Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

725

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

648.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

№ 16.

у х sin

у0 (1,4) 2,2,

x [1,4;2,4].

2,8

№ 17.

х sin е ,

у0 (1,4) 2,5, x [1,4;2,4].

№ 18.

у х sin

у0 (0,8) 1,3,

x [0,8;1,8].

№ 19.

у х sin

у0 (1,1) 1,5,

x [1,1;2,1].

№ 20.

у х sin

, у0 (0,6) 1,2,

x [0,6;1,6].

№ 21.

у х sin

у0 (0,5) 1,8,

x [0,5;1,5].

1,25

№ 22.

у х sin

у0 (0, 2) 1,1,

x [0,2;1,2].

1,5

№ 23.

у х sin

у0 (0,1) 0,8,

x [0,1;1,1].

1,3

№ 24.

у х sin

у0 (0,5) 0,6,

x [0,5;1,5].

0,3

№ 25.

у х sin

у0 (1,2) 1, 4,

x [1,2;2,2].

0,7

№ 26.

у х cos

у0 (0,4) 0,8,

x [0,4;1,4].

1, 25

№ 27.

у х cos

у0 (0,3) 0,9,

x [0,3;1,3].

1,5

№ 28.

у х cos

у0 (1,2) 1,8,

x [1,2;2,2].

1,3

№ 29.

у х cos

у0 (0,7) 2,1,

x [0,7;1,7].

0,3

№ 30.

у х cos

у0 (0,9) 1,7,

x [0,9;1,9].

0,7

Решение типового варианта

у х sin	y	, у0 (1,4) 2,2,	x [1,4;2,4].
	2, 25

Метод Эйлера с уточнением заключается в том, что каждое значение

уk 1 y(xk 1), где у (х) − искомая функция, а xk 1 х0 h(k 1), k = 0, 1, 2, …, определяется следующим образом:

за начальное приближение берется

(0)

( x , y )

= у ( x , y ) ;

уk 1 yk hf (xk , yk ), где f

найденное значение у(0)

уточняется по формуле

k 1

у(0) y

f (x

, y

)

f (x

, y(i 1) )

, (i = 1, 2, …).

k 1

Уточнение продолжают до тех пор, пока в пределах требуемой точности два последовательных приближения не совпадут.

Все описанные вычисления удобно производить , составив следующие таблицы:

1)основную таблицу, в которой записывается ответ примера (табл. I);

2)таблицу, в которой выполняется процесс последовательных приближений (табл. II);

3)вспомогательную таблицу, в которой вычисляются значения функ-

ции f (xk , yk ) (табл. III);

				Таблица I
k	xk	yk	fk f (xk , yk )	hfk
0	1,4	2,2	2,2292	0,2229
1	1,5	2,4306	2,3821	0,2382
2	1,6	2,6761	2,5281	0,2528
3	1,7	2,9357	2,6648	0,2665
4	1,8	3,2084	2,7895	0,2790
5	1,9	3,4929	2,8998	0,2900
6	2,0	3,7876	2,9936	0,2994
7	2,1	4,0908	3,0696	0,3070
8	2,2	4,4006	3,1268	0,3127
9	2,3	4,7152	3,1654	0,3165
10	2,4	5,0328

Табли ц а II

k+1	xk 1	yk	i	(i)	fk	fk(i1)	fk fk(i1)	h	fk fk(i1)
k+1	xk 1	yk	i	yk 1	fk	fk(i1)	fk fk(i1)	2	fk fk(i1)
								2
1	1,5	2,2	0	2,4229	2,2292	2,3805	4,6097		0,2305
			1	2,4305		2,3820	4,6112		0,2306
			2	2,4306		2,3821	4,6113		0,2306
2	1,6	2,4306	0	2,6688	2,3821	2,5268	4,9089		0,2454
			1	2,6760		2,5280	4,9101		0,2455
			2	2,6761		2,5281	4,9102		0,2455
3	1,7	2,6761	0	2,9289	2,5281	2,6641	5,1922		0,2596
			1	2,9357		2,6648	5,1929		0,2596
4	1,8	2,9357	0	3,2022	2,6648	2,7892	5,4540		0,2727
			1	3,2084		2,7895	5,4543		0,2727
5	1,9	3,2084	0	3,4874	2,7895	2,8998	5,6893		0,2845
			1	3,4929		2,8998	5,6893		0,2845
6	2,0	3,4929	0	3,7829	2,8998	2,9939	5,8937		0,2947
			1	3,7876		2,9936	5,8934		0,2947
7	2,1	3,7876	0	4,0870	2,9936	3,0700	6,0636		0,3032
			1	4,0908		3,0696	6,0632		0,3032
8	2,2	4,0908	0	4,3978	3,0696	3,1273	6,1969		0,3098
			1	4,4006		3,1268	6,1964		0,3098
9	2,3	4,4006	0	4,7133	3,1268	3,1658	6,2926		0,3146
			1	4,7152		3,1654	6,2922		0,3146
10	2,4	4,7152	0	5,0517	3,1654	3,1866	6,3520		0,3176
			1	5,0328		3,1863	6,3517		0,3176

