914

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

z (x) y (x) z

(x) f (x).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

898.87 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Общее решение ЛОДУ: y C1 cos x C2 sin x . Найдем частное решение исходного уравнения:

f(x) 4cos x .

0, 1,

i i,

s 1, r 0.

y* x Acos x Bsin x ,

где А и В – неопределенные коэффициенты. Найдем A и B .

y * Acos x Bsin x x ( Asin x B cos x) ,

y * Asin x B cos x Asin x B cos x x ( Acos x Bsin x)

2Asin x 2B cos x x ( Acos x Bsin x) .

Подставив y*, ( y*) в исходное уравнение, получим:

2Asin x 2B cos x x ( Acos x Bsin x) x ( Acos x Bsin x) 4cos x ,

2Asin x 2B cos x 4cos x .

Отсюда имеем:

cos x 2B 4 B 2, sin x 2A 0 A 0.

Общее решение имеет вид

y y y* C1 cos x C2 sin x 2xsin x .

Найдем частное решение.

y C1 sin x C2 cos x 2sin x 2xcos x .

Подставим в y(x) и y (x) начальные условия y(0) 3, y (0) 1.

C1 cos0 C2 sin 0 2 0 sin 0 3 C1 3,

C1 sin 0 C2 cos0 2sin 0 2 0 cos0 1 C2 1.

Искомое частное решение

y 3cos x sin x 2xsin x .

Принцип наложения решений

Теорема о наложении решений.

Если y1* – решение уравнения

y( n) a1 (x) y( n 1) ... an (x) y f1 (x) ,

а y2* – решение уравнения

y( n) a1 (x) y( n 1) ... an (x) y f2 (x) ,

то сумма y1* y2* является решением уравнения

y( n) a1 (x) y( n 1) ... an (x) y f1 (x) f2 (x) .

Пример 7. Решить уравнение y 2 y y sin x e x .

Решение. Найдем общее решение y ЛОДУ: y 2 y y 0 . Характеристическое уравнение 2 2 1 0 , или ( 1)2 0 , 1,2 1.

Общее решение ЛОДУ: y C1ex C2 xex . Найдем частное решение исходного уравнения:

f1 (x) sin x .	f2 (x) e x .
0 ,	1,
1,	0 ,
i i ,	i 1,
s 0 ,	s 0 ,
r 0 ;	r 0 ;
y* Asin x B cos x .	y* Ce x .
1	2
Определим коэффициенты А и В.

( y1* ) Acos x Bsin x , ( y1* ) Asin x Bcos x .

Asin x B cos x 2( Acos x Bsin x) Asin x B cos x sin x ,

Asin x B cos x 2Acos x 2Bsin x Asin x B cos x sin x ,

2Acos x 2Bsin x sin x . cos x : 2A 0 A 0 ,

sin x : 2B 1 B 12 . y1* 12 cos x .

Определим коэффициент С.

( y2* ) Ce x , ( y2* ) Ce x .

Ce x 2Ce x Ce x e x , или 4Ce x e x , 4C 1 C 14 .

y2* 14 e x .

Общее решение ЛНДУ имеет вид

y y y1* y2* C1ex C2 xex 12 cos x 14 e x .


	Пример 8. Решить уравнение y y 2ex x2 .
	Решение. Найдем общее решение		ЛОДУ: y y 0 .
	Решение. Найдем общее решение	y	ЛОДУ: y y 0 .
	Характеристическое уравнение 2 1 0 , или			( 1)( 1) 0 ,	1 1,
2	1.

Общее решение ЛОДУ: y C1 x C2 e x .

Найдем частное решение исходного уравнения:
f1 (x) 2ex .				f2 (x) x2 .
1,				0 ,
1,				0 ,
i 1,				i 0 ,
s 1,				s 0 ,
r 0 ;				r 2 ;
y* Axex .				y* Bx2 Cx D .
1				2
Определим коэффициент А.
( y* ) Aex	Axex ;	( y* ) Aex Aex Axex 2Aex Axex .
1		1
2Aex Axex Axex			2ex ,	или 2Aex 2ex ,	A 1.
			y* xex .
			1

Определим коэффициенты В, С, D.

( y2* ) 2Bx C , ( y2* ) 2B . 2B Bx2 Cx D x2 .

x2 : B 1 B 1, x : C 0 C 0,

x0 : 2B D 0 D 2B 2 .

y2* x2 2 .

Таким образом, общее решение ЛНДУ имеет вид

y y y1* y2* C1ex C2 e x xex x2 2 .

Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим ЛНДУ
y( n) a	(x) y( n 1)	a	(x) y( n 2) ... a	n	(x) y f (x) .	(3.4.3)
1		2		n

Его общим решением является функция y y * y .

Общее решение уравнения (3.4.3) можно найти, если известно общее решение y соответствующего однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящем в следующем.

Пусть y c1 y1 (x) c2 y2 (x)	– общее	решение линейного					однородного
уравнения, соответствующего уравнению (3.4.3).
Заменим в общем решении постоянные c1 и c2 неизвестными функ-
циями z1 (x) и z2 (x) и подберем их так, чтобы функция
y* z (x) y (x) z			2	(x) y	2	(x)	(3.4.4)
1	1

была решением уравнения (3.4.3). Найдем производную

			( y* ) z		(x) y (x)			z (x) y (x)						z		(x) y				2	(x) z					2	(x) y (x) .
				1	1			1			1			2						2						2			2
Подберем функции z1 (x) и z2 (x) так, чтобы
							z (x) y (x) z							(x) y			2	(x) 0.											(3.4.5)
							1	1					2				2
Тогда
					( y* ) z (x) y (x)									z	2	(x) y					(x) ,
								1			1				2					2
			( y* ) z (x) y (x)					z (x) y (x)						z		(x) y					(x) z					2	(x) y (x) .
				1	1			1			1				2					2						2			2
Подставляя				выражение для							y* ,			( y* ) ,					( y* ) в								уравнение (3.4.3),
получим:
			z (x) y (x) z (x) y (x) z											(x) y				(x) z				2		(x) y (x)
			1		1		1	1					2				2					2					2
		a	z (x) y (x) z			2	(x) y (x) a						z (x) y (x) z										2		(x) y			2	(x) f (x) ,
		1	1	1		2		2				2		1				1					2					2
или				z1 (x) y1 (x) a1 (x) y1 (x) a2 (x) y1 (x)
				z1 (x) y1 (x) a1 (x) y1 (x) a2 (x) y1 (x)
z	2	(x)	y (x) a (x) y (x) a						2	(x) y		2	(x) z (x) y (x) z																(x) y (x) f (x) .
	2		2		1		2		2			2						1			1						2		2

Поскольку z1 (x) и z2 (x) – решения соответствующего однородного уравнения, то выражения в квадратных скобках равны нулю, а поэтому

z (x) y (x) z			(x) y	(x) f (x) .
1	1	2	2

Таким образом, функция (3.4.4) будет частным решением y* (3.4.3), если функции z1 (x) и z2 (x) удовлетворяют системе

(3.4.5) и (3.4.6):

(3.4.6)

уравнения

уравнений

(3.4.7)

Определитель системы	z1	(x)	z2	(x)	0 , так как это определитель
Определитель системы	z1	(x)	z2	(x)	0 , так как это определитель
	z (x)		z	(x)
	1		2

Вронского для фундаментальной системы частных решений y1 (x) и y2 (x)

соответствующего однородного уравнения. Поэтому система (3.4.7) имеет единственное решение:

(3.4.4) составляем частное решение уравнения (3.4.3).

Суть метода представим в виде алгоритма для ЛНДУ второго порядка.

1.y a1 y a2 y f (x)

2.y a1 y a2 y 0

3.y C1 y1 C2 y2 – общее решение ЛОДУ

4.C1 C1 (x), C2 C2 (x)

5.y C1 (x) y1 C2 (x) y2 - общее решение ЛНДУ

(x) y1

(x) y2

(x), C2

(x) .

(x) y2

f (x).

(x) y1

Пример 9. Решить уравнение y 4 y 5y

e2 x

cos x

Решение.

1. Составляем однородное уравнение, соответствующее неоднородному дифференциальному уравнению: y 4 y 5y 0 .

Характеристическое уравнение имеет вид: 2 4 5 0 .

D 16 20 4 , 1,2 4 2i 2 i . 2

2. Общее решение однородного уравнения имеет вид:

ye2 x c1 cos x c2 sin x c1 e2 x cos x c2 e2 x sin x , где c1 , c2 – const.

3.Варьируем константы c1 , c2 , заменяя их неизвестными функциями

z1 (x) , z2 (x) .

4. Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде

y* z1 (x)e2 x cos x z2 (x)e2 x sin x ,

где z1 (x) , z2 (x) – неизвестные функции.

5. Необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

z (x) y

(x) y

f (x)

z (x) y

(x) y

a0 (x)

Из полученного выше решения

z (x)e2 x cos x z

(x)e2 x

sin x полу-

чаем:

y e2 x cos x ,

e2 x sin x .

