1903

Все эти факторы действуют не только в модели, но и в прототипе модели [100].

Всвязи с неоднородностью свойств конструкционных материалов механические характеристики строительных конструкций носят случайный характер. Поэтому опытные данные физико-технических свойств строительных конструкций имеют приближённую оценку.

Воснове оценки характеристик средств измерений лежат рекомендации ВНИИМС МИ 2175-911 [114], определяющие порядок построения градуировочных характеристик, средств измерений и способов анализа погрешностей результатов измерений.

Только в процессе измерений физических характеристик на модели и на прототипе модели возникают четыре вида погрешностей за счёт:

1) ошибок чувствительных элементов измерительных устройств;

2) неточности отражения реакции чувствительного элемента в индикаторе;

3) неправильной фиксации показаний прибора наблюдателем – человеком или автоматическим регистрирующим устройством.

4) искажения информации в каналах связи при их использовании.

Три первых вида погрешностей приводят к ошибкам, имеющим две составляющие: случайную и систематическую. Относительный вес каждой из этих составляющих ошибок зависит от применяемых приборов и условий эксперимента. Случайные ошибки эксперимента при многократном его повторении для определения одного и того же параметра одним и тем же методом могут составлять около 15-30 % [100].

Систематическая ошибка обнаруживается при поверке прибора и устраняется путём калибровки или ремонта входящих в измерительную систему устройств.

Точность экспериментов увеличивается за счёт:

повышения тщательности измерений в опытах на модели;

многократного повторения опытов;

статистической обработки полученных результатов.

Кроме того, данные экспериментальных исследований представляют собой случайную выборку, лишь приближенно характеризующую генеральную совокупность и тем более теоретическое распределение. Поэтому обработка данных наблюдений или эксперимента происходит с помощью оценочных параметров распределения, т.е. статистических параметров.

Теория проверки статистических гипотез устанавливает количественные параметры оценки точности данной гипотезы и предлагает критерии проверки статистических гипотез выбора наилучшей в определенном смысле гипотезы.

Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения регламентируется ГОСТ Р ИСО 5479-2002 [186], в котором

222

рассматриваются критерии (графический метод, направленный критерий, многонаправленный критерий, многосторонний критерий, совместный критерий для нескольких независимых выборок) для проверки подчинения генеральной совокупности данных нормальному закону распределения. Все они применяются при полных, несгруппированных данных, за исключением критерия хи-квадрат, ориентированного на использование только сгруппированных данных.

В каждом отдельном случае исследуемого экспериментального процесса проводится проверка соответствия опытных данных принятому теоретическому закону распределения. Наиболее простым приближённым методом оценки согласия результатов эксперимента с тем или иным законом распределения является графический метод. Однако, он является субъективным и используется на практике в качестве первого расчётного приближения.

Согласие результатов эксперимента выбранному виду гипотетического распределения определяется с помощью аналитических статистических критериев. Предполагаемое теоретическое распределение проверяется на взаимное соответствие с экспериментальным распределением при заданном уровне значимости с помощью использования критериев согласия.

Наиболее употребительны разработанный К. Пирсоном «критерий 2 »,

критерий согласия Шапиро – Уилка «критерий W» и критерий «Колмогорова –Смирнова» [194]. При выборках n>100 предпочтение отдаётся критерию согласия К. Пирсона, при 100 n 10 – критерию Колмогорова – Смирнова, при 8 n 50 – критерию согласия Шапиро – Уилки [120, 575].

Критерий согласия К. Пирсона ( 2 ) наиболее часто применяется для

любых видов функции F(х), при неизвестных значениях их параметров, что обычно имеет место при анализе результатов механических испытаний и в этом заключается его универсальность [575]. Однако, он является надёжным способом проверки соответствия результатов эксперимента предполагаемому теоретическому распределению только при наличии большого количества измерений [194].

В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями применяется [120]:

в i-й разряд случайной величины, распределенной по гипотетическому теоретическому закону.

