690

Такой метод называется методом Рунге – Кутта.

Этот метод позволяет определить все неизвестные значения un , не прибегая к решению СЛАУ специальными методами.

Такой способ решения дифференциального уравнения называется явной схемой.

Этот метод дает возможность оценки ошибки итерационного процесса на n 1 -й итерации по формуле un 1 un F tn , un .

81

имеет порядок аппроксимации 2 ;

имеет порядок точности ;

при 0 , где τ – параметр сетки, обеспечивает сходимость приближенного решения к точному со скоростью 2 .

разложение функции u в точке tn по степеням параметра сетки в ряд Тейлора до второго порядка малости;

разложение функции F t, u t в точке tn до второго порядка малости;

подстановка точных значений функции u t в дискретное уравне-

ние;

 подстановка дискретных значений un , n 0, 1, , в точное уравнение.

176. Выполнить две итерации по схеме Эйлера для решения задачи

1,11;

1,1;

1,01;

1,21.

177. Анализируя численную последовательность приближенного решения задачи Коши dudt u, u 0 1 по методу Эйлера с заданной сеткой

возрастающей;

убывающей;

арифметической прогрессией;

геометрической прогрессией.

82

178. Выполнить две итерации по схеме Эйлера для решения задачи

значение дискретного аналога производной в точке t2 :

1,01;

1,11;

1,21;

1,0.

убывающей;

возрастающей;

арифметической прогрессией;

геометрической прогрессией.

ветствующие данной схеме:

t dudt u t ;

u tn ;

dudt u t ;

u ut .

181. Разностная схема для решения задачи Коши задана в виде:

этой схемы:

Схема является неявной, так как неизвестная дискретная функция un не может быть явно выражена через аргумент tn .

83

182. Если дифференциальное уравнение представлено в виде разно-

вестной дискретной функции un необходимо:

решить систему в общем случае нелинейных алгебраических уравнений;

использовать метод прогонки;

задать начальное приближение вектора un и использовать метод итераций;

преобразовать схему, приведя ее к явному виду.

183. Из представленных разностных схем для решения дифференциальных уравнений 1-го порядка выберите схемы с порядком точности

2 , где – параметр сетки:

un 1 un 1 F tn , un F tn 1 , un 1 ;

2

un 1 un F tn , un ;

un un 12 F tn , un , un 1 un F tn 12 , un .

84

un tn ;

un 1 un F tn , un F tn , un ;

un un 12 F tn , un , un 1 un F tn 12 , un . n 1 n

186. Выберите правильные характеристики метода Рунге – Кутта:

Это разностная схема 4-го порядка аппроксимации.

Это разностный метод решения дифференциальных уравнений

 1,10525;  1,01;  1,05.

85

189.Выберите правильные характеристики методов Адамса для решения задачи Коши:

 Метод Адамса предназначен для решения дифференциальных уравнений, когда правая часть задана в виде интерполяционного полинома.

 Метод Адамса можно применить только в совокупности с другим явным методом численного решения дифференциального уравнения.

 При реализации метода Адамса используется метод экстраполяции.

 Методом Адамса можно решать дифференциальные уравнения, у которых правая часть – разрывная функция.

190.Для того чтобы численно решить дифференциальное уравнение u p x u q x u f x на интервале a, b , его необходимо дополнить

начальными и граничными условиями типа (выберите правильные): dudx a ua ;

dudx b ub ; u b ub ;

dudx b ub .

191. Какому дифференциальному уравнению соответствует разностная

86

193. Выберите правильные положения, используемые при реализации метода прогонки:

Базовым является предположение о линейности решения разностного уравнения.

Вычисление значений yi происходит пошагово по формулам yn 1 n yn n , начиная с n N, то есть с конца интервала

определения аргумента.

Коэффициенты 1 , 1 определяются из краевых условий.

194.Известно аналитическое решение уравнения в частных производных первого порядка:

u x,t x at t F x at at , t dt .

0

Выберите правильные пояснения к этому выражению:

 x at – это произведение константы Φ на линейную

комбинацию переменных x и t.

 F x at at , t – функция, стоящая в правой части дифференциального уравнения.

Подынтегральная функция получается из функции F x, t путем замены переменных.

a – числовой параметр, x – начальное условие для дифференциального уравнения.

