820

Таким образом, все четные коэффициенты bn равны нулю, а нечетные

имеют вид b2k 1 4 . Следовательно,2k 1

Очевидно, что сумма ряда в точках x 0 и x равна нулю. Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию

Поскольку функция задана в интервале, отличном от , , произведем замену независимой переменной по формуле x x / , или x x 1 . таким образом получим следующую функцию :

51

Вычислим значения суммы ряда на концах интервала:

почленным интегрированием соответствующего ей ряда Фурье, а производная f x – почленным деференцированием. При деференцировании

условие f f является необходимым.

1.12. Тригонометрическое интерполирование

Операция представления функции f x рядом Фурье называется гар-

моническим анализом. В практических расчетах мы вынуждены ограничится только несколькими первыми членами ряда Фурье. В результате получается лишь приближенное аналитическое выражение для функции f x в виде тригонометрического многочлена N-го порядка

Кроме того, формулы (1.11.3)-(1.11.5) для вычисления коэффициентов Фурье пригодны лишь в случае аналитического задания функции. На практике, как правило, функция f x задается в виде таблицы или графи-

ка. Поэтому возникает задача приближенного отыскания коэффициентов Фурье по конечному числу имеющихся значений функции.

Обобщая вышесказанное, сформулируем следующую задачу численного, или, как его часто называют, практического, гармонического анализа:

52

yk f xk при xk kT / m k 0,1,2,...,m 1 .

Тригонометрический многочлен для функции, определенной на интервале (0, Т), имеет вид

Коэффициенты an и bn определяются следующими соотношениями:

Применяя в соотношениях (1.12.3) и (1.12.4) формулу прямоугольни-

ков для вычисления интегралов по значениям подынтегральных выражений в точках

Таким образом, тригонометрический многочлен (1.12.2), коэффициенты an и bn которого находятся по формулам (1.12.5) и (1.12.6), служит

решением поставленной задачи.

Можно показать, что при m 2N многочлен (1.12.2) дает наилучшее приближение к функции f x в смысле метода наименьших квадратов,

если коэффициенты его вычисляются по формулам (1.12.5) и (1.12.6). Иными словами, коэффициенты (1.12.5) и (1.12.6) минимизируют сумму квадратов отклонений

k0

Вчастном случае при m=2N коэффициенты an и bn (n=0, 1, 2,…,N-1)

определяются соотношениями (1.12.5) и (1.12.6), а коэффициенты aN есть

53

Сам же многочлен QN x становится интерполяционным многочле-

ном, так как в этом случае при любом bN выполняются соотношения

QN xk yk для всех xk kT / m k 0,1,2,...,m 1 .

Пример. исследуем динамику производства сахара из сахарной свеклы. Это производство носит периодический характер, обусловленный периодичностью выращивания и условиями хранения сырья. Поэтому в качестве функции, аппроксимирующей динамику производства сахара, можно принять тригонометрический многочлен (1.12.2)

При m=12 (это соответствует числу месяцев в годовом цикле и позволяет выявить специфическую особенность – сезонность производства) следовательно,

в экономических исследованиях для хорошей аппроксимации динамического периодического ряда обычно выбирают не более четырех гармоник.

Выражения для коэффициентов an и bn следующий вид:

имеем следующие четыре математические модели сезонности для производства сахара:

Q1 x 54 34,99cos 6 x 6,11sin 6 x;

Q2 x 54 34,99cos 6 x 6,11sin 6 x 7.75cos 6 x 11,98sin 3 x;

Q3 x 54 34,99cos 6 x 6,11sin 6 x 7.75cos 6 x

11,98sin 3 x 3cos 2 x 4sin 2 x.

Q4 x 54 34,99cos 6 x 7,75cos 3 x 11,98sin 3 x 3cos 2 x

4sin 2 x 1,25cos 23 x 1,59sin 23 x .

54

Таблица 1 . 7

55

Окончание табл. 1 . 7

56

Сравнение Qi xk соответствующими значениями yk показывает что

уже первая гармоника дает в общем правильную модель динамики производства сахара, отражая ее сезонность.

ризующего годовую динамику производства сахара.

1.13. Численные методы определения коэффициентов Фурье

В предыдущем параграфе мы сформулировали задачу аппроксимации функции f x тригонометрическим многочленом QN x . Там же при вы-

числении коэффициентом am и bm с помощью интегралов мы исполь-

зовали формулу прямоугольников.

Будем предполагать что функция f x является периодической с

периодом 2. Заметим что в место обычных пределов интегрирования отдо при определении коэффициентов am и bm можно рассматривать

любой отрезок интегрирования длиной 2. Для удобства вычислений мы возьмем отрезок от 0 до 2 так что

57

через y0 , y1, y2 ,…, yN 1, yN y0. применяя формулу трапеции получаем следующиеприближенныеформулыдлявычислениякоэффициентов am и bm :

6a3 y1 y5 y9 y3 y7 y11 .

58

Чтобы свести к минимуму число необходимых арифметических операций для получения значений am и bm используют специальную вычис-

лительную схему – схему Рунге.

I шаг. Выписывают значения функции f x в следующем порядке: y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 ,

y7 y8 y9 y10 y11 .

II шаг. Подсчитывают суммы и разности каждой пары значений стоящих одно под другим. Полученные суммы и разности выписывают таким образом:

y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6

разности 1 2 3 4 5

III шаг. Аналогичные операции производят над суммами и разностями

(18.6)

IV шаг. Вычисляют значения am и bm по приближенным формулам

6a0 c0 c1 c2 c3 ,

6a1 d0 0,866d1 0,5d2 , 6a2 c0 c3 0.5 c1 c2 ,

6a3 d0 d2 ,

6b1 0,5g1 0,866g2 g3 , 6b2 0,866 h1 h2 ,

6b3 g1 g3

и т.д.

Для наглядного сравнения полученных по приближенным формулам коэффициентов am и bm с точными их значениями приведем пример в

котором функция задана аналитически.

Пример. Рассмотрим периодическую функцию

59

Выпишем согласно схеме Рунге значения yk и произведем указанные в ней сложения и вычитания (см. формулы (1.13.6)).

Теперь произведем вычитания и сложения по отношению к найденным суммам и разностям (см. формулы (18.7)).