798

Сведем к оценке, полученной в п. 1. Действительно, в силу нечетности4 (x) можно ограничиться нахождением максимального значения 4 (x)

на отрезке 0,1 . При этом

Заменяя в правой части полученного неравенства переменную по

Приведенный ниже пример, казалось бы, подтверждает предположение о том, что оценка (9) является практически подходящей и принимающей малые значения для большинства функций при достаточно больших n. Однако во многих случаях это не имеет места.

21

Дело в том, что лишь для ограниченного класса функций (например, для целых функций) производные достаточно высокого порядка малы. Для большинства же функций некоторые из производных высокого порядка имеют тенденцию расти как n!. Рассмотрим в качестве примера функцию

y=ln x. Для нее, очевидно, y(n) ( 1)n 1 (n n1)!. Таким образом, даже вбли- x

зи точек, где кривая y=ln x выглядит гладкой, ее производные достаточно высоких порядков становятся очень большими и ведут себя как n!

Недостатком многочленной аппроксимации является отсутствие, как правило, физического смысла, обычно приводящего к полезным обобщениям.

С другой стороны n , простота и глубокое развитие теории много-

членной аппроксимации в сочетании с минимумом вычислений делают этот вид приближения удобным инструментом при решении различных задач, тем более, что опыт практических расчетов приводит к получению хорошего результата от приближения многочленами, хотя остаточный член либо вообще трудно оценить, либо его оценка слишком завышена.

Итак, рассмотрена лишь одна сторона вопроса о погрешности – влияние свойств функции f на величину 1. Вопрос о зависимости погрешности

от расположения узлов сетки тесно связан со свойствами многочлена Чебышева, и поэтому к детальному изучению этой проблемы следует вернуться после рассмотрения этих многочленов. Здесь же ограничимся одной из возможных оценок величины n (x) на фиксированной сетке n.

Пусть x находится между xk и xk 1. Положим max(xi xi 1) h, тогда

1 i n

i 0

Поэтому неравенство (1.5.8) можно записать в виде

Заметим, что оценка (1.5.10) довольно груба и ее без труда можно улучшить (это предлагается сделать самостоятельно в качестве упражнения).

22

y' 12 x 1/2'; y" 14 x 3/2 ; y ''' 83 x 5/2.

1.6. Интерполяционная формула Лагранжа

Непосредственное определение коэффициентов ak интерполяционного многочлена связано с некоторыми вычислительными трудностями. Поэтому при решении практических задач имеют дело со специальными видами интерполяционного многочлена.

В настоящем параграфе рассмотрим форму интерполяционного многочлена, которая называется формой Лагранжа и обычно обозначается Ln(x) Для построения Ln сначала рассмотрим вспомогательные многочлены li (x) степени n, обладающие следующими двумя свойствами:

Эти свойства означают, что, например, многочлен l0 (x) принимает в точке x0 значение, равное единице, а в остальных узлах обращается в нуль; многочлен l1(x) принимает в узле x1 значение, равное единице, а в остальных узлах обращается в нуль и т.д. В общем случае многочлен li (x) в

узле x1 принимаем значение равное единице, а в остальных узлах обращается в нуль. Таким образом, в силу свойства (1.6.2) и требования, чтобы многочлен li(x) имел степень n, получаем

Далее, используя свойство (1.6.1), для определения постоянной с1 имеем уравнение

li (xi ) ci (xi x0 )...(xi xi 1)(xi xi 1)...(xi xn ) 1.

23

Поэтому явное выражение для li (x) можно представить следующим

Составим теперь следующую линейную комбинацию многочленов li :

i 0

Выражение (1.6.6) есть многочлен степени не выше n. В узле xi этот многочлен принимает значение fi так как соответствующее слагаемое суммы fili (xi ) равно fi , а остальные слагаемые fili (xi ) равны нулю. Таким образом, построен интерполяционный многочлен для функции f (x) . Эта

форма и называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Учитывая, что

т(x) (x x0 )(x x1)...(x xn ) ,

Величины li (x) являются как бы весовыми многочленами соответ-

ствующих узлов и часто называются множителями Лагранжа. В дополнение к свойствам (1.6.1) и (1.6.2) приведем еще одно важное свойство этих множителей:

ставляя полученное выражение (1.6.6), приходим к равенству (1.6.8).

