Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

914

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

898.87 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

2.4. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

Уравнения вида
y P(x) y Q(x) ,	(2.4.1)

где P(x) и Q(x) – непрерывные функции на промежутке (a,b) или числа,

называется линейным ДУ первого порядка.

Замечание. Линейное ДУ первого порядка, в котором y – аргумент, а x x( y) , имеет вид

x P( y) x Q( y) .

Особенность ДУ (2.4.1): искомая функция у и ее производная y

входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой. Рассмотрим способ И.Бернулли интегрирования ДУ (2.4.1).

Решение линейного уравнения (2.4.1) будем искать в виде произведения двух функций u u(x) и v v(x) .

1.Пусть y u(x) v(x) .

2.Найдем производную y u v u v .

3.Подставив y и y в уравнение (**), получим:

u v u v P u v Q ; u v v (u P u) Q .

Положим u P u 0 , значит u v Q . Имеем систему ДУ с разделяющимися переменными:

u P u 0,u v Q.

4. В качестве u выберем частное решение уравнения u P u 0 .

Разделим в нем переменные

dudx P u 0 , dudx P u , duu P dx .

Проинтегрировав, получим:

ln u Pdx C1 .

(2.4.2)

(2.4.3)

e Pdx Q ,

Нам достаточно найти одну из функций, удовлетворяющих уравнению (2.4.2), так как добавление C1 не повлияет на вид общего решения данного

уравнения. Пусть C1 0, тогда

ue Pdx .

5.Подставив найденную функцию u во второе уравнение системы

(2.4.2), получим:

ve Pdx Q .

Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: dv

dv e Pdx Q dx , dv Q e Pdx dx ,

v Q e Pdx dx C .

6. По формуле y u v получим общее решение уравнения (2.4.1):

	Pdx	dx		Pdx	.
y Q e		dx	C e		.

Уравнение вида y P(x) y Q(x) yn ,			где	n R ,		n 0,	n 1, назы-
вается уравнением Бернулли.
Замечание: Уравнение Бернулли, в котором				y – аргумент, а x x( y) ,
имеет вид
x P( y) x Q( y) xn , где n R , n 0						, n 1.

Уравнение Бернулли можно свести к линейному.

Если в уравнении Бернулли n 0 , то уравнение – линейное, при n 1 –

сразделяющимися переменными.

Вобщем случае, разделив уравнение Бернулли на yn 0 , получим:

			y n y P y n 1 Q .				(2.4.4)
Обозначим y n 1 z(x) , тогда z dz					(1 n) y n y .
			dx		z
Отсюда находим			y n y		z	.
Отсюда находим			y n y	1	n	.
				1	n
Тогда уравнение (2.4.4) принимает вид
	1	z P(x) z Q(x)	– уравнение линейное относительно z . Таким
1 n		z P(x) z Q(x)	– уравнение линейное относительно z . Таким
1 n
образом, подстановка z y n 1 сводит уравнение (2.4.4) к линейному.
Решать его будем способом Бернулли y u v							(не сводя его к линей-
ному).

Пример 1. Решить уравнение y	2	y (x 1)3 .
Пример 1. Решить уравнение y	x 1	y (x 1)3 .
Решение.	x 1
Решение.

1.Уравнение линейное, введем подстановку y u(x) v(x) .

2.y u v u v .

3.Подставив y и y в исходное уравнение, получим:

u v u v

2uv

(x 1)3 ;

x 1

u v v u

(x 1)

;

x 1

u v (x 1)3 .

4. Решим уравнение u

0 . Разделим переменные:

0 ,

x 1

2dx

x 1

Проинтегрировав, получим:

ln u 2ln x 1 ,

u(x 1)2 .

5.Подставим найденную функцию u во второе уравнение системы:

Следовательно,

6. y u v (x 1)2

u v (x 1)3 ,

(x 1)2 v (x 1)3 , v x 1.

	dv		x 1,
	dx
	dv (x 1)dx ,
	v (x 1)2 C .
			2
	(x 1)	2	– общее решение ДУ.
C

	Пример 2. Найти частное решение уравнения x y y x2 sin x , если
		1.
y		1.
	2

Решение.

1.Уравнение линейное, введем подстановку y u(x) v(x) .

2.y u v u v .

