914

Корни характеристического уравнения D 4 4 0,

1 2

1 –

y ex ,

y

2

xex .

1

Общее решение уравнения имеет вид y C ex

C

xex ex (C C

x) .

1

2

1

2

Пример 3. Решить уравнение y 4 y 13y 0.

Решение. Составляем характеристическое уравнение

2 4 13 0 .

Корни характеристического уравнения D 16 52 36 0,

p

,

q

p2

, 1,2 2 3i

– комплексные.

4

2

Этим корням соответствует фундаментальная система решений:

y e2 x

cos3x

, y

2

e2 x sin 3x .

1

Общее решение уравнения имеет вид

y C e2 x cos3x C

e2 x sin 3x e2 x (C cos3x C

2

sin 3x) .

1

2

1

Используя начальные условия, составляем систему:

3 C1

C2 ,

C1

3 C2 ,

3 C2 7C2 0 ,

6C2 2 ,

7C2

1 C1

1

, C 3 1 10 .

C

2

3

1

3

3

Тогда частное решение имеет вид:

y

1 ex 10 e7 x .

3

3

Корни характеристического уравнения:

( 2 2 3) 0 , 1 0 , D 4 12 16 0, 2 3, 3

1 – действи-

тельные и различные.

Общее решение уравнения имеет вид: y C C

e3 x C

e x .

1

2

3

Пример 6. Решить уравнение yV 2 y IV 2 y 4 y y 2 y 0 .

Решение. Составляем характеристическое уравнение

5 24 23 42 2 0 , или

( 2)(2 1)2 0 .

Корни характеристического уравнения: 1

2 –

действительный,

2,3 i , 4,5 i – мнимые.

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 120 – 158 решить дифференциальное уравнение

120.

y 4 y 0.

121.

y 2 y 3y 0 .

122.

9 y 12 y 4 y 0 .

123.

4 y 8y 5y 0 .

124.

y y 2 y 0 .

125.

y y 0 .

126.

y 4 y 3y 0 .

127.

y 5y 4 y 0 .

128.

y 6 y 9 y 0 .

129.

y 3y 2 y 0 .

130.

y 8y 25y 0 .

131.

y 4 y 4 y 0 .

132.

y 4 y 3y 0 .

133.

y 2 y 2 y 0.

134.

y 4 y 0 .

135.

y 4 y 0 .

136.

y y 0 .

137.

y 2 y 5y 0 .

138.

y 2 y y 0 .

139.

y 3y 2 y 0

140.

4 y 8y 5y 0 .

141.

y 2 y y 0.

142.

y 6 y 13y 0.

143.

3y 2 y 8y 0 .

149.

y 6 y 11y 6 y 0 .

150.

y 8y 0 .

151.

2 y 3y y 0

152.

yIV 13y 36 y 0 .

29. а) 6 y 7 y 3y 0 ; б) y 16 y 0 ; в) 4 y 4 y y 0.

30. а) 9 y 6 y y 0 ; б) y 12 y 37 y 0 ; в) y 2 y 0 .

II. Найти частное решение линейного однородного

дифференциального уравнения.

1.

y 7 y 6 y 0 , y(0) 0, y (0) 0, y (0) 30.

2.

yV 9 y 0 , y(0) 1, y (0) 1, y (0) 0 .

3.

y y 0 ,

y(0) 0, y (0) 0, y (0) 1.

4.

y 4 y 0 , y(0) 0, y (0) 2, y (0) 4 .

5.

y y 0 ,

y(0) 0, y (0) 1, y (0) 1.

6.

y y 0 ,

y(0) 0, y (0) 2, y (0) 4 .

7.

yIV 2 y 2 y y 0 ,

y(0) 0, y (0) 0, y (0) 0, y (0) 8 .

8.

y y 5y 3y 0 ,

y(0) 0, y (0) 1, y (0) 14 .

9.

y y 0 ,

y(0) 0, y (0) 1, y (0) 1.

10.

y 5y 8y 4 y 0 , y(0) 1, y (0) 1, y (0) 0 .

11.

y 3y 2 y 0 ,

y(0) 0, y (0) 0, y (0) 2 .

12.

y 3y 3y y 0 ,

y(0) 1, y (0) 0, y (0) 1.