24

и определяется аналогично тому, как это было сделано в примере 1 подразд. 1.5. Поэтому окончательно имеем:

Пример 2. Функция f (x) задана таблично:

Пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа, определить ее

25

Если в рассмотренном примере добавить к таблице еще одну точку, то вычисление значения функции при x 4 придется производить заново. Кроме того, из самого примера видно, что процесс получения приближенного значения функции по интерполяционной формуле Лагранжа связан с большими вычислениями. Это приводит к необходимости упрощения вычислительной работы.

Для удобства вычислений составим вспомогательную таблицу

где x0 , x1,..., xn – узлы интерполяции;

a, x – значение аргумента, для которого определяется приближенное значение по интерполяционной формуле Лагранжа.

Обозначим произведение элементов первой строки через k0 : k0 (x x0 )(x0 x1)...(x0 xn ) .

В общем виде произведение элементов i-й строки есть

ki (xi x0 ) (xi xi 1)(x xi )(xi xi 1)...(xi xn ) .

Числа k0 ,k1,..., ki поместим в крайнем правом столбце таблицы. Допол-

нительно вычислим произведение элементов, расположенных на главной диагонали:

n x (x x0 )(x x1)...(x xn ) .

ТогдаинтерполяционныймногочленЛагранжаможнопереписатьввиде

Пользуясь формулой (1.6.9), решим снова пример 2, составим таблицу

26

Интерполяционная формула Лагранжа заметно упрощается, если узлы интерполяции равноотстоящие, т.е. h xi 1 xi const , где h-шаг интер-

поляции. Введём обозначения t (x x0 ) / h . По формуле (1.6.5) имеем

Заметим, что часть произведения в знаменателе равна ih(i 1)h...h i!hi ,

а другая часть равна

( h)...[ (n i)h] ( 1)n i (n i)!hh i .

Умножив числитель и знаменатель правой части равенства (1.6.10) на

27

Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов интерполяции можно записать в виде

Заметим, что при вычисление погрешности градусную меру следует перевести радианную.

Итак, округляя результат до двух знаков, получим sin( / 6) 0.52 0.03 .

1.7.Конечные разности

Впредыдущих параграфах мы рассматривали различные вопросы теории интерполирования на произвольной сетке узлов. На практике имеющаяся информация о функции ( в виде ее значений) часто задается на равномерной сетке, т.е. для равноотстоящих узлов. В этом случае не только упрощаются формы интерполяционных многочленов, но и сокращается сам вычислительный процесс, что является не менее существенным с практической точки зрения фактом. При построении интерполяционных

28

многочленов на равномерной сетке используется величины, называемые конечными разностями.

Рассмотрим равномерную сетку с шагом h: x1 x0 ih (i=0, 1, 2,...) , в узлах которой заданы значения fi f (xi ) функции f (x).

В математической литературе используются три типа конечных разностей: нисходящие разности k fi для интерполяции вперед; восходящие

разности k fi для интерполяции назад; центральные разности k fi fik

для построения центральных интерполяционных формул.

Конечной разностью первого порядка называется разность между значениями функций в данном узле и в предыдущем:

f2 f1 f1 f2 f3/2 f3/21 ,

………………………………….

fi 1 fi fi fi 1 fi 1/2 fi11/2 .

Это определение можно записать в другой форме:

fi fi 1 fi ; fi fi fi 1; fi fi 1/2 fi 1/2 . (1.7.2)

Конечной разностью второго порядка называется разность между значениями первой конечной разности в данном узле и в предыдущем:

Аналогичным образом определяются конечные разности произвольного порядка k:

В некоторых рассматриваемых ниже интерполяционных формулах наряду с разностями (1.7.4) используются средние арифметические соседних конечных разностей одного и того же порядка:

fik 12 fik1/2 fik1/2 ,

(1.7.5)

fik1/2 12 ( fik1 fik ).

Первая из этих величин используется при нечетном k, а вторая – при четном k.

29

Конечные разности функции f удобно записать в виде таблиц. При этом восходящие и нисходящие конечные разности записывают в виде горизонтальных таблиц (табл. 1.5 и 1.6), а центральные конечные разности – в виде центральных таблиц (1.7.7).

30