Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

914

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

898.87 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

215. y y			2ex	.	216.	y 2 y y 2 y 2x3 x2 4x 6 .
			ex 1
							x4
				Индивидуальные задания
		I. Найти общее решение линейного неоднородного
				дифференциального уравнения
1. а) y y 2x 1;						б) y 8y 17 y 10e2 x .
2. а)	y 2 y 5y 10e x cos 2x ;					б)	y y 6 y e3 x (6x 1) .
3. а) y 2 y 8y 12sin 2x 36cos 2x ;
б) y 7 y 12 y 3e4 x .
4. а) y 12 y 36 y 14e6 x ;						б) y 2 y 6 12x 24x2 .
5. а)	y 3y 2 y (34 12x)e x ;
б)	y 6 y 34 y 18cos5x 60sin 5x .
6. а) y 6 y 10 y 51e x ;						б) y 2 y e2 x (4x 4) .
7. а)	y y 2cos x (4x 4)sin x ;
б) y 2 y y 4x3 24x2 22x 4 .
8. а) y 6 y 10 y 74e3 x ;						б) y 4 y 8 16x .
9. а)	y y 2 y 3cos x 19sin x ;					б)	y 2 y y 4ex .
10. а)		y 6 y 9 y (48x 8)ex ;
б)		y 8y 20 y 16(sin 2x cos 2x) .
11. а)		y 5y 72e2 x ;				б)	y 6 y 13y 34e 3 x sin 2x .
12. а)		y 5y 6 y 3cos x 19sin x ;
б)		y 2 y 3y ex			(12x2 6x 4) .
13. а) y 8y 12 y 36x4 96x3 24x2 16x 2 ;
б)		y 4 y 4 y 6e 2 x .
14. а)		y 8y 25y 18e5 x ;				б)	y 3y 10 6x .
15. а)		y 9 y 20 y 126e 2 x ;
б)		y 10 y 25y 40 52x 240x2					200x3 .
16. а)		y 36 y 36 66x 36x3 ;
б)		y 4 y 20 y 4cos 4x 52sin 4x .
17. а)		y y 4cos x 2sin x ;				б)	y 4 y 5y 5x2 32x 5 .
18. а)		y 2 y 24y 6cos3x 33sin 3x ;
б)		y 2 y y e x			(12x 10) .
19. а)		y 6 y 13y 75sin 2x ;				б)	y 4 y y e2 x ( 24x 10) .
20. а)		y 5y 39cos3x 105sin 3x ; б)					y 6 y 9 y 72e3 x .

21.	а)	y 4 y 29 y 104sin 5x ;	б)	y 16 y 80e2 x .
22.	а)	y 4 y 5y (24sin x 8cos x)e 2 x ;
	б) y 4 y 15ex .
23.	а)	y 16y 8cos4x ;	б)	y y 2 y 9cos x 7sin x .
24.	а)	y 9 y 9x4 12x2 27 ;	б)	y 2 y y e x (18x 8) .
25.	а)	y 12 y 40 y 2e6 x ;	б)	y 14 y 49 y 144sin 7x .
26.	а)	y 4 y ex (24cos 2x 2sin 2x) ;
	б) y 9 y 10e3 x .
27.	а)	y 2 y y 6e x ;	б) 4 y 4 y y 25cos x .
28.	а)	y 2 y 37 y 37x2 33x 74 ;
	б) 3y 5y 2 y 6cos 2x 38sin 2x .
29.	а) 6 y y y 3e2 x ;		б)	y 4 y 29 y 26e x .

30.а) 2 y 7 y 3y 222sin 3x ; б) 4 y 3y y 11cos x 7sin x .

II. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным

условиям

1.y 2 y y 12cos 2x 9sin 2x, y(0) 2, y (0) 0.

2.y 6 y 9 y 9x2 39x 65, y(0) 1, y (0) 1.

3. y 2 y 2 y 2x2 8x 6, y(0) 1, y (0) 4.

4.y 6 y 25y 9sin 4x 24cos 4x, y(0) 2, y (0) 2.

