613

чение главной переменной x1 : x2 1, x1 0,8 . Следовательно, собственH ный вектор, соответствующий собственному значению 1 2 равен:

X 1 X 2 ( 0,8; 1) .

Пусть 2 7 . Тогда

Применим метод Гаусса для решения однородной системы линейH ных уравнений.

Получили, что x1 x2 , x2 – любое число. Одна свободная переменH ная – x2 . Приравняем ее единице и найдем соответствующее значение главной переменной x1 : x2 1, x1 1. Следовательно, собственный векH тор, соответствующий собственному значению 2 7 равен:

X 2 X7 (1;1).

Пример 25. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного матрицей

Решение. Найдем характеристическое уравнение матрицы А.

( 12) 10 12 10 ( 24) 6 6 19 12 10 ( 12) 1310 ( 24) 7 3 2 1 0 .

Характеристическое уравнение матрицы имеет вид

3 2 1 0 .

61

Целые корни могут быть только среди делителей свободного члена 1, т.е. среди 1. Применяя схему Горнера, получим собственные значеH ния 1 2 1, 3 1.

Найдем собственные векторы. Пусть 1 2 1. Тогда

Для решения системы линейных однородных уравнений воспольH зуемся методом Гаусса.

ним метод бегущей единицы (поочередно одну свободную единицу приравниваем единице, другую свободную переменную приравниваем нулю и находим соответствующее значение главной переменной).

62

Применяя метод Гаусса для решения системы линейных однородH ных уравнений, найдем собственные векторы, соответствующие собстH венному значению 3 1.

x3 любое.

Имеем одну свободную переменную x3 . Приравниваем ее единице и находим соответствующие значения главных переменных:

Задачи для самостоятельного решения

Найти собственные векторы и собственные значения операторов, заданных своими матрицами в некотором базисе:

63

§8. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

64

g3 (12, 7,1).

65

Задачи для самостоятельного решения

Применить процесс ортогонализации ГраммаHШмидта к системе

90.f1(0,1,1), f2(1,1,1), f3 ( 3, 3,1) .

91.f1(1, 1,1), f2(2,1, 2), f3 (3,1,1) .

92.f1(1, 2,1), f2(0,1, 4) , f3 (2, 3, 2) , f4 (7, 4,1) .

93.f1(1, 2,1,3), f2(12, 3, 3, 3) , f3 (7, 1, 40, 0) .

94.f1( 1,1,1,1), f2(0, 2, 1,1) , f3 (1,1,1, 3).

95.f1( 1, 0, 3,2), f2(1, 2, 3, 3), f3 ( 3, 2, 3,1).

§9. Квадратичные формы

Переход от системы n неизвестных x1, x2,..., xn к системе n неизвестH ных y1, y2,..., yn по формуле

x S y ,

где x (x1,..., xn ) , y (y1,..., yn ) – столбцы, составленные из переменH ных; S – квадратная матрица порядка n, называется линейным преоб разованием неизвестных.

66

Квадратичной формой F (x1, x2,..., xn ) n неизвестных x1, x2,..., xn

называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестH ных. Квадратичную форму можно записать в матричном виде:

F (x) xT A x ,

где А – симметрическая матрица порядка n, которая называется матриH цей квадратичной формы F (x).

Решение. Порядок искомой матрицы будет равен трем, так как квадратичная форма содержит три переменные. На главной диагонали расположены числа 17, 14, 14 (коэффициенты при квадратах),на переH

Заметим, что при транспонировании полученная матрица не меняется.

Ранг матрицы А квадратичной формы называют рангом квадра тичной формы. Если матрица имеет максимальный ранг, равный чисH лу переменных n, то квадратичную форму называют невырожденной, если ранг меньше n, то ее называют вырожденной.

Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них переводится в другую посредством невырожденного линейного преобразования.

Каноническим видом данной квадратичной формы называется экH вивалентная ей форма, не содержащая произведений неизвестных. КаH ждую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейного преобразования неизвестных x S y с ортогоH

Квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, если в

67

какомHнибудь ее каноническом виде нет отрицательных (положительH ных) коэффициентов при квадратах неизвестных.

Следующие условия равносильны:

1)квадратичная форма положительно определена;

2)собственные значения матрицы А положительны;

3)угловые миноры матрицы А положительны. Следующие условия равносильны:

1)квадратичная форма отрицательно определена;

2)собственные значения матрицы А отрицательны;

3)все угловые миноры матрицы А нечетного порядка отрицательH

ны, а все угловые миноры четного порядка положительны.

Пример 28. Привести к каноническому виду квадратичную форму

F x12 2x22 7x32 2x1x2 2x1x3 4x2 x3 .

Решение. Сгруппируем все члены, содержащие неизвестное x1 , и дополним их до полного квадрата:

F (x12 2x1x2 2x1x3 ) 2x22 7x32 4x2 x3 (x12 2x1(x2 x3 ) (x2 x3 )2)

(x2 x3 )2 2x22 7x32 4x2 x3 (x1 x2 x3 )2 x22 6x32 2x2 x3 .

В дальнейшем полный квадрат, содержащий неизвестное x1 , не изH меняется. Среди оставшихся членов сгруппируем все, содержащие x2 и дополним их до полного квадрата:

F (x) (x1 x2 x3 )2 (x22 2x2 x3 x32 ) x32 6x32(x1 x2 x3 )2 (x2 x3 )2 5x32.

Теперь перейдем от неизвестных x1, x2, x3 к неизвестным y1, y2, y3 по формулам:

y1 x1 x2 x3 ,

y2 x2 x3 ,

y3 x3 .

В результате этого перехода получим канонический вид данной квадратичной формы:

F y12 y22 5y32 .

68

Пример 29. Исследовать на положительную определенность квадH ратичную форму

F 17x12 14x22 14x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3 .

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид (отчеркнуты угловые миноры):

Найдем все угловые миноры и определим их знак.