						y	Таблица III
k	x	y		y	sin		у х sin		y
			2,25			2,25		2,25

1	2	3	4			5	6
0	1,4	2,2	0,9778		0,8292		2,2292
1	1,5	2,4229	1,0768		0,8805		2,3805
	1,5	2,4305	1,0802		0,8820		2,3820
	1,5	2,4306	1,0803		0,8821		2,3821
2	1,6	2,6688	1,1861		0,9268		2,5268
	1,6	2,6760	1,1893		0,9280		2,5280
	1,6	2,6761	1,1894		0,9281		2,5281
3	1,7	2,9289	1,3017		0,9641		2,6641
	1,7	2,9357	1,3048		0,9648		2,6648
4	1,8	3,2022	1,4232		0,9892		2,7822
	1,8	3,2084	1,4260		0,9895		2,7895

				О кон ча н и е	табл. III
1	2	3	4	5	6
5	1,9	3,4874	1,5500	0,9998	2,8998
	1,9	3,4929	1,5524	0,9998	2,8998
6	2,0	3,7829	1,6813	0,9939	2,9939
	2,0	3,7876	1,6834	0,9936	2,9936
7	2,1	4,0870	1,8164	0,9700	3,0700
	2,1	4,0908	1,8181	0,9696	3,0696
8	2,2	4,3978	1,9546	0,9273	3,1273
	2,2	4,4006	1,9558	0,9268	3,1268
9	2,3	4,7133	2,0948	0,8658	3,1658
	2,3	4,7152	2,0956	0,8654	3,1654
10	2,4	5,0317	2,2363	0,7866	3,1866
	2,4	5,0328	2,2368	0,7863	3,1863

Ответом является значения yk (х) , полученные в табл. I.

Лабораторная работа №2

Задание. Используя метод Адамса со вторыми разностями, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y ' f (x, y) , удовлетворяющего начальным условиям y(x0 ) y0 на от-

резке 0,1 ; шаг h 0,1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками. Начальный отрезок определить методом Рунге-Кутта.

№1. №2.

№3.

№4. №5.

№6. №7.

№8.

№9.

y ' 1 0,2 ysin x y2 , y(0) 0 .

y ' cos(x y) 0,5(x y), y(0) 0 .

y ' cos x	0,5y2 ,	y(0) 0 .
x 1
y ' (1 y2 )cos x 0,6 y, y(0) 0 .

y ' 1 0,4 ysin x 1,5y2 , y(0) 0 .

y ' cos y 0,3y2 ,				y(0) 0 .
	x 2
y ' cos(1,5x y) (x y),						y(0) 0 .
y ' 1 sin(x y)				0,5y	,	y(0) 0 .

	cos y			x 2
y '		0,1y2	,	y(0) 0 .

1,5 x

№10. y ' 0,6sin x 1,25y2 1, y(0) 0 .

№11. y ' cos(2x y) 1,5(x y), y(0) 0 .

№12.	y '	0,1y sin(2x y), y(0) 0 .
		x 2
№13.	y '	cos y	0,1y2 ,	y(0) 0 .
№13.	y '	1,15 x	0,1y2 ,	y(0) 0 .
		1,15 x

№14. №15.

№16.

№17.

№18. №19. №20. №21.

№22.

№23.

№24.

№25.

y ' 1 0,8y sin x 2 y2 ,

y(0) 0 .

y ' cos(1,5x y) 1,5(x y),					y(0) 0 .
y ' 1	sin(2x y)		0,3y	, y(0) 0 .

	cos y		x 2
y '		0,5y2 ,	y(0) 0 .