13.

y 2 y 9 y 18y 0 , y(0) 2,5, y (0) 0, y (0) 0 .

14.

y 9 y 0 , y(0) 0, y (0) 9, y (0) 18 .

15.

y 3y 12y 0 ,

y(0) 0, y (0) 1, y (0) 133.

16.

yIV 5y 4 y 0 ,

y(0) 2, y (0) 1, y (0) 2, y (0) 0 .

17.

yIV 10 y 9 y 0 ,

y(0) 0, y (0) 0, y (0) 8, y (0) 24 .

18.

y y y y 0, y(0) 0, y (0) 1, y (0) 0 .

19.

y 3y 3y y 0 ,

y(0) 0, y (0) 0, y (0) 4 .

20.

y y 4 y 4 y 0 ,

y(0) 1, y (0) 0, y (0) 6 .

21.

yIV 2 y

y 0 ,

y(0) 2, y (0) 0, y (0) 1, y (0) 2 .

22.

yIV y 0 ,

y(0) 0, y (0) 0, y (0) 0, y (0) 4.

23.

yIV 16 y 0 , y(0) 0, y (0) 0, y (0) 0, y (0) 8.

24.

y y 4 y 4 0, y(0) 0, y (0) 0, y (0) 12 .

25.

y 2 y 9 y 18y 0 , y(0) 1, y (0) 3, y (0) 9.

26.

yV 6 yIV 9 y 0 , y(0) y (0) y (0) y (0) 0, y IV (0) 27 .

27.

y 2 y y 0 , y(0) 0, y (0) 2, y (0) 3.

28.

y y y y 0, y(0) 1, y (0) 0, y (0) 1.

29.

yIV 5y 4 y 0 ,

y(0) 1, y (0) 4, y (0) 1, y (0) 16 .

30.

yIV 10 y 9 y 0 ,

y(0) 1, y (0) 3, y (0) 9, y (0) 27 .

y( n) a (x) y( n 1)

a

2

(x) y( n 2) ... a

n

(x) y f (x) ,

(3.4.1)

1

где a1 (x), a2 (x),...,an (x), f (x)

– непрерывные функции от х на интервале

y( n) a

(x) y( n 1)

a

(x) y( n 2) ... a

n

(x) y 0 .

(3.4.2)

1

2

y( n) a (x) y( n 1) a

2

(x) y( n 2) ... a

n

(x) y 0 .

1

2. Найти y* – частное

решение ЛНДУ по

специальному виду его

правой части f(x). При этом использовать теорему: если

f (x) e x (P (x)cosx Q (x)sin x) ,

m

n

где Pm (x)

– многочлен степени m; Qn (x) – многочлен степени n,

то

y* xs e x (M r (x)cos x Nr (x)sin x) ,

где M r (x), Nr (x) – многочлены степени r, r=max(m,n),

Значение r

Общий вид многочленов Mr (x), Nr (x)

r=0

A

r=1

Ax+B

r=2

Ax2+Bx+C

r=3

Ax3+Bx2+Cx+D

----------------------------

------------------------

r=l

A1xl+A2xl-1+A3xl-2+…+Al+1

3. Найти коэффициенты многочленов M r (x) и Nr (x)

методом неоп-

ределенных коэффициентов, предварительно подставив y*

и ее производ-

Вид правой части

i

Вид частного решения

1. f (x) Pn (x) ,

а) i 0 – не ко-

а) y* Qn (x) ,

P (x) – многочлен степени n от

рень

характеристи-

Q

(x) – многочлен

той

же

n

ческого уравнения

n

х.

степени, что и P (x) .

n

б) i 0 – ко-

б) y* xsQn (x) ,

рень

характеристи-

Qn (x) – многочлен той же

ческого

уравнения

степени, что и P (x) .

кратности s.

n

2.

f (x) Pn (x)e x ,

а)

– не корень ха-

а)

y* Qn (x)e x ,

P

(x) – многочлен степени n от

рактеристического

Q

(x) – многочлен

той

же

n

уравнения

n

х.

степени, что и Pn (x) .

б)

– корень харак-

б)

y* xsQn (x)e x ,

теристического урав-

Q

(x) – многочлен

той

же

нениякратностиs.

n

степени, что и Pn (x) .

3.

