609
.pdf83. |
В магнитном поле, индукция которого изменяется по закону |
B 0,2 |
1 0,01t Тл (t измеряется в секундах), находится круговой виток |
радиусом 4 см. Определите силу тока, текущего по витку, и заряд, проходящий за время, в течение которого магнитная индукция уменьшается до нуля. Сопротивление витка 1 Ом.
84.Замкнутый проводник в виде квадрата общей длиной L , сопротивлением R расположен в горизонтальной плоскости. Проводник находится
ввертикальном магнитном поле с индукцией B . Какой заряд пройдет по проводнику, если, потянув за противоположные углы квадрата, сложить проводник вдвое?
85.Медное кольцо, диаметр которого 20 см, а диаметр провода кольца 2 мм, расположено в магнитном поле. Плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции. Определите модуль скорости изменения
магнитной индукции поля со временем, если при этом в кольце возникает индукционный ток 10 А. Удельное сопротивление меди 1,72·10–8 Ом·м.
86.Проводящий плоский контур площадью S 100 см2 расположен в магнитном поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Магнит-
10 3 Тл. Чему равна ЭДС
индукции, возникающая в контуре в момент времени t 2 с?
87. В магнитное поле, изменяющееся по закону B 0,1cos4 t , поме-
щена квадратная рамка со стороной a 10 см. Нормаль к рамке совпадает с направлением магнитного поля. Чему равна ЭДС индукции, возникающая в рамке, в момент времени t 0,25 с?
88.Плоская рамка из провода сопротивлением 5 Ом находится в однородном магнитном поле. Проекция магнитной индукции поля на ось Ох,
перпендикулярную плоскости рамки, меняется от В1х = 3 Тл до В2х = -1 Тл. Площадь рамки 2 м2. Какой заряд пройдет по рамке за время изменения поля?
89.Проволочное кольцо радиусом r=10 см лежит на столе. Какое количество электричества q протечет по кольцу, если его повернуть с одной
стороны на другую? Сопротивление R кольца равно 1 Ом. Вертикальная составляющая индукции B магнитного поля Земли равна 50 мкТл.
90. Медное кольцо из провода диаметром 2 мм расположено в однородном магнитном поле, магнитная индукция которого меняется по моду-
31
лю со скоростью 1,09 Тл/с. Плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции. Каков диаметр кольца, если возникающий в нём индукционный ток равен 10 А? Удельное сопротивление меди 1,72·10–8 Ом·м.
2.3. КВАНТОВО-ПОЛЕВАЯ КАРТИНА МИРА
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Найдите отношение скоростей нейтрона и альфа-ча- стицы, длины волн де Бройля которых одинаковы.
Дано: |
Решение |
||||
mn 1 а.е.м. |
Согласно формуле де Бройля |
||||
m 4 а.е.м. |
|||||
n |
|
h |
|||
|
|
|
|
, |
|
|
n |
? |
p |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где p m – импульс частицы. |
|||
|
|
||||
Тогда длина волны де Бройля будет равна
h . m
Из последнего соотношения выразим скорость частицы hm .
Следовательно, скорости нейтрона и альфа-частицы будут соответственно равны:
|
n |
|
h |
и |
|
|
h |
. |
||
|
m |
|
||||||||
|
|
|
|
|
m |
|||||
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
Найдем отношение скоростей частиц:
n
По условию n , поэтому n
n 4 4 .1
m .
nmn
m . mn
Ответ: n 4 4 .
1
32
Пример 2. Масса движущегося электрона в три раза больше его массы покоя. Чему равна минимальная неопределенность координаты электрона?
Дано: |
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
||
m 3m0 |
|
|
Согласно соотношению неопределенности Гейзен- |
||
m 9,1 10 31 |
кг |
|
берга |
|
|
0 |
|
|
|
|
x px , |
|
|
|
|
|
|
xmin ? |
|
|
где x и px – неопределенности координаты и импуль- |
||
|
|
|
|||
|
|
|
са частицы; |
h |
– приведенная постоянная Планка. |
Учитывая, что |
|
2 |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
p m ,
где m – масса; – скорость частицы, соотношение неопределенности можно представить в виде:
x |
h |
. |
|
||
|
2 m x |
|
Поскольку неопределенность скорости x , как и сама скорость, не может превышать скорость света c в вакууме, то
xmin h .
2 mc
Подставив условие m 3m0 , получим:
|
|
|
|
|
x |
|
h |
. |
|
|
|
|
|
6 m c |
|||
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
6,63 10 34 |
|
1,29 10 13 м. |
|
||
|
|
|
|
|||||
min |
|
6 |
3,14 9,1 10 31 3 |
108 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: 1,29 10 13 м.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода равна 13,6 эВ. Исходя из соотношения неопределенностей, оцените наименьшую неточность определения координаты электрона в атоме.
