744

Найти вероятности p1 P X 3 и p3 P X 5 , если известно, что

p3 в 4 раза больше p1 .

Решение. Из

p1 + 0,15 + p3 + 0,25 + 0,35 = 1

следует

91

Решение. Используя свойства дисперсии, получим:

D Z 32 D X 22 D Y D 1 9 5 4 4 0 61.

92

Задание 21. Составить вариационный ряд и построить полигон частот для следующих значений длины случайным образом отобранных загото-

вок: 39, 41, 40, 43, 41, 44, 43, 41, 41, 42, 43, 39, 40, 42, 44, 41, 42, 38, 42, 41, 41, 42, 40, 40, 43, 41, 38, 39, 41, 42.

Решение. Длина каждой из отобранных заготовок дана в виде конкретного значения, поэтому вариационный ряд будет дискретным. В первой строке таблицы расположим значения признака X (длина заготовки) в порядке возрастания, а во второй – количество заготовок данной длины (частота).

7

ni 30 .

i 1

Для построения полигона по оси ОХ отложим значения признака xi, а по оси OY – частоты ni. Полученные точки соединим отрезками прямых.

ni

15

10

5

93

Задание 22. Записать эмпирическую функцию по данным выборки: 2 8 7 5 8 5 8 7 8 5.

Решение. Статистическое распределение имеет вид:

Объем выборки равен n = 1 + 3 + 2 + 4 = 10. Наименьшее наблюденное

Так как x 10 – наибольшее наблюденное значение, то F x 8 1.

Таким образом, эмпирическая функция аналитически может быть представлена так:

Задание 23. Найти методом произведений выборочную среднюю, дисперсию, асимметрию и эксцесс следующего статистического распределения

Решение. Составим расчетную таблицу, для чего в качестве ложного нуля выберем варианту 11,0 (она имеет наибольшую частоту); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей наибольшую частоту, пишем 0; над нулем последовательно –1, –2, –3, –4, а под нулем –

1, 2, 3, 4, 5.

94

Контроль:

ui 1 4 ni = 9 1 4 1 ;

ui4ni + 4 ui3ni + 6 ui2ni + 4 uini + n =

4079 4 609 6 383 4 57 100 9141.

Совпадение сумм свидетельствует о том, что вычисления произведены правильно.

Вычислим условные начальные моменты:

Шаг h 10,4 10,2 0,2 .

Найдем выборочную среднюю и дисперсию:

95

6,09 3 3,83 0,57 2 0,57 3 0,23 0,0007 ;

40,79 4 6,09 0,57 6 3,83 0,57 2 3 0,57 4 0,24 0,054 .

Асимметрия и эксцесс равны соответственно:

Задание 24. По результатам 10 наблюдений установлено, что средний темп роста акций предприятий отрасли равен 104,4 %. В предположении, что ошибки наблюдений распределены по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 1 %, определить с надежностью 0,95 интервальную оценку для генеральной средней.

Решение. По условию n = 10, xв 104,4 % , = 1 %, = 0,95. По-

скольку параметр известен, интервальную оценку найдем согласно формуле

По таблице интегральной функции Лапласа Ф(t) из условия = 0,95 найдем t = 1,96.

Тогда точность оценки равна

Отсюда доверительный интервал имеет вид

1 0 4 , 4 - 0 , 6 2 a 1 0 4 , 4 + 0 , 6 2

и окончательно

1 0 3 , 7 8 a 1 0 5 , 0 2 .

96

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике [Текст]:

в2 ч. / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-Пресс, 2011. – Ч.1. – 288 с.

2.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике [Текст]:

в2 ч. / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-Пресс, 2015. – Ч.2. – 256 с.

3.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: АСТ, Мир и образование, 2014. – 816 с.

4.Шипачев, В.С. Высшая математика: полный курс [Текст]: учебник для бакалавров / В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. – 4-е изд., испр. и

доп. – М.: Юрайт, 2015. – 608 с.

5.Гнеденко, Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей [Текст] / Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчин. – М.: Либроком, 2013. – 208 с.

6.Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс [Текст] / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-Пресс, 2013. – 592 с.

7.Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс [Текст] / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-Пресс, 2013. – 576 с.

8.Беклемишева, Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре [Текст] / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чуба-

ров. – М.: Физматлит, 2014. – 496 с.

9.Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии [Текст] / Д.В. Клетеник. – М.: Лань, Профессия, 2010. – 224 с.

10.Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа [Текст]: учебник: в 3 т. / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Юрайт, 2015. – Т.1. – 704 с.

11.Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа [Текст]: учебник: в 3 т. / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Юрайт, 2014. – Т.2. – 720 с.

12.Бугров, Я.С. Высшая математика [Текст]: задачник / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. –М.: Юрайт, 2015. – 192 с.

13.Лунгу, К.Н. Руководство к решению задач [Текст]: в 2 ч. / К.Н. Лунгу, Е.А. Макаров. – М.: Физматлит, 2014. – Ч.1. – 216 с.

14.Лунгу К.Н., Макаров Е.А. Руководство к решению задач [Текст]: в 2 ч. / К.Н. Лунгу, Е.А. Макаров. – М.: Физматлит, 2015. – Ч.2. – 384 с.

15.Запорожец, Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу [Текст]: учеб. пособие / Г.И. Запорожец. – Изд. 6-е, стер. –

СПб.: Лань, 2010. – 460 с.

16.Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике [Текст] / М.Я. Выгодский. – М.: АСТ: Астрель, 2010. – 703 с.

17.Теория вероятностей и математическая статистика в задачах [Текст] / В.А. Ватутин, Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, В.П. Чистяков. –

М.: Ленанд, 2015. – 386 с.

97

18.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст] / В.Е. Гмурман. – М.: Юрайт, 2015. – 418 с.

19.Гарькина, И.А. Тесты по математике с тезисным изложением теоретического материала [Текст] / И.А. Гарькина, А.М. Данилов, А.Н. Круглова. – Пенза: ПГУАС, 2013. – 392 с.

98

99