1,75 x
y ' 1	(1 x)sin y (2 x) y,				y(0) 0 .

y ' (0,8 y2 )cos x 0,3y,

y(0) 0 .

y ' 1		2,2sin x 1,5y2 ,		y(0) 0 .
y ' cos(x y) 0,75(x y),						y(0) 0 .
y ' 1		sin(1,25x y)		0,5y	,	y(0) 0 .
				x 2

y ' cos y 0,3y2 , y(0) 0 .
	x 2			0,1y
y ' 1		sin(1,75x y)			,	y(0) 0 .
				x 2
		cos y
y '			0,5y2 , y(0) 0 .

1,25 x

№26.	y ' sin(1,5x y) 2,25(x y),						y(0) 0 .
№27.	y '	sin y	1,25y2 , y(0) 0 .

	1,5 x
№28.	y ' 1	(x 1)sin y 2(x y),				y(0) 0 .
№29.	y ' 1	sin(0,75x y)		1,75y		,	y(0) 0 .
					x 1
	y ' cos(x y) 1,25y
№30.				, y(0) 0 .
			1,5 x

Решение типового варианта

y ' 1 0,2 y sin x 1,5y2 f (x, y);

y(0)

0 ,

h 0,1.

0,1 ,

1. Определим значения y1 y(0,1), y2

y(0,2)

(начальный отрезок) ме-

тодом Рунге-Кутта. При этом значении yi 1 y(xi 1) , где xi 1

h , находятся

по формулам

yi 1 y yi ,

(k(i)

2k(i)

k(i) )

k(i) hf (x , y ) ,

(i)

hf (x

, y

k(i)

1 ) ,

(i)

hf (x h

, y k2(i) ) ,

k4(i) hf (xi h, yi k3(i) ) .

Все вычисления будем располагать в таблице (см. табл. I).

							Таблица I
x	y	sin x	0,2 y sin x	1,5y	f (x, y)	hf (x, y)	y
0	0	0	0	0	1	0,1	0,1000
0,05	0,05	0,0500	0,0005	-0,0038	0,9967	0,0997	0,1994
0,05	0,0498	0,0500	0,0005	-0,0037	0,9968	0,0997	0,1994
0,10	0,0997	0,0998	0,0020	-0,0149	0,9871	0,0987	0,0987
							0,5979·(1/6)=
							=0,0996
0,10	0,0996	0,0998	0,0020	-0,0149	0,9871	0,0987	0,0987
0,15	0,1490	0,1494	0,0045	-0,0333	0,9712	0,0971	0,1942
0,15	0,1482	0,1494	0,0044	-0,0329	0,9715	0,0972	0,1944
0,20	0,1968	0,1987	0,0078	-0,0581	0,9497	0,0950	0,0950
							0,5823·(1/6)=
							=0,0970
0,20	0,1966	0,1987	0,0078	-0,0580	0,9498
2.	Вычисление		последующих значений			yi y(xi ) ,	xi x0 ih ,

(i 3,4,... ), производим по формуле Адамса со вторыми разностями yi 1 yi qi 12 qi 1 125 2qi 2 , где qi hf (xi , yi ) .

Вычисления производим в табл. II, III и IV.

Табл. II содержит окончательные значения y(xi ) и значения конечных разностей имеющихся в вычислительной формуле.

					Таблица II
i	xi	yi	f (xi , yi )	qi hfi	qi	2q
						i
0	0	0	0,1000	0,10000	-0,00129	-0,00244
1	0,1	0,0996	0,9871	0,09871	– 0,00373	– 0,00204
2	0,2	0,1966	0,9498	0,09498	– 0,00577	– 0,00154
3	0,3	0,2887	0,8921	0,08921	– 0,00731	– 0,00088
4	0,4	0,3742	0,8190	0,08190	– 0,00819	– 0,00035
5	0,5	0,4518	0,7371	0,07371	– 0,00854	0,00008
6	0,6	0,5210	0,6517	0,06517	– 0,00846	0,00049
7	0,7	0,5818	0,5671	0,05671	– 0,00797	0,00067
8	0,8	0,6343	0,4874	0,04874	– 0,00730	–
9	0,9	0,6792	0,4144	0,04144	–	–
10	1,0	0,7173	–	–	–	–

В табл. III выполняются расчеты, соответствующие формулы Адамса со вторыми разностями.

