820

2. Пусть теперь n=3. В этом случае

3 (x) (x 1) x 13 x 13 (x 1); '3 (x) 4x3 209 x.

Сведем к оценке, полученной в п. 1. Действительно, в силу нечетности4 (x) можно ограничиться нахождением максимального значения 4 (x)

на отрезке 0,1 . При этом

Заменяя в правой части полученного неравенства переменную по

Приведенный ниже пример, казалось бы, подтверждает предположение о том, что оценка (9) является практически подходящей и принимающей малые значения для большинства функций при достаточно больших n. Однако во многих случаях это не имеет места.

21

Дело в том, что лишь для ограниченного класса функций (например, для целых функций) производные достаточно высокого порядка малы. Для большинства же функций некоторые из производных высокого порядка имеют тенденцию расти как n!. Рассмотрим в качестве примера функцию

y=ln x. Для нее, очевидно, y(n) ( 1)n 1 (n n1)!. Таким образом, даже вбли- x

зи точек, где кривая y=ln x выглядит гладкой, ее производные достаточно высоких порядков становятся очень большими и ведут себя как n!

Недостатком многочленной аппроксимации является отсутствие, как правило, физического смысла, обычно приводящего к полезным обобщениям.

С другой стороны n , простота и глубокое развитие теории много-

членной аппроксимации в сочетании с минимумом вычислений делают этот вид приближения удобным инструментом при решении различных задач, тем более, что опыт практических расчетов приводит к получению хорошего результата от приближения многочленами, хотя остаточный член либо вообще трудно оценить, либо его оценка слишком завышена.

Итак, рассмотрена лишь одна сторона вопроса о погрешности – влияние свойств функции f на величину 1. Вопрос о зависимости погрешности

от расположения узлов сетки тесно связан со свойствами многочлена Чебышева, и поэтому к детальному изучению этой проблемы следует вернуться после рассмотрения этих многочленов. Здесь же ограничимся одной из возможных оценок величины n (x) на фиксированной сетке n.

Пусть x находится между xk и xk 1. Положим max(xi xi 1) h, тогда

1 i n

i 0

Поэтому неравенство (1.5.8) можно записать в виде

Заметим, что оценка (1.5.10) довольно груба и ее без труда можно улучшить (это предлагается сделать самостоятельно в качестве упражнения).

22

y' 12 x 1/2'; y" 14 x 3/2; y ''' 83 x 5/2.

ния (1.5.8) имеем

1 83 10 5 3!1 (117 100)(117 121)(117 144) 0,12 10 2 .

1.6. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Непосредственное определение коэффициентов ak интерполяционного многочлена связано с некоторыми вычислительными трудностями. Поэтому при решении практических задач имеют дело со специальными видами интерполяционного многочлена.

В настоящем параграфе рассмотрим форму интерполяционного многочлена, которая называется формой Лагранжа и обычно обозначается Ln(x) Для построения Ln сначала рассмотрим вспомогательные многочлены li (x) степени n, обладающие следующими двумя свойствами:

Эти свойства означают, что, например, многочлен l0 (x) принимает в точке x0 значение, равное единице, а в остальных узлах обращается в нуль; многочлен l1(x) принимает в узле x1 значение, равное единице, а в остальных узлах обращается в нуль и т.д. В общем случае многочлен li (x) в

узле x1 принимаем значение равное единице, а в остальных узлах обращается в нуль. Таким образом, в силу свойства (1.6.2) и требования, чтобы многочлен li(x) имел степень n, получаем

Далее, используя свойство (1.6.1), для определения постоянной с1 имеем уравнение

li (xi ) ci (xi x0 )...(xi xi 1)(xi xi 1)...(xi xn ) 1.

23

Поэтому явное выражение для li (x) можно представить следующим

Составим теперь следующую линейную комбинацию многочленов li :

i 0

Выражение (1.6.6) есть многочлен степени не выше n. В узле xi этот многочлен принимает значение fi так как соответствующее слагаемое суммы fili (xi ) равно fi , а остальные слагаемые fili (xi ) равны нулю. Таким образом, построен интерполяционный многочлен для функции f (x) . Эта

форма и называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Учитывая, что

т(x) (x x0 )(x x1)...(x xn ) ,

Величины li (x) являются как бы весовыми многочленами соответ-

ствующих узлов и часто называются множителями Лагранжа. В дополнение к свойствам (1.6.1) и (1.6.2) приведем еще одно важное свойство этих множителей:

стороны, f (n 1) (x) 0 и, в силу теоремы (разд. 1.5) Ln (x) f (x) 1. Подставляя полученное выражение (1.6.6), приходим к равенству (1.6.8).