Найдем производные:

(e2 x cos x) 2e2 x cos x e2 x sin x e2 x (2cos x sin x) ,

(e2 x sin x) 2e2 x sin x e2 x cos x e2 x (2sin x cos x) .

Из исходного уравнения

f (x)

e2 x

. Коэффициент a0 –

это коэф-

cos x

фициент при второй производной исходного уравнения, в данном случае a0 1.

Тогда система будет иметь вид:

	z (x)e2 x	cos x z (x)e2 x sin x 0;
	1		2
	z (x)e2 x	(2cos x sin x) z (x)e2 x (2sin x cos x)		e2 x	.
	z (x)e2 x	(2cos x sin x) z (x)e2 x (2sin x cos x)			.
	1		2	cos x
				cos x
Систему решаем по формулам Крамера.
Найдем главный определитель системы:
W	e2 x cos x		e2 x sin x
	e2 x cos x		e2 x sin x
	e2 x (2cos x sin x)		e2 x (2sin x cos x)

e2 x cos x e2 x (2sin x cos x) e2 x (2cos x sin x) e2 x sin x

e4 x (2cos xsin x cos2 x) e4 x (2cos xsin x sin 2 x)

e4 x (2cos xsin x cos2 x 2cos xsin x sin 2 x) e4 x 0.

Так как W e4 x 0 , система имеет единственное решение.

	0			e2 x sin x		e	2 x	e2 x sin x e	4 x	sin x .

W	e2 x	e	2 x	(2sin x cos x)	0
						cos x
1									cos x
	cos x

Находим производную:

z1 (x) W1

		e4 x sin x	sin x .
		cos x	sin x .
		e4 x	cos x

Функцию z1 (x) восстанавливаем интегрированием:
z (x)	sin x dx	d(cos x) ln	cos x	C .

1	cos x	cos x			1

Находим функцию z2 (x) . Для этого сначала находим определитель:

W2		e2 x cos x
		e2 x cos x
		e2 x (2cos x sin x)

Находим производную:

0	e2 x cos x	e2 x	0 e4 x .

e2 x
		cos x
cos x

z	(x)	W	e4 x	1.
		2

2		W	e4 x

Восстанавливаем функцию z2 (x) интегрированием:

z2 (x) dx x C2 .

Записываем общее решение неоднородного

уравнения в виде

y z

(x)ex z

(x) xex , подставляя найденные функции

z (x) ,

(x) :

y ln

C e2 x cos x (x C

cos x

)e2 x sin x ,

где C1 , C2 – const.

Пример 10. Решить уравнение y 2 y y ex x 2 .

Решение.

1. Составляем однородное уравнение, соответствующее неоднородному дифференциальному уравнению: y 2 y y 0 .

Характеристическое уравнение имеет вид

2 2 1 0 , 1 2 0 .

Корни характеристического уравнения 1,2 1.

2. Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y c1ex c2 xex ,

где c1 , c2 – const.

3. Варьируем константы c1 , c2 , заменяя их неизвестными функциями z1 (x) , z2 (x) .

4. Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде

y* z (x)ex z

(x) xex ,

где z1 (x) ,

z2 (x) – неизвестные функции.

5. Запишем и решим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

(x)e

(x) xe

(x)ex z

(x)(ex

xex ) x 2ex .

Систему решаем по формулам Крамера.

Найдем главный определитель системы:

xex

ex ex xex ex xex e2 x xe2 x xe2 x e2 x 0 .

ex xex

Так как W e2 x

0 , система имеет единственное решение.

xex

0 x 2 ex xex x 1 e2 x .

x 2 ex

xex

Находим производную:

z (x)

x 1 e2 x

x 1

e2 x

Функцию z1 (x) восстанавливаем интегрированием:

z (x)

1 dx ln x C ln

C .

Находим функцию z2 (x) . Для этого сначала находим определитель:

x 2ex 0 x 2 e2 x .

x 2 ex

Находим производную:

x 2

e2 x

z (x)

x 2

e2 x

Восстанавливаем функцию z2 (x) интегрированием:

z2 (x)

C2 .

6. Записываем

общее

решение

неоднородного

уравнения в виде

y z (x)ex z

(x) xex , подставляя найденные функции z (x) , z

(x) :

y ln

где C1 , C2

– const.

Пример 11. Решить уравнение y 2 y y ex x 2

Решение.