3. Подставив y и y в исходное уравнение, получим: x (u v uv ) uv x2 sin x ,

x u v x u v uv x2 sin x ; x u v u (x u u) x2 sin x ,

x u u 0,

x v u x2 sin x.

4. Решим уравнение x u u 0 . Разделим переменные:

x du u 0 , dx

x du u , dx

x du u dx , duu dxx .

Проинтегрировав, получим:

ln u ln x , u x .

5.Подставим найденную функцию u во второе уравнение системы:

x2 v x2 sin x ,

dvdx sin x , dv sin x dx ,

следовательно, v cos x C .

6. y u v x cos x C – общее решение ДУ.

Найдем частное решение. Подставим				y 1,		x		в общее решение и
найдем постоянную С:							2
найдем постоянную С:
1					C	,
1	2	cos		2	C	,
	2			2
		1	C ,
			2

				c		2	.
				c			.

				2
Следовательно,	y x cos x				– частное решение ДУ.
Следовательно,	y x cos x				– частное решение ДУ.

Пример 3. Решить уравнение (x y) y 1.
Решение.		1
1. Учитывая,	что y	1	, от		исходного уравнения переходим к

линейному ДУ, в котором y – аргумент, а x x( y) : x x y .

Введем подстановку: x u( y) v( y) .

2.x u v u v .

3.Подставив x и x в исходное уравнение, получим:

u v u v u v y , u v u v u v y , v (u u) u v y ,

u u 0,u v y.

4. Решим уравнение u u 0 . Разделим переменные dudy u ,

duu dy .

Проинтегрировав, получим:

ln u y ,

uey .

5.Подставим найденную функцию u во второе уравнение системы

				e y v y ,
				ey dv y ,
				dy
				dv e y y dy ,
			v e y y dy C .
e y y dy	u y y	dy	du dyy	e y y e y dy e y y e y C .
e y y dy	u y y		du dyy	e y y e y dy e y y e y C .
	dv e		v e

v e y ( y 1) C .

6. x u v e y ( y 1) C ey ( y 1) C ey – общее решение ДУ. 25

Пример 4. Решить уравнение Бернулли xy y y2 ln x .

Решение.

1.Введем подстановку x u( y) v( y) .

2.x u v u v .

3.Подставив x и x в исходное уравнение, получим:

x u v x v u u v u2 v2 ln x ,

x u u 0,

x v u u2 v2 ln x.

4. Решим уравнение x u u 0 .

x dudx u 0 , x dudx u .

Разделим переменные:

duu dxx , lnu ln x , lnu ln x 1 , u 1x .

5. Находим функцию v , подставив найденную функцию u , во второе

уравнение системы:
x v 1			1			v2		ln x ,

x				x2
v v2					ln x			,
					x2
dv	v2				ln x			,
dx					x2
dv				ln x			dx ,
v2
				x2
dv2		ln x				dx C .
		2
v		x

Интеграл lnx2x dx вычислим методом интегрирования по частям:

2x dx

u ln x

ln x

dx2

ln x

C .

dv x2

v x

Получаем:

ln x

1 C ,

ln x 1 Cx ,

ln x 1 Cx

6. y u v

– общее решение ДУ.

ln x 1 Cx

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 69–100 решить дифференциальное уравнение

69.

x .

70.

xy2 .

xy 2 y sin x .

71.

y tgx

72.

cos x

73.

2ey

x y `1.

74.

y 1 2x y 1.

75.

y y ex .

76.

y x y .

77.

y 2xy 2xe x2 .

78.

y y cos x .

79.

y xy xy3 .

80.

y x y xy2 .

81.

y y xy3 .

82.

xy 2 y x5 y2 .

83.

2 y

x3 .

84.

x2 y 2xy 3 .

85.

1 y2 dx xy dy 0 .

86.

3xy 2 y

87.

xy y x2

cos x .

88.

2xy x y2 .

89.

xy 2 y x2 .

90.

xy y ex 0 .

91.

y2 .

92.

y y tg x y2

cos x 0.

x 1

93.

x ln x .

94.

y ctg x y 2cos2 x ctg x .

x ln x

x y x y e

, y 1 e.

95.

x y y sin x, y

96.

98. x y 3 y 5x2 , y 1 0 .

97.

x y 2 y 2x4 , y 1 0 .

99.

1 x2

y arcsin x ,

y(0) 0 .