а) i – не корень ха-

а) y* Acos x B sin x ,

f (x) C cos x D sin x ,

рактеристического

А и В – постоянные неоп-

С,D – постоянные числа

уравнения

ределенные коэффициенты

б)

i

– корень ха-

б)

рактеристического

y* xs (Acos x B sin x)

А

уравнения

крат-

и В – постоянные неоп-

ности s.

ределенные коэффициенты

4.

а)

i – не корень

а)

f (x) (Pm (x) cos x Qn (x)sin x)

характеристического

y* e x (Mr (x) cos x

Pm (x) – многочлен степени m,

уравнения

Nr (x)sin x)

Qn (x) – многочлен степени n

Mr (x), Nr (x) – многочлены

степени r, r=max(m,n)

б)

i

– корень

б)

характеристического

y* xse x (Mr (x) cos x

уравнения

кратно-

Nr (x)sin x)

сти s.

Mr (x), Nr (x) – многочлены

степени r, r=max(m,n)

Подставив y*, ( y*) , ( y*) в

исходное уравнение,

получим:

2A Ax B x 4 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, находим

коэффициенты А и В:

x : A 1,

x0 : 2A B 4 B 2.

Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид

y* x 2 .

Следовательно,

y

y* C ex C

xex x 2

– общее

решение

y

уравнения.

1

2

Пример 2. Решить уравнение y 6 y 8y e2 x .

Решение. Найдем общее решение

ЛОДУ: y 6 y 8y 0.

y

Характеристическое уравнение

2 6 8 0 ,

D 36 32 4 , 1 2 ,

2

4.

Общее решение ЛОДУ:

C e2 x

C

e4 x .

y

1

2

y*

1 xe2 x .

2

1 xe2 x

Следовательно, y

y* C e2 x C

e4 x

– общее решение

y

1

2

2

Характеристическое уравнение

2 4 13 0 ,

D 16 52 36 ,

1 2 3i , 2 2 3i .

Общее решение ЛОДУ:

C e2 x cos3x C

e2 x sin 3x .

y

1

2

9Acos3x 9Bsin3x 4( 3Asin3x 3Bcos3x)

13( Acos3x Bsin 3x) 40cos3x

или ( 9A 12B 13A)cos3x ( 9B 12A 13B)sin 3x 40cos3x .

Отсюда имеем:

cos3x :

4A 12B 40,

sin 3x :

4B 12A 0 B 3A.

4A 36A 40 A 1, B 3

Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид

y* cos3x 3sin 3x .

Следовательно,

y

y* C e2 x cos x C

e2 x sin 3x cos3x 3sin 3x –

y

1

2

Пример 4. Решить уравнение y 5y 4 y 4x2e2 x .

Решение. Найдем общее решение

ЛОДУ: y 5y 4 y 0 .

y

Характеристическое уравнение

2 5 4 0 , D 25 16 9 ,

1 1,

2 4 .

Общее решение ЛОДУ:

C ex

C

e4 x .

y

2

1

s 0, r 2.

y* e2 x Ax2 Bx C ,

где A, B,C – неопределенные коэффициенты.

Найдем A, B,C .

Ax

Bx C e

2Ax B ,

y *

2e

2 x

2

2 x

y *

4e

2 x

Ax

2

Bx C 2e

2 x

2Ax B

2e

2 x

2Ax B e

2 x

2A

4e2 x Ax2 Bx C 4e2 x 2Ax B 2Ae2 x .

Подставив y*, ( y*) , ( y*) в исходное уравнение, получим:

4e2 x Ax2 Bx C 4e2 x 2Ax B 2Ae2 x 10e2 x Ax2 Bx C

5e2 x 2Ax B 4e2 x

Ax2 Bx C 4x2 e2 x , или

x2

2A 4 A 2,

x

2B 2A 0, B A B 2,

x0

2C B 2A 0, C B 2A / 2, C 3.

Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид

y* 2x2 2x 3 e2 x .

Следовательно,

e4 x 2x2 2x 3 e2 x

y y y* C ex C

– общее решение урав-

1

2

Пример 6. Найти частное решение уравнения

y y 4cos x , удо-

влетворяющее начальным условиям y(0) 3, y (0) 1.

Решение. Найдем общее решение

ЛОДУ:

y y 0 .

y

Характеристическое уравнение 2 1 0 , 1

i , 2

i .