При n U подчиняется 2 -распределению c r k 1 s степенями свободы, где s – число параметров предполагаемого распределения. При

223

Статистика критерия W имеет вид [120]:

где nm2 xi x 2; n – объем выборки; m2 – выборочный центральный

момент второго порядка ( выборочная дисперсия).

При уровне значимости p критическая область критерия образована значениями, меньшими, чем р – квантиль для p (p – квантили статистики критерия W для p 0,01 и p 0,05 [120].

Приближённая проверка гипотезы о нормальности распределения может быть получена с помощью выборочных показателей асимметрии и эксцесса. В этом случае вычисляются выборочные показатели асимметрии и эксцесса, а также их средние квадратические отклонения. Если абсолютная величина выборочных показателей асимметрии и эксцесса равны или меньше своих средних квадратических отклонений, то гипотезу нормальности распределения не отвергают. Если абсолютные величины указанных статистик заметно больше своих средних квадратических отклонений, гипотеза нормальности распределения отвергается.

Сомнительные экспериментальные результаты устраняются с помощью ниже рассмотренных критериев. Нулевой гипотезой при использовании критериев оценки лабораторных и натурных испытаний является предположение о том, что наибольшее значение хn (или наименьшее х1) принадлежит той же генеральной совокупности, что и все остальные n – 1 наблюдений. Использование критерия для отбрасывания при известной генеральной дисперсии возможно для нормально распределённой случайной величины при неизвестном математическом ожидании и известном значении генеральной дисперсии. В строительстве данная ситуация встречается для определения характеристик механических свойств материалов.

Статистическим критерием, устанавливающим пределы для исключения значительно отличающихся точек отсчёта, является критерий Шовене. Он применяется при распределении ошибок по нормальному закону

(табл. 3.2) [649].

Таблица 3 . 2

Статистический критерий Шовене

К методам выявления, резко выделяющихся экспериментальных точек из основной массы точек, сгруппированных вокруг среднего значения с

225

известной величиной рассеяния, полученных на строительных конструкциях, относятся методы Актона и Диксона [35]. Они позволяют проводить сравнительный анализ удаления выделяющейся точки от ближайшей к ней или от центра выборки с известными значениями среднеквадратичного отклонения и размерами выборки.

Метод Актона анализирует резко выделяющийся экспериментальный результат, полученный при испытании серии одинаковых образцов при их количестве до 25 шт. включительно при одном уровне напряжении. Критерием для исключения выпавшей точки является величина:

Tn yn y , (3.16)

S

где yn – резко выделяющееся наблюдение; y – среднее остальных наблю-

дений; S – среднее квадратичное отклонение по остальным наблюдениям. Величины y и S определяются по следующим зависимостям:

Анализ состоит в сравнении соответствующих величин Tn с данными

табл. 3.3, взятыми при соответствующем числе образцов n и вероятности Р, принимаемой Р= 95-99 %. При Tn Tтабл резко выделяющееся наблюдение

не исключается из обработки экспериментальных данных [35]. Таблица 3 . 3

Оценка резко выделяющихся экспериментальных точек по методу Актона

Метод Диксона анализирует экспериментальную точку, выделяющуюся максимальным расстоянием от линии регрессии, на предмет исклю-

чения её из выборки. Он определяет расчётную величину Rрасч, характе-

ризующую отношение расстояния между выпавшей и ближайшей точками к расстоянию между крайними точками выборки по формуле:

226

yn 1 – удаление точки ближайшей к выпавшей, расположенной симметрично от линии регрессии: y n 1 ; y1 – удаление точки бли-

величинам напряжения.

Анализ заключается в сравнении величины R с с табличным значениями (табл. 3.4), принимаемыми в зависимости от числа образцов и вероятности Р. При Rрасч Rтабл значение выделяющейся эксперименталь-

ной точки не исключается из процесса дальнейшей обработки данных [35]. Таблица 3 . 4 Оценка резко выделяющихся экспериментальных точек по методу Диксона

усреднённый разброс значений вокруг математического ожидания. В тоже время этот статистический параметр не устанавливает реальные пределы этого разброса.

