумма произведений частных отклонений напряжений и долговечности:

7) на основе меры индивидуального рассеяния определяется математическое выражение для семейства кривых выносливости при малых значениях вероятности разрушения 5 %, 2,3 % и 1 % [35]. При заданной вероятности разрушения для описания кривых выносливости уравнение усталостного разрушения металла имеет вид [99]:

количество испытаний образцов, принимается из табл. 3.9 распределения Стьюдента [35];

8) при заданной вероятности в логарифмических координатах строится линия регрессии и кривая выносливости;

239