								Таблица III
		i		2	3		4		5
		yi		0,1966	2,8870		0,37418		0,45178
		qi		0,09498	-0,08921		-0,08190		-0,07371
	1 q		1	-0,00186	-0,00288		-0,00366		-0,00410
2		i	1
2
	5 q			-0,0102	-0,00085		-0,00064		-0,00037
		i 2
12		i 2
12
		yi 1		0,28870	0,37418		0,45178		0,52102
						Продолжение табл. III
		i		6	7		8		9
		yi		0,52102	0,58177		0,63428		0,67924
		qi		0,6517	0,05671		0,04874		0,04144
	1 q		1	-0,00427	-0,00423		-0,00398		0,00365
2		i	1
2
	5 q			-0,00015	0,00003		0,00020		0,00028
		i 2
12		i 2
12
		yi 1		0,58177	0,63428		0,67924		0,71731

В табл. IV производится вычисление значений функций
		y ' f (x , y ) 1 0,2 y sin x				1,5y2
			i i	i	i		i
							Таблица IV
xi	yi		0,2sin xi	0,2 yi sin xi			1,5y2	I (xi , yi )
							i
0,3	0,2887		0,0591	0,0171			-0,1250	0,8921
0,4	0,3742		0,0779	0,0292			– 0,2102	0,8190
0,5	0,4518		0,0959	0,0433			– 0,3062	0,7371
0,6	0,5210		0,1129	0,0588			– 0,4071	0,6517
0,7	0,5818		0,1288	0,0749			– 0,5078	0,5671
0,8	0,6343		0,1435	0,0910			– 0,6036	0,4874
0,9	0,6792		0,1567	0,1064			– 0,6920	0,4144

Ответом являются значения функции y(xi ) , полученные в табл. II.

Лабораторная работа №3

Задание. Используя метод Милана, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y ' f (x, y) , удов-

летворяющего начальным условиям y(x0 ) y0 на отрезке [0,1]; шаг h 0,1; все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками. Начальный отрезок определить методом Рунге-Кутта.

№1. y ' x y2 , y(0) 0,5 . №2. y ' 2x 0,1y2 , y(0) 0,2 .

№3.	y ' 2x y2 , y(0)	0,3.
№6.	y ' 0,2x y2 , y(0) 0,1.
№7.	y ' x2 2 y, y(0)	0,1.

№9 y ' x2 y2 , y(0) 0,7 .

№11.	y ' 0,3x y2 , y(0) 0,4.
№13.	y ' x 0,3y2 , y(0) 0,3 .
№15.	y ' 0,1x2 xy, y(0) 0,8.
№17.	y ' 3x2 0,1xy, y(0) 0,2 .
№19.	y ' x2 0,1y2 , y(0) 0,7 .
№21.	y ' 0,2x2 y2 , y(0) 0,8 .
№23.	y ' xy 0,1y2 , y(0) 0,5.

№25.	y ' 0,1xy 0,3y2 , y(0) 0,2 .
№27.	y ' xy 0,2xy, y(0) 0,7 .
№29.	y ' 3x 0,1y2 , y(0) 0, 4 .

№4.	y ' x2	xy, y(0) 0,2 .
№6.	y ' x2	y, y(0) 0,4 .
№8.	y ' xy y2 , y(0) 0,6 .
№10.	y ' x2 0,2 y2 , y(0) 0,2.

№12. y ' 0,1x 0, 2 y2 , y(0) 0,3.

№14.	y ' 2x2 xy, y(0) 0,5 .
№16.	y ' x2 0,2xy, y(0) 0,6 .
№18.	y ' x 3xy, y(0) 0,3.
№20.	y ' 2x2 3y2 , y(0) 0,2 .
№22.	y ' 0,3x2 0,1y2 , y(0) 0,3 .
№24.	y ' 0,2xy y2 , y(0) 0,4 .
№26.	y ' 0,3xy y2 , y(0) 0,6 .
№28.	y ' 0,1x2 3y2 , y(0) 0,2 .
№30.	y ' 2x 3y2 , y(0) 0,2 .

Решение типового варианта

y ' 1,6x 0,5y2 f (x, y);

y(0) 0,3

1. Определение начального отрезка y0 , y1, y2 , y3 произведем по формуле Рунге-Кутта

yi 1 yi 16 (k1(i) 2k2(i) 2k3(i) k4(i) ) (i 0,1,2) ,

где

		k(i) hf (x , y ) ,
		1			i	i
k	(i)	hf		x	h		ki	,
k	2	hf		x		, y 1		,
	2			i	2	i	2
					2		2
k	(i)	hf	x h			, y k2i		,
3				i	2	i	2
					2		2

k4(i) hf xi h, yi k3i .