2.Определите длину волны де Бройля, характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость равна 1 Мм/с. Сделайте такой же подсчет для протона.
33
3.Найдите длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.
4.Сравните длину волны де Бройля для электрона и шарика массой 0,1 г, имеющих одинаковые скорости.
5.Вычислите и сравните длины волн де Бройля для электрона и протона, прошедших ускоряющую разность потенциалов в 1000В.
6.Вычислите длину волны де Бройля для протона с кинетической энергией 100 эВ.
7.Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 0,1 нм до 0,05 нм?
8.Пучок альфа-частиц диаметром 1 см прошёл разность потенциалов 100В. надо ли учитывать волновые свойства альфа-частиц при распространении этого пучка?
9.Вычислить длину волны де Бройля для пучка протонов, имеющих скорость 103м/с. Надо ли учитывать волновые свойства, если диаметр пучка 1 мм?
10.Определить неопределенность координаты электрона, движущегося
ватоме водорода со скоростью 1,5·106 м/с, если допускаемая неточность в определении скорости составляет 10% от ее величины. Сравнить полученную неточность с диаметром атома водорода, вычисленным по теории Бора для основного состояния, и указать, применимо ли понятие траектории
вданном случае.
11.Пользуясь соотношением неопределенностей, оцените неопределенность скорости электрона атома водорода. Сравните эту неопределенность с величиной скорости электрона на первой боровской орбите. Указать, применимо ли в данном случае понятие траектории.
12.Во сколько раз дебройлевская длина волны частицы меньше неопределенности ее координаты, которая соответствует относительной неопределенности импульса в 1%?
13.Если допустить, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, то какова будет относительная неопределенность импульса этой частицы?
14.Диаметр пузырька в жидкостно-водородной пузырьковой камере составляет величину порядка 0,1 мкм. Оцените неопределенность скорости электрона и альфа-частицы, если неопределенность координаты равна диаметру пузырька.
15.Электрон движется со скоростью 106 м/с. Допустим, что мы можем измерить его положение с точностью до 10-12м. Сравнить неопределенность импульса электрона с самим значением его импульса.
16.Определите отношение неопределенностей скорости электрона, если его координата установлена с точностью до 10-5 м, и пылинки массой 10-12 кг, если её координата установлена с такой же точностью.
34
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
91.Пучок электронов, пройдя через узкую щель, создает такую же дифракционную картину, как и монохроматическое излучение с длиной волны 55 нм. Чему равна скорость электронов в пучке?
92.Определите длину волны де Бройля, соответствующей средней
квадратичной скорости молекул водорода при комнатной температуре
( 20 C).
93. Нейтрон и альфа-частица имеют одинаковые скорости. Найдите отношение длины волны де Бройля нейтрона к длине волны альфа-частицы.
94. Молекула водорода, позитрон, протон и альфа-частица имеют одинаковую длину волны де Бройля. Какая частица имеет наименьшую скорость?
95. Чему равно отношение скоростей протона и нейтрона, если их длины волн де Бройля одинаковы?
96. Найдите отношение длин волн де Бройля протона и альфа-частицы, если они движутся с одинаковыми скоростями.
97. Отношение скоростей двух микрочастиц |
1 |
8 . Чему равно отно- |
|
2 |
|||
|
|
шение масс этих частиц m1 , если их длины волн де Бройля удовлетворяют m2
соотношению 2 2 1 ?
98. Отношение скоростей двух микрочастиц 1 4. Чему равно отно-
2
шение масс этих частиц m1 , если их длины волн де Бройля удовлетворяют m2
соотношению 2 4 1 ?
99.Позитрон, протон, нейтрон и альфа-частица имеют одинаковую длину волны де Бройля. Какая частица обладает наименьшей скоростью?
100.Электрон, протон, нейтрон и альфа-частица движутся с одинаковой скоростью. Сравните их длины волн де Бройля.
35
101.Среднее расстояние электрона от ядра в невозбужденном атоме водорода равно 52,9 пм. Вычислите минимальную неопределенность скорости электрона в атоме.
102.Электрон локализован в пространстве в пределах x 2,5 мкм. Найдите наименьшее значение неопределенности скорости x (в м/с).
103.Координату объекта массой 2 10 9 кг можно установить с неопределенностью 0,15 мкм. Найдите наименьшее значение неопределенности скорости (в м/с).