24

мерную оценку погрешности на отрезке 0, 1 .

Прежде всего, заметим, что f (x0 ) 0, f (x1) 1/ 2, f (x2 ) 1. Далее,

используя выражение (1.6.7) при n 2, построим требуемый интерполяционный многочлен.

и определяется аналогично тому, как это было сделано в примере 1 подразд. 1.5. Поэтому окончательно имеем:

Пример 2. Функция f (x) задана таблично:

Пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа, определить ее

25

Если в рассмотренном примере добавить к таблице еще одну точку, то вычисление значения функции при x 4 придется производить заново. Кроме того, из самого примера видно, что процесс получения приближенного значения функции по интерполяционной формуле Лагранжа связан с большими вычислениями. Это приводит к необходимости упрощения вычислительной работы.

Для удобства вычислений составим вспомогательную таблицу

где x0 , x1,..., xn – узлы интерполяции;

a, x – значение аргумента, для которого определяется приближенное значение по интерполяционной формуле Лагранжа.

Обозначим произведение элементов первой строки через k0 : k0 (x x0 )(x0 x1)...(x0 xn ) .

В общем виде произведение элементов i-й строки есть

ki (xi x0 ) (xi xi 1)(x xi )(xi xi 1)...(xi xn ) .

Числа k0 ,k1,...,ki поместим в крайнем правом столбце таблицы. Допол-

нительно вычислим произведение элементов, расположенных на главной диагонали:

n x (x x0 )(x x1)...(x xn ) .

ТогдаинтерполяционныймногочленЛагранжаможнопереписатьввиде

Пользуясь формулой (1.6.9), решим снова пример 2, составим таблицу

26

и найдём 3 (4) 48 . Приближенное значение функции в точке x=4, т.е. f (4) L3 (4) , определим по формуле

L3 (x) 3 (x) 3 yi

i 0 ki

или

Интерполяционная формула Лагранжа заметно упрощается, если узлы интерполяции равноотстоящие, т.е. h xi 1 xi const , где h-шаг интер-

поляции. Введём обозначения t (x x0 ) / h . По формуле (1.6.5) имеем

Заметим, что часть произведения в знаменателе равна ih(i 1)h...h i!hi ,

а другая часть равна

(h)...[ (n i)h] ( 1)n i (n i)!hh i .

Умножив числитель и знаменатель правой части равенства (1.6.10) на

27

Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов интерполяции можно записать в виде

Для оценки погрешности воспользуемся формулой (1.5.8). Здесь

M3 max (sin x) 1, x* / 6 ; поэтому

0, /2

1 1 0,024 . 3! 6 12 3

Заметим, что при вычисление погрешности градусную меру следует перевести радианную.

Итак, округляя результат до двух знаков, получим sin( / 6) 0.52 0.03 .

1.7. Первый и второй интерполяционные многочлены Ньютона

Если точка интерполирования x находится в начале или в конце таблицы, то не всегда возможно выбрать достаточное количество узлов

слева и справа от x для построения необходимых конечных разностей. В этом случае используются специальные формы интерполяционного многочлена.

28

ветствует величина t i . Таким образом, для определения коэффициентов ai получаем систему линейных уравнений

первого уравнения системы (1.7.2), a1 из второго при уже определенном a0

и т.д. Действительно, полагая i 0 , из первого уравнения системы (1.7.2) находим

Pk (x0 ) a0 f0 ,

из второго уравнения при i 1 имеем

Pk (x0 h) f0 a1!1 1 f1; a1 f0.

Продолжая этот процесс далее, в результате несложных преобразований получим следующие выражения для коэффициентов:

подставляя найденные значения коэффициентов в равенство (1.7.1), получим

первыйинтерполяционныймногочленНьютона, обычнообозначаемый NkI :

29

соответствует значение t i. Таким образом, для определения коэффициентов получим систему линейных уравнений

Pk (x0 ih) fi (i 0,1,...,k). (1.7.8)

Структура этой системы такова, что a0 определяется непосредственно из первого уравнения системы (1.7.8), a1 – из второго при уже опре-

Подставляя найденные значения коэффициентов в равенство (1.7.7),

получим второй интерполяционный многочлен Ньютона, обычно обозна-

30