744

y

3

3

B

2

x

3

-1

1

3

y

x3

x2 1

A

3

3

2

Рис.9

Функция возрастает на интервалах ( ;

3 )

и ( 3; ) и убывает на

интервалах 3; 1 ,

1;1 и (1;

3 ).

4) Интервалы выпуклости, вогнутости. Точки перегиба.

Найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:

x 3x

2

4

2

4x

3

6x x

2

1

2 x

2

1

2x x

4

3x

2

f x

4

x

2

1

2

x

2

1

2x x2 1 2x2 3 x2 1 2 x4 3x2

2x x2 3

0.

4

3

x2

1

x2 1

Следовательно, x = 0 – возможная точка перегиба.

Укажем интервалы выпуклости и вогнутости.

Знак f x

–

+

–

+

x

-1

0

1

k lim

f x

lim

x2

1,

x

x

x x2 1

b

lim

f x kx

lim

x

3

x

lim

x

0

x

x x2 1

x x2 1

u x2 y2 z ln z 1

в

точке

M (1; 1; 2)

по

направлению

вектора

5

6

2 5

.

l

i

j

k

Решение

u x, y, z по

Производная скалярного

поля

направлению

вектора

l1

l2

l3

вычисляем по формуле

l

i

j

k

u

u cos

u cos u cos ,

l

x

y

z

где cos

l1

;

cos l2

; cos l3

являются

координатами единичного

l

l

l

вектора

l2

l2 l2 .

l

,а

l

0

1

2

3

Тогда cos 5

;

cos 2 ;

cos

2

5

.

9

9

3

Частные производные функции u x, y, z в точке M (1; 1; 2) имеют зна-

чения:

u

M 2xy

2

z

2 1 1 2 4;

x

M

u

2x2 yz

M 2 1 1 2 4;

u

y

M

1

1

2

2

x

y

1 1

0;

x

z 1

2 1

M

M

Подставляя в формулу, найдем:

u

4

5

2

2 5

4

5

2

4

.

l

4

0

M

9

3

9

9

3

9

u

e

y x

xe

y x

y

e

y x

y

e

y x x y

1

,

x

x

2

x

x

2u

e

y x

y

x y

e

y x

x x y

e

y x y2

2

,

x

x

2

x

x

2

x

3

2u

e

y x 1

ey x

2u

e

y x

y

yey x

2

;

.

y

x

x

x y

x

2

x

2

Подставим найденные производные в уравнение

2

y x y2

yey x

2 ey x

x

e

2xy

y

x2

x2

x

Задание 14. Найти экстремум функции z x

y x2

y 6x 3.

Решение

Найдем частные производные:

z

y 2x 6,

z

x

1.

y

2

y

x

y 2x 6 0

x

1

0.

2

y

2 z

1

;

2 z

x

;

2 z

2.

xdy

2 y

y2

4 y y

x2

2 z

2;

2 z

1

1

;

2 z

4

1

.

x2

x y

2 4

4

y2

4 4

4

8

M

M

2 z

2 z

2 z

2

1

1 2

2

2

2

x

y

x y

8

4

M

M

M

1

1

3

0.

16

2 z

4

16

Величина 0 и

0

, следовательно, в точке M (4; 4) функция

x2

M

имеет максимум. Подсчитаем максимальное значение функции:

z

2x 5y.

y

y

C

y=2

B

1

x=2

M1

M2

A

x

0

y=0 1

2

y x 1,

x

2 x 1 0

5

2

3

5

5

2

x,

x 1 x

; y

1

.

y

5

5

3

3

3

z M1

5 2

2

5

2

5

2 2

2

5

3

3

3

2

3

2

25

20

10

10

5

20

15.

9

9

9

3

9

9

9

Затем найдем наибольшее и наименьшее значения функции на сторо-

нах квадрата:

1) сторона ОA: y = 0; 0 x 2

z z x x2 2x.

На концах интервала z

O z 0

0; z

A z 2 0. Стационарные точ-

ки найдем из уравнения z

x 0 :

z x 2x 2 0;

x 1;

M2 1;0 .

z y 5y 4

0; y

4

; M3

2;

4

5

5

.

Подсчитаем значение функции в точке M3:

z

M3

5

4

2

4

8

16

8

2

5

4

5

5

5

5

.

3) Сторона BC: y = 2; 0 x 2;

z z x x2

6x 10.

На концах интервала

z

C z 0

10.

Найдем стационарные точки:

z z x 2x 6;

x 3

0,2

4) Сторона ОC: x = 0; 0 y 2;

z z y 5 y2.

zmax 10 в точке С(0; 2);

z

min

15 в точке M

5 ;

2

.

9

1

3

3

Задание 16. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности 2x2 y2 2z2

xy xz 3

в точке M0 1;2;1 .

Fy

M0

2 2 1 3 ;

Fz

M0

4 1 1 5.

Подставим в уравнение касательной плоскости:

Fx

M0 x x0 Fy

M0 y y0 Fz

M0 z z0 0;

7 x 1 3 y 2 5 z 1 0,

7x 3y 5z 6 0

и в уравнение нормали:

x

x0

y

y0

z

z0

,

Fx

Fy

Fz

M0

M0

M0

x 1

y 2

z 1

.

7

3

5

Задание

17. Найти

формулу

вида

y ax b

методом

наименьших

квадратов по данным таблицы:

x

1

2

3

4

5

y

5,9

6,9

5,4

3,4

3,9

yi xi a xi

2

b xi 0

i 1

i 1

i 1

yi a xi bn 0,

i 1

i 1

Задание 1. Дано комплексное число z

16

.

1

i 3

Записать число в алгебраической, тригонометрической и показатель-

ной формах.

Решение. Запишем число z в алгебраической форме:

z

16

16 1 i 3

16 1 i

3

4 1 i

3 4 4 3i.

1 i 3

1 i 3 1 i 3

1 3

В тригонометрической форме

z r cos isin ,

где r

x2 y2 ,

x r cos , y r sin ;

r

–

модуль комплексного

числа.

При этом tg

y

– главные значения

0 2

аргумента комплексного

x

числа. В данном случае x = 4,

y 4 3 ;

r

16 16 3

64 8.

tg 3;

2

5 .

3

3

y

Тригонометрическая

форма

числа будет

z 8

cos

5

isin

5

.

x

3

3

4

Показательная

форма

ком-

плексного числа

z 4 4

3i

5

i

.

z r ei 8e 3