744

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x в левой и правой частях равенств, получим:

6A 4C 1

4A 6C 0

2A 6B 4C 4D 0 .

4A 4B 2C 6D 0

Откуда A 263 ; C 131 ; B 33829 ; D 1691 .

Искомое частное решение

Общее решение заданного уравнения получим, складывая это частное решение с общим решением соответствующего однородного уравнения:

Задание14. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям:

y 4 y 8e2 x ; y 0 1; y 0 8.

Решение. Общее решение состоит из суммы какого-либо частного решения y данного уравнения и общего решения y0 соответствующего од-

нородного уравнения: y 4 y 0 , т.е. y y0 y Характеристическое уравнение

k2 4 0

имеет корни k1,2 2.

Им соответствуют два линейно независимых решения однородного

однородного уравнения имеет вид:

y0 C1e2x C2e 2 x.

Найдем частное решение y неоднородного уравнения. Так как правая часть ДУ равна f x 8e2 x , то и y будем искать в виде

Ae x xs ,

где A – неизвестный коэффициент, который надо найти; s – число корней характеристического уравнения, совпадающих с коэффициентом в пока-

71

зателе степени функции e x , стоящей в правой части уравнения. В рассматриваемом случае k1 2; k2 2 . Число совпадений с k1 и k2

равно единице: s = 1. Итак, окончательно: y Ae2 x x .

Найдем коэффициент A.

Для этого возьмем производные

–4 y = Ae2x

0y = 2Ae2 x x Ae2 x

1y = 4Ae2 x x 4Ae2x

Умножая y, y , y на их коэффициенты в уравнении (т.е. соответственно

на –4; 0; 1) и сложив, получим левую часть неоднородного уравнения, которая должна быть тождественно равна правой, т.е.

4Ae2 x x 4Ae2 x 4Ae2x x 8e2x

или

4Ae2 x 8e2x 4A 8 A 2.

Подставив A в y , получим:

y 2xe2 x.

Общее решение уравнения будет иметь вид: y C1e2 x C2e 2x 2xe2 x.

Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y 0 1; y 0 8 . Для этого в общее решение и в

y 2C1e2x 2C2e 2x 4xe2x 2e2x.

подставим начальные условия. Получим линейную систему уравнений относительно неизвестных c1 и c2:

1 C1 C2

8 2C1 2C2 2.

Решив, найдем: C1 2; C2 3.

После подстановки C1,C2 в общее решение получим частное решение уравнения

y 2e2 x 3e 2 x 2xe2 x ,

удовлетворяющее начальным условиям.

72

Задание 15. Решить уравнение y y 2ex x2 .

Решение. Характеристическое уравнение k2 1 0 имеет корни k1 1 и k2 1. Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид

y0 C1e x C2ex .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать виде: y Axex Bx2 Cx D ,

y Aex Axex 2Bx C ,

y 2Aex Axex 2B .

Подставляя в исходное уравнение, получим:

2Aex Axex 2B Axex Bx2 Cx D 2ex x2 .

Приравнивая коэффициенты при подобных членах в обеих частях уравнения, получим:

y xex x2 2 .

Общее решение будет иметь вид

y C1e x C2ex xex x2 2 .

Задание16. Найтиобщеерешениесистемыдифференциальныхуравнений dxdt x 5y,

dydt x 3y.

Решение. Продифференцируем второе уравнение системы по t:

73

Характеристическое уравнение имеет вид:

k2 2k 2 0.

Корни этого уравнения k1,2 1 i 1, 1 . Тогда

y C1e t cost C2e t sin t .

Откуда

dydt C1e t cost C1e t sin t C2e t sin t C2e t cost .

Выразим из второго уравнения x dydt 3y .

Откуда

x e t C2 2C1 cost C1 2C2 sin t .

Общее решение исходной системы примет вид:

x e t C2 2C1 cost C1 2C2 sin t , y C1e t cost C2e t sin t .

Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье

Решение. Для нахождения суммы ряда надо найти предел при n n- й частичной суммы:

Sn 112 213 314 n n1 1 .

Для того чтобы придать Sn более удобный вид для перехода к пределу, воспользуемся тождеством, предварительно найдя коэффициенты А и В.

1 A k 1 Bk A B k A 1

74

Очевидно, что в этой сумме все слагаемые попарно уничтожаются, кроме первого и последнего, поэтому

т.е. ряд сходится, и его сумма равна 1.

Задание 2. Исследовать сходимость числовых рядов:

а) n 4n . n 1 2n 1 !

Решение. Это числовой ряд с положительными членами. Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем:

Так как 1, ряд сходится.

б) 3nn nn!.

75

Решение. Используем признак Даламбера

lim un 1 l .

n un

Если l<1 – ряд сходится, l>1 – ряд расходится, l=1 – ? un 3nnnn!;

а потому ряд расходится.

Решение. Это знакочередующийся ряд. Условия теоремы Лейбница выполняются:

Так что ряд сходящийся.

76

Рассмотрим ряд un из абсолютных величин членов данного ряда и

г) 1 n 1 .

n 1 2n 1

Решение. Воспользуемся признаком Лейбница.

Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению

Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Установим, сходится ли этот ряд абсолютно или неабсолютно (условно). Для

этого исследуем положительный ряд 2n1 1 , составленный из абсолют-

ных значений членов данного ряда. Применяя интегральный признак

1 lim ln 2 1 ,

2

заключаем, что ряд с положительными членами расходится. Следовательно, данный ряд сходится неабсолютно.

Задание 3. Найти интервал сходимости степенных рядов

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера для ряда из абсолютных величин.

77

В указанном промежутке данный ряд абсолютно сходится. Проверим граничные точки.

Составив ряд из абсолютных величин членов знакочередующегося ря-

да, получим ряд 12 , который сходится, как обобщенный гармонический

n 1 n

ряд вида 1p при p = 2.

n 1 n

Полученный ряд сходится.

Итак, областью сходимости ряда является [–15, –3].

б) x 8 3n .

n 1 n2

Решение. Используем признак Даламбера:

x 8 1 1 x 8 1 9 x 7 .

78

Границы найденного интервала исследуем особо.

При х=–7 получим ряд с положительными членами n12 .

Исследуем его по интегральному признаку:

т.е. ряд сходится.

При х=–9 получим знакочередующийся ряд с общим членом

an 1 3n 1 n ,

n2 n2

который сходится согласно признаку Лейбница. Следовательно, интервалом сходимости данного ряда является отрезок 9 x 7 .

ностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и почленно его проинтегрировав.

Решение. Подынтегральная функция может быть представлена в виде биномиального ряда

Проинтегрируем этот ряд.

79

14 3841 409603

Всоответствии с теоремой Лейбница ошибка вычисления определенного интеграла будет меньше 0,001 при отбрасывании членов полученного ряда, начиная с третьего.

Окончательно имеем:

Задание 5. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию:

y xy2 1, y 1 0.

Решение. Искомое решение запишем в виде ряда Тейлора при x0 1:

yIV 1 6.

80