5.y 14 y 53y 53x3 42x2 59x 14, y(0) 0, y (0) 7.

6.y 6 y ex (cos 4x 8sin 4x), y(0) 0, y (0) 5.

7.y 4 y 20 y 16xe2 x , y(0) 0, y (0) 5.

8.y 12 y 36 y 32cos 2x 24sin 2x, y(0) 2, y (0) 4.

9.y y x3 4x2 7x 10, y(0) 2, y (0) 3.

10.y y e x (14 16x), y(0) 0, y (0) 1.

11.y 8y 16 y 16x2 16x 66, y(0) 3, y (0) 0.

12.y 10 y 34 y 9e 5 x , y(0) 0, y (0) 6.

13.y 6 y 25y (32x 12)sin x 36xcos3x, y(0) 4, y (0) 0.

14.y 25y ex (cos5x 10sin 5x), y(0) 3, y (0) 4.

15.y 2 y 5y 8e x sin 2x, y(0) 2, y (0) 6.

16.y 10 y 25y e5 x , y(0) 1, y (0) 0.

17.y y 12 y e4 x (16x 22), y(0) 3, y (0) 5.

18.y 2 y 5y 5x2 6x 12, y(0) 0, y (0) 2.

19.y 8y 16 y 16x3 24x2 10x 8, y(0) 1, y (0) 3.

20.y 2 y 37 y 36ex cos6x, y(0) 0, y (0) 6.

21.y 8y 16 48x2 128x3 , y(0) 1, y (0) 14.

22.y 12 y 36 y 72x3 18, y(0) 1, y (0) 0.

23.y 3y e2 x (40x 58), y(0) 0, y (0) 2.

24.y 9 y 218y 26cos x 8sin x, y(0) 0, y (0) 2.

25.y 8y 18x 60x2 32x3 , y(0) 5, y (0) 2.

26.y 3y 2 y sin x 7cos x, y(0) 2, y (0) 7.

27.y 2 y 6x2 2x 1, y(0) 2, y (0) 2.

28.y 16 y 32e4 x , y(0) 2, y (0) 0.

29.y 5y 6 y 52sin 2x, y(0) 2, y (0) 2.

30.y 4 y 8e2 x , y(0) 1, y (0) 8.

III. Определить и записать структуру частного решения y * линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду функции f (x)

1.2 y 7 y 3y f (x) ;

а) f (x) e3 x (2x 1) ;

2. 3y 7 y 2 y f (x) ; а) f (x) 3xe2 x ;

3. 2 y y y f (x) ; а) f (x) (x2 5)e x ;

4.2 y 9 y 4 y f (x) ; а) f (x) 2e4 x ;

5.y 49 y f (x) ;

а) f (x) x3 4x ;

6. y 3y 2 y f (x) ;

а) f (x) x 2ex ;

7. 3y 10 y 3y f (x) ; а) f (x) e 3 x ;

8. y 4 y 4 y f (x) ; а) f (x) sin 2x 2e2 x ; 9. y y y f (x) ; а) f (x) ex cos x ;

10. y 3y f (x) ;

а) f (x) 2x2 5x ;

б) f (x) cos3x .

б) f (x) sin 2x 3cos 2x .

б) f (x) xsin x .

б) f (x) ex cos 4x .

б) f (x) 3sin 7x .

б) f (x) 3cos 4x .

б) f (x) 2cos3x sin 3x .

б) f (x) x2 4 .

б) f (x) 7x 2 .

б) f (x) e x sin 2x .

