725

y ' y ' q y '

q(q 1) 2 y '

k

q(q 1)(q 2) 3 y '

(8.6)

k

k

2!

3!

k

Раскрывая скобки, находим

y ' y '

k

q y '

k

1 (q2 q) 2 y '

1 (q3 3q2

2q) 3 y '

k

,

(8.7)

2

k

6

где q (x xk ) / h .

Полагая в соотношении (8.7) k i 4, получим

y ' y '

q y '

1 (q2 q) 2 y

1 (q3

3q2

2q) 3 y '

.

(8.8)

i 4

i 4

2

i 4

6

i 4

Проинтегрируем равенство (8.8) по х в пределах от xi 4

до xi :

xi

xi

2

2 y 'i 4 q

3

2

y 'dx

y 'i 4 q y 'i 4 q

q

3q

2q

3 y 'i 4

dx .

xi 4

xi 4

2

6

Учитывая, что q (x xi 4 ) / h и dx hdq , имеем

4

4

2

4

q

2

q

3

4

q

3

3q

2

2q

yi yi 4 h y'i 4

dq y'i 4 qdq y

'i 4

2

dq

y'i 4

dq

6

0

0

0

0

y

4h

(2 y '

y '

2 y '

) .

y

y 4

i

3

i 3

i 2

i 1

Для вывода второй формулы Милана (8.4) положим в соотношении

(8.7) k i 2:

1

1 (q3 3q2 2q) 3 y '

y ' y

'

q y '

(q2

q) 2 y '

, (8.10)

i 2

i 2

2

i 2

6

i 2

y ' cos( y 1,1z) 1

1

z '

x 1

x 2,1y

2

Таблица 17

1

2

3

4

5

6

i

xi

' ( y , z )

'

Y

Y

i

i i

i

y

i

z

i

y 'i

z

'i

0

0,0

1

0,1

2

0,2

3

0,3

4

0,4

3,16057

0,49905

0,15698

1,44678

5

0,5

3,18164

0,64870

0,27079

1,54596

Продолжение

табл. 17

7

8

9

10

11

12

i Yi

'i Yi '

Y

Y

i

y

i

z

i

y

'i yi '

z

'i zi '

i,1

i,2

3,14159

0,00000

0,00000

1,04824

3,14184

0,10981

0,00732

1,14801

3,14364

0,22960

0,03224

1,24773

3,14903

0,35934

0,08001

1,34734

1,7·10-6

3,16062

0,49905

0,15701

1,44678

0

3,18166

0,64869

7·10-7

4·10-7

Табли ц а 18

4

5

yi

zi

yi

zi

2Y 'i 3

0,01464

2,29602

0,06448

2,49546

Y 'i 2

-0,30224

-1,24773

-0,08001

-1,34734

2Y 'i 1

0,16002

2,69468

0,31402

2,89356

4

i(1)

0,14242

3,74297

0,29849

4,40168

(1)

0,01898

0,49906

0,03980

0,53889

3

h i

Yi 4

3,14159

0,00000

0,14184

0,10981

i

3,16057

0,49906

3,18164

0,64870

Y

Yi 2

0,03224

1,24773

0,08001

1,34734

4Yi 1

0,32004

5,38936

0,62804

517870

Y 'i

0,15698

1,44678

0,27079

1,54596

i(2)

0,50926

8,08387

0,97884

8,68042

3

i

h

(2)

0,01698

0,26945

0,03263

0,28935

Yi 1

3,14364

0,22960

3,14903

0,35934

i

3,16062

0,49905

3,18166

0,64869

Y

Начальный отрезок решения записываем в столбцы 7 и 8 табл. 17 и на-

ходим значения

y 'i и z 'i (столбцы 9 и 10). Затем, используя полученные

данные и формулу (8.3), находим

4 и

4 (табл. 18).

y

z

Значения

и

4 перенесем в основную таблицу (столбцы 3 и 4). Оп-

y

4

z

тельной таблице находим уже

y

4

и

z

4 . Их значения переносим в столбцы 7

и 8 табл. 17. Находим

4,1

1

4 , 4,2

1

4

4

y

4

y

z

z

29

29

(столбцы 11 и

12 табл. 17). При заданной

допустимой погрешности

0,0001видим,

что пересчета начального отрезка не требуется и за y4

y '' p(x) y ' q(x) y f (x)

(10.1)

с двухточечным линейными краевыми условиями

y(a) y '(a) A

(10.2)

0

1

y(b) y '(b) B

0

1

0

1

0;

0

1

0

и p(x) , q(x) и

f (x) непрерывны

на отрезке [а,

b]. Далее, пусть

x0 a, xn b xi x0

ih(i 1, 2,..., n 1)

– системы равноотстоящих узлов с

некоторым шагом h (b a) / m и pi p(xi ), qi q(xi ),

fi f (xi )

y '

yi 1 y

,

y ''

yi 2 2 yi 1 yi

,

(10.3)

i

h

i

h2

а для концевых точек x0 a и xn

b положим

y '

y1 y0

,

y '

yn yn 1

.