Все необходимые расчеты осуществляем при помощи табл. I, в которой

y	1 (k(i) 2k(i)			2k(i)		k(i) )
i	6	1	2	3		4
	6									Таблица I
										Таблица I
i		x	y		1,6x		0,5y2	f (x, y)	k	yi
0		0	0,3		0 0,08		0,045	0,0450	0,00450	0,00450
	0,05		0,3022		0,08 0,16		0,0457	0,1257	0,01257	0,02514
	0,05		0,3063				0,0469	0,1269	0,01269	0,025318
	0,1		0,3127				0,0489	0,2089	0,02089	0,02089
										0,07591·
										(1/6)= -0,0127
1	0,1		0,3127		0,16		0,0489	0,2089	0,02089	0,02099
	0,15		0,3231		0,240		0,0522	0,2922	0,02922	0,05844
	0,15		0,3273		0,240		0,0536	0,2936	0,01936	0,05872
	0,20		0,3421		0,32		0,0585	0,3785	0,03785	0,03785
										0,17590·(1/6)=
										=0,0293
2	0,2		0,3420		0,32 0,40		0,0585	0,3785	0,03785	0,03785
	0,25		0,3609		0,40 0,48		0,0651	0,4651	0,04651	0,09302
	0,25		0,3653				0,0667	0,4667	0,04667	0,09334
	0,30		0,3887				0,0755	0,5555	0,05555	0,05555
										0,27976·(1/6)=
										-0,0466
3	0,30		0,3886		0,48		0,0755	0,5555

2. Последующие значения функции yi 1 y(xi 1)(i 3, 4,...,9) будем оп-

ределять методом Милана. Согласно этому методу, по ходу вычислений составить таблицу, содержащую значения yi и f (xi , yi ) (табл. II).

					Таблица II
i	xi	yi	1,6xi	0,5y2		f (xi , yi )
				i
0	0	0,3	0	0,0450		0,0450
1	0,1	0,3127	0,16	0,0489		0,2089
2	0,2	0,3420	0,32	0,0585		0,3785
3	0,3	0,3886	0,48	0,0755		0,5555
4	0,4	0,4534	0,64	0,1028		0,7428
5	0,5	0,5376	0,80	0,1445		0,9445
6	0,6	0,6430	0,96	0,2067		0,1667
7	0,7	0,7719	1,12	0,2979		1,4179
8	0,8	0,9280	1,28	0,4306		1,7105
9	0,9	1,1160	1,44	0,6227		2,0627
10	1,0	1,3434	-	-		-

На каждом шаге вычисление ведется в два этапа. Сначала по первой формуле Милана находим

yi1 yi 4 43h (2 fi 3 fi 2 2 fi 1) ,

а затем по второй формуле Милана находим окончательное значение

yi yi(2) yi 2 h3 ( fi 2 4 fi 1 fi(1) ) ,

где fi(1) f (xi , yi(1) ) .

1. y4(1) y0 0,43 (2 f1 f2 2 f3 )

= 0,3 0,43 (2 0,2089 0,3785 2 0,5555) 0,4534 ;

f4(1)	0,64 0,1028 0,7428 ;
y(2)	y	2	h ( f			2	4 f		3	f		(1) ) 0,3420 0,4			(0,3785 4 0,5555 0,7428)
4		2		3		2			3			4		3
0,4534.				3										3
0,4534.
Из сравнения y4(1) и y4(2)												имеем y4 0, 4534 .
2. y(1) y					4h		(2 f	2	f		3	2 f	4	)
2. y(1) y							(2 f		f			2 f		)
	5		1	3
				3
= 0,3127				0,4		(2 0,3785 0,5555 2 0,7428) 0,5376 ;
f5(1)				3
f5(1)	0,80 0,1445 0,9445;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.2024636.6 Кб0720.pdf
#
16.06.2024638.67 Кб0721.pdf
#
16.06.2024640.45 Кб0722.pdf
#
16.06.2024641.62 Кб0723.pdf
#
16.06.2024645.03 Кб0724.pdf
#
16.06.2024648.79 Кб0725.pdf
#
16.06.2024650.78 Кб10726.pdf
#
16.06.2024651.7 Кб0727.pdf
#
16.06.2024652.19 Кб0728.pdf
#
16.06.2024653.92 Кб1729.pdf
#
16.06.2024177.35 Кб073.pdf