11. y 3y 4 y f (x) ; а) f (x) 3xe 4 x ;

12. y 36 y f (x) ; а) f (x) 4xe x ;

13. y 6 y 9 y f (x) ; а) f (x) (x 2)e3 x ;

14. 4 y 5y y f (x) ;

а) f (x) ex (4x 2) ;

15.4 y 7 y 2 y f (x) ;

а) f (x) 3e 2 x ;

16.y y 6 y f (x) ;

а) f (x) 2xe3 x ;

17.y 16 y f (x) ; а) f (x) 3e4 x ;

18.y 4 y f (x) ;

а) f (x) (x 2)e4 x ;

19. y 2 y 2 y f (x) ;

а) f (x) e4 x (2x 3) ;

20. 5y 6 y y f (x) ;

а) f (x) x2 ex ;

21. 5y 9 y 2 y f (x) ; а) f (x) x3 2x ;

22. y 2 y 15y f (x) ; а) f (x) 4xe3 x ;

23. y 3y f (x) ; а) f (x) 2x3 4x ;

24. y 7 y 12 y f (x) ;

а) f (x) xe3 x 2ex ;

25. y 9 y f (x) ;

а) f (x) x2 4x 3;

26.y 4 y 5y f (x) ; а) f (x) 2xex ;

27.y 3y 2 y f (x) ;

а) f (x) e x (3x 7) ;

б) f (x) xsin x .

б) f (x) 2sin 6x .

б) f (x) 4cos x .

б) f (x) ex sin 3x .

б) f (x) (x 1)cos 2x .

б) f (x) 9cos x sin x .

б) f (x) cos x 4sin x .

б) f (x) 3cos 4x .

б) f (x) ex sin x .

б) f (x) cos x sin x .

б) f (x) 2sin 2x 3cos 2x .

б) f (x) xsin 5x .

б) f (x) 2e3 x cos x .

б) f (x) 3xsin 2x .

б) f (x) xe2 x sin x .

б) f (x) x cos 2x sin 2x .

б) f (x) cos x 3sin x .

28. y 8y 16 y f (x) ; а) f (x) 2xe4 x ;

29.y y 2 y f (x) ; а) f (x) 3x cos 2x ;

30.y 3y 4 y f (x) ;

а) f (x) 6xe x ;

б) f (x) cos 4x 2sin 4x .

б) f (x) 3x cos 2x .

б) f (x) x2 sin 2x .

IV. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных

1. y y					ex			.
1. y y			ex				1	.					e2 x
			ex				1
3. y 4 y 5y																	.
3. y 4 y 5y										cos x							.
				1						cos x
				1
5. y 9 y											.
5. y 9 y					sin 3x						.
7. y 2 y 2 y													e x				.
7. y 2 y 2 y											cos x						.
											cos x
9. y 2 y 2 y e x ctgx .
11.	y 2 y y										ex					.
11.	y 2 y y															.
											x2
13.	y 4 y ctg 2x .
15.	y 2 y y ex .
				1								x
	y			1
17.		y							.
17.		y			cos x				.
19.	y	4 y					1								.
19.	y	4 y				sin 2x									.
21.	y	4 y		4 y										e 2 x			.
21.	y	4 y		4 y											x3		.
															x3
23.	y 2 y y 3e x																x 1 .
25.	y y e2 x						cos(ex ) .
27.	y y tg2 x .
29.	y	2 y		5y												e x		.
29.	y	2 y		5y										sin 2x				.
														sin 2x

			1
2.	y 4 y						.
2.	y 4 y			cos 2x			.
4.	y y			sin x		.
4.	y y		cos2 x			.					1
			cos2 x
6.	y 2 y y xex												.
6.	y 2 y y xex									xex			.
								ex		xex
8.	y 2 y 2 y							ex			.
8.	y 2 y 2 y					sin 2 x					.
						sin 2 x
10.		y 2 y	2 y					e x				.
10.		y 2 y	2 y					sin x				.
								sin x
12.		y y tg x .
14.		y y ctg x .
16.		y 2 y	y			e x			.
16.		y 2 y	y				x		.
			1				x
18.		y y	1		.
18.		y y		sin x	.
				sin x

20. y 4 y tg 2x .

22.y 4 y 4 y e2 x .

24.	y y ctg2 x .
26.	y y e2 x sin(ex ) .
	2
28.	y y			.
		sin 2 x
	1
30.	y 9 y				.
			cos3x

4. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Основные понятия

Для решения многих задач математики, физики, техники (задач динамики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают несколько последовательных химических реакций I порядка и других) нередко требуется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким дифференциальным уравнениям, образующим систему.