104.Найдите отношение неопределенностей проекций скоростей нейтрона и дейтрона на некоторое направление при условии, что соответствующие координаты частиц определены с одинаковой точностью.
105.Положение бусинки массой 1 г и протона ( m 1,67 10 27 кг) опре-
делены с одинаковой погрешностью 10 7 м. Квантово-механическая неопределенность x -компоненты скорости бусинки составляет примерно
10 24 м/с. Какова неопределенность x -компоненты скорости электрона?
106. Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном со-
стоянии 10 3 с. Учитывая, что постоянная Планка 6,6 10 16 эВ с, найдите ширину метастабильного уровня (в эВ).
107. Время жизни атома в возбужденном состоянии 10 нс. Найдите минимальную ширину энергетического уровня в эВ, учитывая, что постоян-
ная Планка 6,6 10 16 эВ с.
108.Ширина следа электрона на фотографии, полученной с использованием камеры Вильсона, составляет 1 мм. Какова минимальная неопределенность скорости электрона?
109.Электрон локализован в пространстве в пределах x 1,0 мкм.
Учитывая, что постоянная Планка 1,05 10 34 Дж с, а масса электрона
m 9,1 10 31 кг, найдите наименьшее значение неопределенности скорости
x (в м/с).
110. Положение пылинки массой m 10 9 кг можно установить с неопределенностью x 0,1 мкм. Учитывая, что постоянная Планка 1,05 10 34Дж с, найдите наименьшее значение неопределенности скорости x (в м/с).
36
2.4. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ КАРТИНА МИРА
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Кислород занимает объем V1 1 м3 и находится под давлением p1 200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема V2 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p2 500 кПа. По-
стройте график процесса и найдите: 1) изменение U внутренней энергии газа; 2) совершенную им работуA ; 3) количество теплоты Q , пере-
данное газу.
Дано:
V1 1 м3
p1 200 кПа
V2 3 м3
p2 500 кПа
1) U ? ; 2) А = ?; 3) Q = ?
Решение:
Построим график процесса (см. рисунок). На графике точками 1, 2, 3 обозначены состояния газа, характеризуемые параметрами ( p1,V1,T1),
( p1,V2 ,T2 ), ( p2 ,V2 ,T3 ) .
1. Изменение внутренней энергии газа при переходе его из состояния 1 в состояние 3 выражает-
ся формулой
U cvm T ,
где cv удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; m масса га-
за; T разность температур, соответствующих конечному 3 и начальному 1 состояниям, т.е. T T3 T1 .
|
Так как c |
|
i |
|
R |
; где M молярная масса газа, |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
v |
|
2 M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
то U |
|
R(T |
T ) . |
(1) |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 M |
3 |
1 |
|
|
|||||||
|
Температуры Т1 и Т3 выразим из уравнения |
|||||||||||||||||
|
Клапейрона-Менделеева ( pV |
|
m |
RT ) : |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
||||
|
|
|
T |
Mp1V1 |
; T |
|
Mp2V2 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
mR |
3 |
|
|
|
mR |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
С учетом этого равенство (1) перепишем в виде
U (i
2)( p2V2 p1V1) .
Подставив в эту формулу значения величин (учтем, что для кислорода, как двухатомного газа, i 5 ) и выполнив вычисления, получим
U 3,25МДж.
2. Полная работа, совершаемая газом, равна A A1 A2 , где A1 работа на участке 1 – 2; A2 работа на участке 2 – 3.
37
На участке 1 – 2 давление постоянно ( p const) . Работа в этом случае выражается по формуле A1 p1 V p1(V2 V1) . На участке 2 – 3 объем газа
не изменяется и, следовательно, работа газа на этом участке равна нулю (A2 0) . Таким образом,
А A1 p1(V2 V1) .
Подставив в эту формулу значения физических величин, получим
A 0,4 МДж.
3. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q ,
переданное газу, равно сумме работы A , совершенной газом, |
и изменению |
U внутренней энергии: |
|
Q U A, или Q 3,65 МДж. |
|
Ответ: 1) U = 2080 Дж; 2) А = 830 Дж; 3) |
Q = 2910 Дж. |
Пример 2. Кислород нагревают от t1 50 C до t2 60 C . Масса ки-
слорода m 160 г. Найти количество поглощённой теплоты и изменение внутренней энергии при изохорном и изобарном процессах. Начальное давление близко к атмосферному.