195. Выберите правильные объяснения разностного аналога дифференциального уравнения в частных производных первого порядка:

ukn 1 – компонента в матрице решения разностного уравнения;

ukn 1 ukn – неразделенная разность численных решений в точках сетки tn n, n 0, 1, ;

87

k xk ; u n 1 u n

k k – аналог частной производной по переменной t.

196. Вычислительный алгоритм решения разностного аналога дифференциального уравнения в частных производных первого порядка записан

утверждения:

Это неявная схема, т.к. в правой части присутствует неизвестная величина ukn 1 , взятая из k 1 -й итерации.

Это явная схема, т.к. в левой части стоит величина с n 1 -й итерации, а в правой части – величины с n-й итерации.

Величины a, , h, fkn таковы, что fkn – известная матрица, а a, , h задаются при решении задачи.

параметр τ выбирается таким образом, чтобы h 1.

197. Для разностной схемы решения дифференциального уравнения в частных производных первого порядка известно выражение, полученное при исследовании аппроксимации и точности разностного аналога:

Выберите правильные положения:

 A 2 , h2 , то есть имеем второй порядок малости аппроксимации.

Величина A говорит о точности решения дифференциального уравнения разностным методом.

Точность аппроксимации исходного дифференциального уравнения обусловливается величиной A и равна в данном случае , h .

Величина A свидетельствует о сходимости численного решения к точному при , h 0 .

198. Из приведенных выражений выберите неявную разностную схему решения дифференциального уравнения в частных производных второго порядка

88

а также условие устойчивости явной схемы:

абсолютно устойчива;

2a h2 ;

199. Выберите методы, которые можно применять при решении системы алгебраических уравнений, полученных при аппроксимации дифференциального уравнения второго порядка разностной схемой:

метод итераций;

метод LU-разложения;

метод Зейделя;

метод прогонки.

89

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бахвалов, Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения) [Текст]: учеб. пособие / Н.С. Бахвалов – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. – 632 с.

2.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: учеб. пособие для вузов: в 2 ч. Ч. 2 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко. – 7-е изд., испр. – М.: Изд-во «Оникс»; Изд-во «Мир и образование», 2008. – 448 с.

3.Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики [Текст]: учеб. пособие для втузов / Б.П. Демидович, И.А. Марон; под общ. редакцией Б.П. Демидовича. – 2-е изд., испр. – М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1963.– 660 с.

4.Демидович, Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения [Текст]: учеб. пособие / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. – 3-е изд., перераб. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967.– 368 с.

5.Васильков, Ю.В. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании [Текст]: учеб. пособие / Ю.В. Васильков, Н.Н. Василькова – М.: Финансы и статистика, 1999 – 256 с.

6.Вержбицкий, В.М. Основы численных методов [Текст]: учебник для вузов / В.М. Вержбицкий. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 с.

7.Задачи и упражнения по математическому анализу [Текст]: учеб. пособие для втузов / под ред. Б.П. Демидовича. – 7-е изд., стер. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970. – 472 с.

8.Киреев, В.И. Численные методы в примерах и задачах [Текст]: учеб. пособие / В.И. Киреев, А.В. Пантелеев. – М.: Высшая школа, 2004. – 480 с.

9.Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах [Текст]: учеб. пособие / Н.В. Копченова, И.А. Марон.– 2-е изд., стер. –

СПб.: Лань, 2008. – 368 с.

10.Кошев, А.Н. Введение в численные методы [Текст]: учеб. пособие

/А.Н. Кошев, С.В. Бакушев, И.Г. Гвоздева. – Пенза: ПГАСА, 2000. – 53 с.

11.Кошев, А.Н. Вычислительные методы [Текст]: учеб. пособие / А.Н. Кошев, В.В. Кузина. – Пенза: ПГУАС, 2013. – 204 с.

12.Кошев, А.Н. Численные методы и методы оптимизации [Текст]: учеб. пособие: в 2 ч. / А.Н. Кошев, В.В. Кузина. – Пенза: ПГУАС, 2004. – 136 с.

13.Курсовые работы по направлению 230200 «Информационные системы» [Текст]: методические указания для студентов специальности “Информационные системы и технологии” по выполнению курсовых работ

/А.Н. Кошев, В.В. Кузина – Пенза: ПГУАС, 2006. – 28 с.

90