1. Составляем однородное уравнение, соответствующее данному неод-

нородному ДУ: y 2 y y 0 .
Характеристическое уравнение имеет		вид		2	2 1 0 или
( 1)2 0 .
Корни характеристического уравнения: 1,2		1.
2. Общее решение однородного уравнения:			C ex C			xex
		y
3. C1 C1 (x),	C2 C2 (x) .	1			2

4. Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

yC1 (x)ex C2 (x)xex .

5.Запишем и решим систему

(x)e

(x)xe

(x)e

(x)(e

) x

(x)x

(x) C2

(x)(1

x) x

(x) C2

C2 (x) x 2 , C2 (x) x 2 , C2 (x) dx2 C2

C2 .

(x) 1

0 ,

(x) 1 , C (x)

dx C ln 1 C .

– общее решение ЛНДУ.

C1 e

Задачи для самостоятельного решения

	В задачах 159 – 182 решить дифференциальное уравнение
159.	y 2 y 2 y 1 x .	160.	y y y x x2 ex .
161.	y y sin x cos x .	162.	y y ex sin x
163.	y 2 y 2 y 2x .	164.	y y 2x3 x 2 .
165.	y 7 y 6 y sin x .	166.	y y 8cos3x .
167.	y y xcos x .	168.	y y y 3cos 2x
169.	y 8y 8x .	170.	y 4 y 4e4 x .
	y 4 y 3y x2 .		3
171.	y 4 y 3y x2 .	172.	5y 6 y 5y e5 x cos x .
173.	7 y y 14x .	174.	y 4 y 3y 9e 3 x .

175.	y 3y 3xe 3 x .	176.	y 4 y 8y e2 x sin 2x .
177.	y 5y 6 y 10 1 x e 2 x .	178.	y 3y 2 y xex .
179.	y 5y 3x2 sin 5x .	180.	y y 2 y 2e 2 x e2 x
181.	y y cos x sin 5x .	182.	y 2 y y x2 e x cos x .

В задачах 183 – 192 найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям

183.y y 4ex , y(0) 4 , y (0) 3.

184.y 2 y 2ex , y(1) 1, y (1) 0 .

185.y 4 y sin x , y(0) 1, y (0) 1.

186.y 2 y 2 y xe x , y(0) y (0) 0 .

187.y y 2 1 x , y(0) 1, y (0) 1.

188.y 2 y 10 y 10x2 18x 6 , y(0) 1, y (0) 3,2 .

189.y y sin 2x 0 , y( ) y ( ) 1.

190.y 2 y ex x2 x 3 , y(0) y (0) 2 .

191.y 4 y 5y 2x2 ex , y(0) 2 , y (0) 3.

192.y 4 y 4 sin 2x cos2x , y( ) y ( ) 2 .

Взадачах 193 – 206 найти частные решения уравнений по виду правой части, не вычисляя коэффициентов

193.	y 2 y y 2.	194.	y 2 y y x2 e x cos x .
195.	y y 5cos 2x xsin 2x .	196.	y y xsin 2x x2 cos 2x .
197.	y 2 y 5y x2 ex cos 2x .	198.	y 6 y 9 y xe3 x .
199.	y 7 y 10 y xe 2 x cos5x .	200.	y 8y 20 y 5xe4 x sin 2x .
201.	y 6 y 9 y x2 x 3.	202.	y y sin x xcos x .
203.	y 3y 2 y 5 ex .	204.	y 4 y sin 2x cos7x .
205.	y y 2 y ex e 2 x .	206.	y 3y x2 1 cos x .

В задачах 207 – 216 решить уравнения способом вариации постоянных

207.	y 2 y y				ex	.	208.	y y e2 x cosex .
207.	y 2 y y				x2 1	.	208.	y y e2 x cosex .
		1			x2 1
209.	y y	1	.				210.	y 2 y y 3e x			x 1 .
209.	y y	sin x	.				210.	y 2 y y 3e x			x 1 .
		sin x						y 2 y y ex .
211.	y y	1		.			212.
211.	y y	cos x		.			212.
		cos x							x
	y 4 y 2tg x .							1
213.							214.	y 4 y		.
213.							214.	y 4 y	cos 2x	.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.2024184.74 Кб091.pdf
#
16.06.2024890.81 Кб0910.pdf
#
16.06.2024891.8 Кб0911.pdf
#
16.06.2024892.7 Кб0912.pdf
#
16.06.2024896.28 Кб0913.pdf
#
16.06.2024898.87 Кб0914.pdf
#
16.06.2024899.03 Кб0915.pdf
#
16.06.2024901.9 Кб2916.pdf
#
16.06.2024904.05 Кб0917.pdf
#
16.06.2024908.24 Кб0918.pdf
#
16.06.2024909.51 Кб1919.pdf