(10.4)

0

h

n

h

yi 2 2 yi 1 yi

p

yi 1 yi

q y

f ,

i

h

2

i

h

i i

(10.5)

0

y

y1 y0

A;

0

y

n

yn yn 1

B.

0

1

h

1

h

y '

yi 1 yi 1

,

y ''

yi 1 2 yi yi 1

,

(10.6)

i

2h

i

h2

yi 1 2 yi 1 yi

p

yi 1 yi 1

q y

f

,

h

2

i

2h

i i

i

(10.7)

0

y

y1 y0

A;

0

y

n

yn yn 1

B.

0

1

h

1

h

yi 1 2 yi yi 1

x

yi 1

yi 1

2 y

x

(i 1;2) .

(*)

h2

i

2h

i

i 1

Используя краевые условия, составим конечно-разностные уравнения в

конечных точках

y y

y

0,5

1

0

2,

(**)

h

0

y

1.

3

Приводя подобные члены и учитывая, что h 0,1, перепишем уравне-

ния (*) и (**) соответственно в виде

yi 1(2 0,1xi ) 4 yi (1 0,01) yi 1(2 0,1xi ) 0,02(xi 1),

1,2 y0 y1

0,4; y3

1.

Данная задача сводится к решению системы уравнений

1,2 y

y 0,4,

0

1

2,1y0

3,96 y1 1,9 y2 0,04,

0,042.

1,11y1 3,96 y2 1,89 y3

Решая эту систему,

получим

y0 1,406 ;

y1 1,287 ;

y2 1,149 ;

y3 1,000 .

УПРАЖНЕНИЯ

1.

Используя метод Пикара, найти три последовательных решения

дифференциального уравнения:

а)

y ' 4 y(1 x) ; начальное условие y(0) 1;

б)

y ' x y ; начальное условие y(0) 1.

2.

Найти первые семь членов разложения в степенной ряд решения

y y(x) уравнения

y '' 0,1( y ')2 (1 0,1x) y 0 при

начальных условиях

y(0) 1; y ' (0) 2 .

3.

Найти решение дифференциального уравнения y ' x2 y2 , удовле-

творяющее начальному условию x0 0, y(x0 ) 0 .

Ограничиться членами

разложения в степенной ряд, содержащими х7.

4.

Полагая

h 0,1,

методом

Эйлера решить дифференциальные

уравнения при заданных начальных условиях на указанных отрезках:

а)

y ' y 3x ;

y(0) 1;

x 0;

0,5 ;

б)

y ' x 2 y ;

y(0)

0 ;

x

0; 1 .

5.

Применяя усовершенствованный метод Эйлера, найти на отрезке [0, 1]

а)

y ' x y

2

;

y(1) 0 ;

x 1; 2

;

б)

y ' x2 y ;

y(0) 2 ;

x 0;

1 .

№ 1.

у х cos

y

,

у0 (1,8) 2,6, x [1,8;2,8].

y

5

№ 2.

у х cos

,

у0 (1,6) 4,6, x [1,6;2,6].

3

y

№ 3.

у х cos

,

у0 (0,6) 0,8, x [0,6;1,6].

10

№ 4.

у х cos

y

,

у0 (0,5) 0,6,

x [0,5;1,5].

7

y

№ 5.

у0 (1,7) 5,3, x [1,7;2,7].

у

х cos ,

№ 6.

у х cos

y

,

у0 (1,4) 2,2,

x [1,4;2,4].

2,25

№ 7.

y

у

х cos е ,

у0 (1,4) 2,5, x [1,4;2,4].

№ 8.

у х cos

y

,

у0 (0,8) 1,4,

x [0,8;1,8].

2

№ 9.

у х cos

y

,

у0 (1,2) 2,1,

x [1,2;2,2].

3

№ 10.

у х cos

y

,

у0 (2,1) 2,5,

x [2,1;3,1].

11

№ 11.

у х sin

y

,

у0 (1,8) 2,6,

x [1,8;2,8].

y

5

№ 12.

у х sin

,

у0 (1,6) 4,6,

x [1,6;2,6].

3

y

№ 13.

у х sin

,

у0 (0,6) 0,8, x [0,6;1,6].

10

№ 14.

у х sin

y

,

у0 (0,5) 0,6,

x [0,5;1,5].

y

7

№ 15.

у0 (1,7) 5,3,

x [1,7;2,7].

у

х sin ,