100. y y tg x

, y(0) 0 .

cos x

Дифференциальные уравнения первого порядка

Название уравнения

Вид уравнения

С разделенными переменными

P(x) dx Q( y) dy 0

С разделяющимися переменными

P1 (x)Q1 ( y)dx P2 (x)Q2 ( y) dy 0

Приводящиеся к уравнению с

а)

f (ax bx C) ;

разделяющимися переменными

б)

a1 x b1 y

, если

x b y C

Линейные относительно y

P(x) y Q(x)

Уравнение Бернулли

P(x) y Q(x) yn

n 0, n 1

Однородные

а)

;

б) P(x, y) dx Q(x, y) dy 0

P(t x,t y) t k P(x, y)

Q(t x,t y) t k Q(x, y)

Метод интегрирования

P(x) dx Q( y) dy C

P1 (x) dx Q1 ( y) dy C P2 (x) Q2 ( y)

а) подстановка ax by c z

б) подстановка a1 x b1 y z

а) метод Лагранжа

б) метод Бернулли: y u v Метод Бернулли: y u v

Подстановка xy u

7. Приводящиеся к однородному

a1 x b1 y c1

, если

x b y c

8. В полных дифференциалах

P(x, y) dx Q(x, y) dy 0 ,

9. Приводящиеся к уравнению в

P(x, y) dx Q(x, y) dy 0 , если

полных дифференциалах

, но

а)

u(x)

б)

u( y)

a x b y c

(x0

, y0 )

a2 x b2 y c2 0

x x

y y

P(x, y) dx

Q(x, y)dy C

а) ln

б) ln

P(x, y) dx Q(x, y) dy

(см.8)

Индивидуальные задания

I. Найти общее решение дифференциального уравнения

ex 3 y dy xdx .

y sin x y ln y .

y (2x 1)ctgy .

tg y

tg x

dx 0 .

cos2

(1 ex ) ydy e y dx 0 .

6. ( y2 3) dx ex

ydy 0 .

sin y cos x dy cos ysin x dx .

y (2 y 1) tg x .

sin(x y) sin(x y) dx

0 .

10.

1 ex y y ex .

cos y

11.

3ex sin y dx (1 ex )cos y dy 0 .

12.

sin x tg y dx

0 .

e2 x

sin x

13.

14.

3x2 y dy xdx 0 .

ln y

15.

cos(x 2 y) cos(x 2 y) y

16.

y ex2

x(1 y2 ) .

cos x

17.

ctg xcos2 y dx sin2 x tg y dy 0.

18.

sin x y y cos x 2cos x .

19. 1 (1 y )ey 0 .

20.

y ctg x y 2 .

21.

sin y dx tg y dy 0 .

22.

e x2 dy

cos2

23.	sin(2x y) sin(2x y) dx			dy	.

				sin y
25.	cos ydx 2	1 x2 dy cos y 1 x2 dy.
27.	ex tg y dx	1 ex	dy .

		cos2 y
29.	cos3 y y cos(2x y) cos(2x y) .

24. 1 e3 y x dx e3 y dy .

26. y 1 x2 cos2 y 0 .

28. 3y2 x2 yxy .

30. y sin(x y) sin(x y) .

II. Найти общее решение дифференциального уравнения

1. xy x3 y y 1 y2 .			2.			y	3.

					7 y x

3.	y xy 2(1 x2 y ) .		4.		y xy 1 x2 y .
5. (x 4)dy xydx 0 .			6.		y y y2 0 .
7.	y2 ln xdx ( y 1)xdy 0 .		8.	x xy2 dy ydx y2 dx 0 .
9.	x2 x y dx y2 1 dy 0 .		10.			y 2 y y2 0 .
11. xy3 x dx x2 y2 y2		dy 0 .	12.			1 y2 dx y yx2		dy 0.

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.2024184.74 Кб091.pdf
#
16.06.2024890.81 Кб0910.pdf
#
16.06.2024891.8 Кб0911.pdf
#
16.06.2024892.7 Кб0912.pdf
#
16.06.2024896.28 Кб0913.pdf
#
16.06.2024898.87 Кб0914.pdf
#
16.06.2024899.03 Кб0915.pdf
#
16.06.2024901.9 Кб2916.pdf
#
16.06.2024904.05 Кб0917.pdf
#
16.06.2024908.24 Кб0918.pdf
#
16.06.2024909.51 Кб1919.pdf