744

Приведем и другой способ вычисления. А именно, при вычислении пределов выражений вида uv, где u x 1 и v x при данном пре-

дельном переходе, удобно пользоваться формулой limuv elim vln u .

10) lim x 3 ln x 5 ln x 2 .

x

Запишем разность логарифмов как логарифм частного и, выделив целую часть дроби, заменим эквивалентные величины:

ln 1 ~ при 0 .

31

Задание 4. Определить число точек разрыва функции f (x) x x 51 x 3

Решение.

Точками разрыва будут точки, в которых функция не существует, то есть нули знаменателя.

x x 5 x 3 0 x 0 или x 5 , или x 3

Ответ: 3

1

Задание 5. Дана функция f x 153 x и два значения аргумента x1 = 3

и x2 = 1. Требуется: 1)найти предел функции при приближении к каждому из заданных значений слева и справа; 2) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из заданных значений x; 3) сделать чертеж.

Решение

1

Функция f x 153 x в точке x = 3 не определена. Найдем в этой точке левый и правый односторонние пределы.

1

Рис.7

32

Задание 6. Функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной

Требуется:

1)найти точки разрыва функции, если они существуют;

2)найти скачок функции в каждой точке разрыва;

3)сделать схематический чертеж.

Решение

Данная функция определена при всех значениях x. Разрыв она может иметь в точках x = –1 и x = 1. Найдем односторонние пределы в этих точках.

Найдем односторонние пределы функции в точке x = 1.

x = 1 непрерывна.

Сделаем схематический чертеж (рис.8).

33

Решение.

Первоеусловие(y > 0) определяетположениекривойотносительноосиОУ. Поусловиюy > 0, следовательно, графикфункцииулежитвышеосиОУ. Второе условие ( y 0 ) показывает, возрастает или убывает функция

на данном промежутке. По условию y 0 , следовательно, функция воз-

растает на интервале.

Третье условие y 0 позволяет определить форму графика функции. По условию y 0 , следовательно, функция выпукла на данном интервале.

Всем трем условиям удовлетворяет только график на рис. IV. Ответ: Только IV.

д) y2 x ln y .x

Решение

При решении указанных примеров используются следующие правила дифференцирования:

1)c 0, c const;

2)x 1, x – независимая переменная;

3)u v u v , где u u x ; v v x ;

4)u v u v v u;

5)c u c u ;

6)u u v 2 v u v 0 ;v v

ных функций:

1) u u 1 u ;

35

2)au au ln a u ;

3)eu eu u ;

12)arctgu 1 uu2 ;

13)acctgu 1 uu2 .

36

г) y sin 3x arcctgx .

Это показательно-степенная функция. Прологарифмируем ее: ln y arcctgxln sin 3x

и затем продифференцируем обе части полученного равенства:

Это неявно заданная функция. Продифференцируем по x обе части уравнения:

2 yy 1 y1x y x 2 y ; x

2xy2 y xy y x y .

Разрешим полученное равенство относительно производной y : y 2xy2 x xy y;

37