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы дифференциальных уравнений первого порядка, содержащей n искомых функций y1 , y2 ,..., yn следующий:

(x; y

; y

;...; y

; y ; y

;...

; y ) 0,

..................................................

(x; y

; y

;...; y

; y ; y

;...

; y ) 0.

Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. система вида

dy1	f (x; y ; y ;...; y ),
dx	1		1	2		n

dy2	f2		(x; y1 ; y2			;...; yn ),
									(4.1.1)

dx
...................................

dyn	f	n	(x; y	; y	2	;...; y	n	).
		n	1		2		n
dx

называется нормальной системой дифференциальных уравнений. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Решением системы (4.1.1) называется совокупность из n функций y1 , y2 ,..., yn , удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия для системы (4.1.1) имеют вид

y (x	) y0	,	y	2	(x	) y0	, …,	y	n	(x	) y0 .	(4.1.2)
1 0	1			2	0	2			n	0	n

Задача Коши для системы (4.1.1) ставится следующим образом: найти решение системы (4.1.1), удовлетворяющее начальным условиям (4.1.2).

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Если в системе (4.1.1) все функции fi (x; y1 ;...; yn ) непрерывны вместе со

всеми своими частными производными по yi в некоторой области D ( (n 1) -мерного пространства), то в каждой точке M 0 (x0 ; y10 ; y20 ;...; yn0 ) этой области существует, и притом единственное, решение y1 1 (x) , y2 2 (x) , …, yn n (x) системы, удовлетворяющее начальным условиям

(4.1.2).

Меняя в области D точку M 0 (т.е. начальные условия), получим

бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения, зависящего от n произвольных постоянных:

y1 1 (x;C1 ;C2 ;...: Cn ) , …, yn n (x;C1 ;C2 ;...: Cn ) .

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (4.2) можно однозначно определить постоянные C1 ;C2 ;...: Cn из системы

уравнений

		(x;C ;C		;...	;C	n		) y0		,
	1	1	2			n		1
...................................

		(x;C	;C	;	;C			) y	0	.
		(x;C	;C	;	;C		n	) y	n	.
	n	1	2				n		n

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных C1 ;C2 ;...: Cn , называется частным решением системы (4.1.1).

4.2. Интегрирование нормальных систем

Одним из основных методов интегрирования нормальной системы дифференциальных уравнений является метод сведения системы к одному дифференциальному уравнению высшего порядка. Метод основан на следующих соображениях.

Пусть дана нормальная система (4.1.1). Продифференцируем по x любое уравнение системы, например первое:

d 2 y

...

n .

dx2

Подставив в это равенство значения производных

dy1

dy2

,…,

dyn

из

системы (4.1.1), получим

d 2 y

...

fn ,

dx2

или, кратко,

d 2 y1 F2 (x; y1 ; y2 ;...; yn ) . dx2

Продифференцировав полученное равенство еще раз, и заменив значения производных dydx1 , …, dydxn из системы (4.1.1), получим

d 3 y1 F3 (x; y1 ; y2 ;...; yn ) . dx3

Продолжая этот процесс (дифференцируем – подставляем – получаем), находим:

d n y

F (x; y ; y

;...; y

) .

dxn

Соберем полученные уравнения в систему:

dy1

(x; y

; y

;...; y

d 2 y1

(x; y ; y

;...; y

dx2

d 3 y1

F3 (x; y1 ; y2 ;...; yn ),

(4.2.1)

......................................

d n y

(x; y1 ; y2 ;...; yn ).

dxn

Из первых (n 1) уравнений системы (4.2.1) выразим функции y2 , y3 , …,

через x , функцию y

и ее производные y ,

, …,

y(n 1)

. Получим:

2 (x; y1 ; y1 ;...; y1( n 1) ),

( n 1)

3 (x; y1 ; y1 ;...; y1

(4.2.2)

......................................

(x; y ; y ;...; y( n 1) ).