|
|
|
Дано: |
|
|
Решение: |
|
|
|
||||||
t1 50 C |
|
При давлении, близком к атмосферному, газ |
|||||||||||||
t |
|
60 C |
|
можно считать идеальным. Графики изохорного I |
|||||||||||
2 |
|
и изобарного II процессов (см. рисунок) лежат |
|||||||||||||
m 160 г |
|
между одними и теми же изотермами, следова- |
|||||||||||||
|
|
UV ? UP ? |
тельно, изменение внутренней энергии газа |
||||||||||||
|
|
QV ? |
QP ? |
должно быть одинаковым: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
U |
V |
U |
P |
|
m |
|
i |
|
R(T |
T ) , |
(1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M 2 |
2 |
1 |
|
|||||
где i = 5 – число степеней свободы (молекула кислорода двухатомна). Поскольку оба процесса характеризуются по-
стоянными теплоемкостями, искомое количество теплоты может быть найдено по формуле
Q |
m |
C(T |
T ) , |
(2) |
|
||||
|
M |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
где C − молярная теплоемкость, зависящая от характера процесса.
При изохорном процессе газ не совершает работы, поэтому количество поглощенной теплоты
будет меньше: QV < QP .
Исходя из молекулярно-кинетической теории, это можно объяснить тем, что при изобарном нагревании газ расширяется и молекулы его, ударяясь о движущийся поршень, отскакивают от него с меньшей, чем до удара,
38
скоростью, отдавая часть своей кинетической энергии поршню. На восстановлениеэнергиимолекулитребуетсядополнительноеколичествотеплоты.
Согласно выражению (1), UV UP 1040 Дж. При изохорном процессе
|
|
QV UV |
1040 Дж. |
|||||
При изобарном процессе, |
учитывая, что молярная теплоёмкость |
|||||||
CP (i 2)R / 2 , из равенства (2) получаем |
||||||||
Q |
|
m |
|
i 2 |
R(T |
T ) 1450 Дж. |
||
|
|
|
||||||
P |
M |
2 |
|
2 |
1 |
|||
Очевидно, что разность |
QP UP |
|
равна работе, совершённой газом |
|||||
при изобарном нагревании. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: UV UP 1040 Дж; QV 1040 Дж; QP 1450 Дж.
Пример 3. Во сколько раз необходимо увеличить объем 5моль идеального газа при изотермическом расширении, чтобы его энтропия увеличилась на S 57,6Дж
K ?
Дано: |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
||||
5моль |
|
|
Изменение энтропии идеального газа |
|
|
S 57,6Дж K |
|
|
S |
dQ |
|
|
|
|
T , |
(1) |
|
n ? |
|
|
|||
|
|
|
где dQ бесконечно малое |
количество |
теплоты, |
|
|
|
подводимое к газу, T температура. |
|
|
В изотермическом |
|
|
процессе температура T постоянна, внутренняя |
||
энергия газа не изменяется, поэтому подводимая к газу теплота полностью
расходуется на совершение газом работы: dQ dA pdV
С учетом этого формула (1) принимает вид
|
|
|
|
|
|
1 |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
2 |
pdV , |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
где V1 – начальный объем; V2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
– конечный объем после расширения. |
|||||||||||
Из уравнения Клайперона-Менделеева найдем давление p : |
|||||||||||
|
|
|
pV RT , |
|
p |
RT |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
RT V2 dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S |
R lnV |
|
V |
|
|
|
V |
R ln n , (2) |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||||
T |
V |
|
V1 R lnV2 lnV1 R ln V |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
39
где n V2 величина, показывающая, во сколько раз увеличивается объем
V1
газа. Из (2) находим n :
ln n |
S |
, |
n e S R |
|
R |
|
|
57,6
n e5 8,31 e1,386 4,00.
Ответ: объем газа необходимо увеличить в 4,00 раза.
Пример 4. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы, и температуры их становятся одинаковыми. Покажите, что энтропия при этом увеличивается.
Решение:
Пусть температура горячей воды T1 , холодной T2 , а температура смеси
. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса |
||||||||||||||||||||||
|
Откуда |
|
mc |
T1 mc T2 |
|
или T1 T2 , |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 T2 / 2 . |
|
|
|
|
(1) |
|||||||||
|
Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 cmdTT |
cmln |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cmdT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
T |
|
cmln |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Изменение энтропии системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
S S |
S |
|
cmln( / T ) cmln( / T ) cmln |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
TT |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
или с учетом соотношения (1) получим |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
T )2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S cmln |
(T |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4T1T2 |
(T T )2 |
|
||||||||
|
Так |
как T >T , |
то |
|
T T |
2 |
> 4TT , следовательно |
>1 и |
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
4TT |
|
||
|
(T T )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||
ln |
>0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4TT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда S >0 т.е. энтропия возрастает.
Ответ: энтропия смеси возрастает.
40