Фактические прогнозы вероятностей распределения обеспечивают интервальные оценки параметров распределения. Доверительная вероятность, связанная с двусторонними интервалами называются надёжностью, а с односторонними – обеспеченностью. Приёмы определения доверительных границ для нормально распределённых случайных величин при объёме выборки n 30 справедливы только при известных значениях математического ожидания дисперсии x . При объём выборки n 30 эти

приёмы могут использоваться и при неизвестных значениях x . В этом

227

рительных интервалов используются распределение Стьюдента с k= (-1) степенями свободы.

3.3. Определение необходимого объёма результатов экспериментальных испытаний

При испытаниях моделей строительных конструкций на определение как прочностных и деформативных свойств, так и долговечности, объёмы выборок (серий) опытных образцов, из-за значительной стоимости и трудоёмкости проведения экспериментальных исследований принимаются сравнительно малым числом. Базой для проверки гипотезы нормального распределения результатов испытаний незначительного количества серий является независимость распределения отклонения параметров исходной нормальной совокупности от объема выборки [575].

Проверка гипотезы совпадения экспериментального среднего и известного значения нормальному распределению в виде, что x x0 , где x0 –

заданное значение измеряемой величины, например, из расчетов или справочных таблиц, предусматривает введение новой величины, содержащей как экспериментальное среднее, так и заданное значение [670]:

При равенстве x x0 для n , распределение величины t при конечном

количестве измерений n является распределением Стьюдента. Плотность вероятностираспределенияСтьюдентаописываетсявыражением[670]:

где Г – гамма функция, Г m 0 ym 1e y dy.

Определив распределение p(t, n) при известном n – количестве

в котором величина t попадет с заданной вероятностью . Подтверждение гипотезы совпадения двух независимых средних величин двух групп результатов многократных измерений x1, x2 ,......xn и y1, y2 ,.......yn2 нормаль-

но распределенных величин x и y двух независимых экспериментов при уровне значимости с учётом полученных оценок x, 2x , y, 2y , определяет выбор необходимого количества измерений.

228

Необходимое количество измерений n нормально распределённых величин х и у в двух независимых экспериментах при равенстве средних значений x, y определяются из распределения Стьюдента [670]:

и y1, y2 ,....yn .

Главной задачей экспериментальных исследований на прямых моделях строительных конструкций является определение минимально необходимого объёма образцов n, достаточных для получения результатов исследования. Условия испытания и методика обработки полученных результатов определяют величину возможной ошибки, которая и устанавливает объём испытаний (число образцов).

Техническое обоснование необходимого количества экспериментальных образцов определяется характеристиками их механических свойств с наперёд заданной степенью точности и статистической надёжности. При отнесении доверительного интервала к многократному измерению связь среднего квадратичного отклонения x окончательного

результата, то есть погрешности определения среднего значения, и среднего квадратичного отклонения отдельного измерения выражается в виде соотношения [575]:

Увеличение количества измерений в 100 раз приводит к повышению

где table – известное среднее квадратичное отклонение результата отдельного измерения для заданного значения доверительной вероятности.

Вэксперименте окончательный результат x многократного измерения,

сучётом x , оценивается, исходя из конечного числа результатов

229

отдельных измерений, количество которых обычно не превышает 5-10. Поэтому такое незначительное число отдельных измерений требует более широкого доверительного интервала:

где t ,n – коэффициенты Стьюдента, зависящие от полного количества измеренийn изаданногозначениядоверительнойвероятности (табл. 3.5).

При оценке математического ожидания характеристик физико-техни- ческих свойств на строительных конструкциях в экспериментальных исследованиях объём выборки в предположении нормального закона распределения определяется по формуле [575]:

или

x2

n 1 /2 , (3.30)2a

где γ – коэффициент вариации определяемой характеристики механических свойств; ∆а – максимальная относительная ошибка (допуск) при

230