598

1. Поперечная сила Qy равна алгебраической сумме проекций всех сил,

действующих с одной стороны сечения (либо слева, либо справа), на ось, перпендикулярную оси бруса; причем силы, вращающие рассматривающую часть бруса по часовой стрелке, входят в эту сумму со знаком плюс.

2. Изгибающий момент M x равен алгебраической сумме моментов всех

сил, действующих с одной стороны сечения (либо слева, либо справа), относительно центра тяжести этого сечения; причём моменты, растягивающие у рассматриваемой части бруса нижние волокна, входят в эту сумму со знаком плюс.

При изменении положения сечения (координаты z ) изменяются и внутренние усилия. Следовательно, поперечная сила и изгибающий момент являются функциями от координаты z :

Qy Q z и M x M z .

Графики этих функций называются эпюрами. При построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов придерживаются следующих правил:

1.Положительныезначения Qy откладываютвверхотосиабсцисс(осиZ).

2.Положительные значения M x откладывают вниз от оси абсцисс, то

Зависимости (3.7) позволяют судить о виде эпюр Qy и M x на различных участках балки. Особенности эпюр Qy и M x , вытекающие из дифференциальных зависимостей, можно представить следующим образом.

(рис. 3.8) на эпюре Qy будет наблю-

даться «скачок», равный величине силы и направленный в сторону действия силы, а на эпюре M x – будет перелом, направленный в сторону действия силы.

4. Под сосредоточенным моментом M x (рис. 3.9) на эпюре Qy не

происходит никаких изменений, а на эпюре M x наблюдается «скачок» на

величину сосредоточенного момента. Направление скачка будет вниз (при построении эпюры слева направо), если момент действует по ходу часовой стрелки, и вверх, если против хода.

Для построения эпюр Qy и M x балку разбивают на участки, границами

которых являются точки приложения сосредоточенных сил и моментов, начало и конец распределенной нагрузки, а также точки приложения опорных реакций. На каждом участке функции Q z и M z имеют своё

аналитическое выражение (уравнение). Рассекая балку в произвольном месте (при произвольном значении z ) в пределах каждого участка и ис-

пользуя приведённые выше правила определения Qy и M x в произвольном

32

сечении, можно получить уравнения Q z и M z для каждого участка и по ним строить эпюры.

После построения и проверки правильности эпюр M x и Qy производят

проверкупрочностиилиподборсечениябалок, используяусловия(3.1) и(3.2). Рассмотрим порядок подбора сечений балок.

Для большинства балок, используемых в строительстве, основное влияние на прочность оказывают нормальные напряжения. Поэтому подбор сечения балок осуществляют из условия прочности (3.1) по нормальным напряжениям. Зная материал, из которого изготавливается балка, и значение максимального изгибающего момента от расчётных нагрузок, определяют требуемый момент сопротивления сечения балок:

Подбор сечения, выполненного из прокатных профилей, осуществляют по соответствующим таблицам сортаментов (прил. 1). Выбирают такой профиль, у которого момент сопротивления Wx равен или больше тре-

буемого значения Wxтр.

После выбора соответствующего профиля производят проверку прочности балкипокасательнымнапряжениямвсоответствиисформулой(3.2).

П р и м е р ы р е ш е н и я т и п о в ы х з а д а ч

П р и м е р 3.1. Из условия прочности подобрать двутавровое сечение стальнойбалкина двух опорах (рис. 3.10), если M H 30 кН м, qH 10 кН/м, F H 20 кН. Принять f 1,1; c 0,9 .

Ре ш е н и е

1.Вычисление расчётных нагрузок. По заданным нормативным нагрузкам определяем величины расчётных нагрузок, которые указываем на расчётной схеме (см. рис. 3.10).

Реакции опор определяем из условия равновесия балки:

Z 0 ; НА 0 ;

mA 0; q 4 2 M RB 6 F 8 0; 33

2. Построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов M x .

1-й участок AC. Рассекаем балку в произвольном месте этого участка сечением 1-1. Рассматриваем равновесие левой отсеченной части

(рис. 3.11).

Фиксируем сечение 1-1 текущей координатой z1 от начала балки. Действие правой отброшенной части на рассматриваемую левую заменяем внутренними усилиями Q1 z и M1 z .

Руководствуясь принятыми правилами, находим выражения Qy и M x в

общем виде:

Q1 z RA q z1 27,5 11 z1 ;

M1(z) RA z1 q z1 z21 27,5 z1 5,5 z12 ; 0 z1 4 м.

Поперечная сила на участке АС изменяется по его длине по линейному закону, а изгибающий момент М – по закону квадратной параболы.

Найдём ординаты эпюры Qy :

Поперечная сила изменяется по линейному закону и меняет при этом знак. Значит, в каком-то месте этого участка при z1 z0 Q1 0 .

Определяем эту координату z0 .

Q1 RA q z0 0 , откуда z0 RqA 27,511 2,5 м.

Для построения эпюры M x определяем ординаты в трех сечениях: на границах участка AC и обязательно при z z0 2,5 м:

при z1 0 м М1 0 ;

при z1 4 м M1 27,5 4 5,5 4 2 22 кН м.

В случае, когда на участке с равномерно распределённой нагрузкой поперечная сила не равна нулю и не меняет знака, ординаты эпюры M x

определяются обязательно на границах участка и в произвольном третьем сечении этого участка.

2-й участок CB. Рассекаем балку в произвольном месте этого участка сечением 2-2. Рассматриваем равновесие левой отсечённой части (рис. 3.12). Сечение 2-2 фиксируем текущей ординатой z2 от начала балки.

Действие правой отброшенной части на левую заменяем внутренними усилиями Q2 и M2 .

Поперечная сила Qy постоянна на участке BD и в любом сечении равна Q3 22 кН. Изгибающиймомент M x изменяетсяполинейномузакону.

Для построения эпюры M x определяем ординаты на границах участка:

Заметим, что по известному моменту сопротивления Wх можно подобрать сечение балки любой формы.

4. Проверка прочности сечения. Вычисляем наибольшие нормальные и касательные напряжения в сечении и сравниваем их с расчётными сопротивлениям:

2,31 107 23,1 МПа< Rs c 130 0,9 117 МПа.

На рис. 3.14 показаны эпюры распределения нормальных и касательных напряжений по высоте двутаврового сечения.

37

Аотс σ τу

σmax

Рис. 3.14

Условия прочности выполняются. Следовательно, сечение балки подобрано верно.

Если условия прочности по касательным напряжениям не выполняются, то необходимо принять больший номер прокатного профиля (двутавра) и вновь проверить условия прочности.

Рис. 3.15

38

Ре ш е н и е

1.Вычисление расчётных нагрузок. Определяем величины расчётных нагрузок и указываем их на расчётной схеме (см. рис. 3.15):

ММН f 20 кН м 1,1=22 кН м,

q qH f 10 кН/м 1,1=11 кН/м, F F H f 10 кН 1,1=11 кН.

Реакции опор в этом примере определять необязательно, т.к. при построе-

Q1 0 ;

M1 M 22 кН м, 0 z1 1м.

Поперечная сила Qy и изгибающий момент M x на участке AB

постоянны

2-й участок BC. Рассекаем балку в произвольном месте этого участка сечением 2-2 на расстоянии z2 от правого конца балки. Рассматриваем

правую отсечённую часть (рис. 3.17). Действие левой отброшенной части заменяем внутренними усилиями Q2 z и M2 z . Находим выражения Qy

1 z2 1,5м.

На участке BC поперечная сила изменяется по его длине по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы.

39

Рис. 3.18

40