Найденные значения

y2 ,

y3 , …,

подставим в последнее уравнение

системы (4.2.2). Получим одно дифференциальное уравнение n -го порядка относительно искомой функции y1 :

d n y		; y ;...; y(n 1) ) .
1 Ф(x; y		; y ;...; y(n 1) ) .
dx	1	1	1
dx

Пусть его общее решением имеет вид

y1 1 (x;c1 ;c2 ;...;cn ) .

Продифференцировав его (n 1) раз и подставив значения производных

y ; y ;...; y( n 1)		в уравнение системы (4.2.2), найдем функции y		2	,	y	3	, …,	y	n	:
1 1	1			2			3			n
		y2 2 (x;c1 ;c2 ;...;cn ) , … ,	yn n (x;c1 ;c2 ;...;cn ) .

Пример 1. Решить систему уравнений

dy 4 y 3z,dx

dz 2 y 3z.

Решение. Продифференцируем первое уравнение: y 4 y 3z .

Подставляем втрое уравнение системы		z 2 y 3z в полученное
равенство:
y 4 y 3(2 y 3z) ,	y 4 y 6 y 9z ,	y 4 y 6 y 9z .

Составляем систему уравнений:

y 4 y 3z,

y 4 y 6 y 9z.

Из первого уравнения системы выражаем z через y и y :

z 4 y y . 3

Подставляем значение z во второе уравнение последней системы:

y 4 y 6 y	9(4 y y )	,	y 4 y 6 y 3(4 y y ) ,
	3
y 4 y 6 y 12 y 3y ,				y y 6 y 0 .

Получили одно линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Найдем его общее решение.

	Характеристическое уравнение 2	6 0	имеет корни 1 2 ,
2	3.
	Тогда общее решение

y c1e 2 x c2e3x .

Найдем функцию z . Значения

y c e 2 x		c	e3x	,	y (c e 2 x		c	e3 x ) 2c e 2 x					3c			e3 x
	1	2			1		2				1				2
подставляем в выражение z через y и y :
z 4 y y 1 4(c e 2 x						c	e3 x ( 2c e 2 x				3c			e3x )
	3		3		1	2			1				2
1	3		3										1 c
1	4c e 2 x 4c			e3 x 2c e 2 x			3c		e3 x 2c e 2 x				1 c			e3 x .
3	1		2		1			2		1				3	2
Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет вид
		y c e 2 x c				e3x , z 2c e 2 x				1 c		e3 x .
			1		2				1	3	2

Замечание. Систему уравнений (4.2.1) можно решать методом интегрируемых комбинаций. Суть метода состоит в том, что посредством арифметических операций из уравнений данной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции.

Проиллюстрируем технику этого метода на следующем примере.

Пример 2. Решить систему уравнений

dx y 1,dt

dy x 1.

Решение. Сложи почленно уравнения системы:

x y x y 2 , или (x y) (x y) 2 .

Обозначим z x y , тогда имеем

						z z 2 .
Решим полученное уравнение:
dz z 2 ,	dz		dt ,		ln(z 2) t ln c ,			ln(z 2) ln c	t ,
dz z 2 ,			dt ,		ln(z 2) t ln c ,			ln(z 2) ln c	t ,
dt	z	2					1	1
dt	z	2
				z 2		et ,	z 2 c et .
						et ,	z 2 c et .
				c1			1
				c1

Возвращаясь к переменным x и y , получим первый интеграл системы: x y c1 et 2 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.2024184.74 Кб091.pdf
#
16.06.2024890.81 Кб0910.pdf
#
16.06.2024891.8 Кб1911.pdf
#
16.06.2024892.7 Кб0912.pdf
#
16.06.2024896.28 Кб1913.pdf
#
16.06.2024898.87 Кб0914.pdf
#
16.06.2024899.03 Кб1915.pdf
#
16.06.2024901.9 Кб2916.pdf
#
16.06.2024904.05 Кб0917.pdf
#
16.06.2024908.24 Кб0918.pdf
#
16.06.2024909.51 Кб2919.pdf