598

для пластичных материалов Rн y предел текучести ( у предел

текучести, то есть наименьшее напряжение, при котором образец деформируетсябезувеличениянагрузки);

для хрупких материалов Rн u предел прочности ( и предел

прочности (временное сопротивление), то есть наибольшее напряжение, предшествующееразрушениюобразца);

Для выяснения положения опасного сечения, то есть сечения, в котором возникает напряжение maxz , строят график, показывающий изменение напряжения z подлинестержня, называемыйэпюрой.

Практически при определении опасного сечения стержня, на которое действует несколько продольных сил и которое имеет ступенчато-переменное по длине сечение, сначала, пользуясь методом сечений, строят графики (эпюры) изменения продольного усилия по длине стержня, а затем – эпюру нормальныхнапряжений.

При построении эпюры продольных сил следует придерживаться принятого правила знаков: продольную силу считают положительной, если она вызывает растяжение стержня, т.е. направлена от сечения.

Чтобы определить абсолютную деформацию стержня при переменных внутренних усилиях, ступенчато-переменном сечении и модуле упругости, необходимо вычислить отдельно абсолютную деформацию на каждом участке с постоянными усилием, сечением и модулем упругости по формуле (1.6), а затем результат алгебраически сложить.

Замечание. Подбор сечения и проверку прочности (расчёт на прочность) выполняют от расчётных нагрузок, а определение изменения длины (расчёт на жёсткость) – от нормативных нагрузок.

П р и м е р ы р е ш е н и я т и п о в ы х з а д а ч

П р и м е р 2.1. Стальной стержень находится под действием продоль-

ных сил F1 и F2 (рис. 2.3). Требуется:

1.Из условия прочности определить площадь A поперечного сечения стержня;

2.Найти абсолютную продольную деформацию стержня l . Расчётное сопротивление стержня принять равным R 210 МПа,

модуль упругости – Е 200 ГПа, с 0,8 ; f 1,1.

21

Решение

1. Вычисление расчётных нагрузок.

F1p F1н f 50 1,1 55 кН; F2p F2н f 30 1,1 33 кН.

2. Построение эпюр продольных сил и напряжений. Имеем три участка:

AB , BC , CD . Для построения эпюр воспользуемся методом сечений. Последовательно проводим сечения на каждом участке стержня: 1-1, 2-2, 3-3 (рис. 2.3). Рассматриваем равновесие нижних отсеченных частей стержня, так как не определена опорная реакция (рис. 2.4). Во всех сечениях за положительное значение принята растягивающая сила, направленная от сечения.

Сила N3 получилась отрицательной, значит, участок AB испытывает сжатие.

22

Рис. 2.4

Из эпюры нормальных напряжений z (см. рис. 2.4, д) следует, что все

сечения на участке BC являются опасными, поскольку именно на этом участке возникает наибольшее по величине нормальное напряжение:

max 2 33 кН2 . A см

3. Подбор поперечного сечения. Из условия прочности (2.7) определяем требуемую площадь поперечного сечения:

Принимаем для участков CD и BC А=1,95 см2, а для участка АВ –

2А=3,9 см2.

23

По известной площади А можно назначить любую форму поперечного сечения.

4. Проверка прочности сечения. Прочность сечения проверяем на каждом участке стержня:

Таким образом, на всех участках условие прочности выполняется. Это означает, что площадь поперечного сечения подобрана верно.

5. Определение абсолютной деформации стержня. Абсолютную де-

формацию стержня AD определяем как алгебраическую сумму деформаций каждого из трёх его участков:

lAD lAB lBC lCD .

Деформации на каждом участке вычисляем по формуле (2.6) с учётом знака продольной силы. При этом учтём понижающий коэффициент для продольной силы, обеспечивающий расчёт деформаций по нормативным нагрузкам.

lCD 0 .

Полная абсолютная деформация стержня будет равна:

lАD lAВ lBC lCD 0,513 1,54 0 1,027 мм.

24

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы

1.Какие внутренние усилия возникают в поперечном сечении стержня при осевом растяжении (сжатии)?

2.Какие напряжения возникают в поперечном сечении стержня при осевом растяжении (сжатии)?

3.Как распределены напряжения по площади поперечного сечения?

4.По какой формуле определяются напряжения при осевом растяжении (сжатии)?

5.Как подобрать площадь поперечного сечения при растяжении?

6.Как формулируется закон Гука при осевом растяжении (сжатии)?

7.Сформулируйте условие прочности при осевом растяжении (сжа-

тии).

8.Как строится эпюра продольных сил?

9.Сформулируйте правило знаков для продольных сил.

10.Как определить изменение длины стержня при осевом растяжении (сжатии)?

25

Задача №3 РАСЧЁТ СТАЛЬНОЙ БАЛКИ НА ПРОЧНОСТЬ

ПРИ ПЛОСКОМ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ

З а д а н и е

Для балки,изображённой на рис.3.1, построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М и из условия прочности подобрать:

сечение стальной балки в виде прокатного двутавра, спаренных прокатных швеллеров, прямоугольника, круга и в виде кольца.

0 S

A

B

C

D

Т

L

Рис. 3.1

Замечание. Числовые значения и положение нагрузок, размеры балки выдаются автоматизировано с помощью ПЭВМ.

Т е о р е т и ч е с к а я ч а с т ь

Плоским поперечным изгибом называется такой изгиб, при котором внешние силы, лежащие в плоскости симметрии стержня, направлены перпендикулярно к его продольной оси, а плоскость кривизны оси совпадает с плоскостью действия сил. Стержень, подвергающийся изгибу, называют балкой.

26

Чистым изгибом называется такой частный случай плоского поперечного изгиба, когда на некотором участке балки поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент на этом участке постоянен. При чистом изгибе в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения, которые и создают изгибающий момент.

Для определения зависимости между нормальными напряжениями и изгибающим моментом рассматривают деформацию балки при чистом изгибе. При этом считают справедливой гипотезу плоских сечений: поперечные сечения балки, плоские и перпендикулярные его продольной оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси и после деформации. При изгибе продольные волокна в одной части балки удлиняются, в другой укорачиваются. В средней части балки есть волокна, длина которых не изменяется. Эти волокна называются нейтральными и образуют в сечении нейтральный слой балки. Линия пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением называется нейтральной осью.

Зависимость между нормальными напряжениями и изгибающим моментом имеет следующий вид:

M x y ,

Ix

где y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой вычисляют напряжения.

Из этой зависимости вытекает, что нормальные напряжения при изгибе распределяются по высоте сечения балки по линейному закону, а максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 3.2).

Рис. 3.2

При плоском поперечном изгибе, в отличие от чистого изгиба, в сечениях балки возникают не только нормальные, но и касательные напря-

27

жения, что приводит к искривлению этих сечений. Но для балок, у которых отношение высоты к длине мало, формула по вычислению нормальных напряжений при чистом изгибе гарантирует достаточную точность и при плоском поперечном изгибе.

Касательные напряжения при изгибе создают в сечениях балки поперечную силу, с которой они связаны следующей зависимостью, называемой формулой Журавского:

где Sxотс – статический момент площади отсеченной части сечения относительно оси х;

b – ширина сечения на уровне той точки, в которой вычисляют касательные напряжения.

Анализ данной зависимости показывает, что наибольшие касательные напряжения в сечении с двумя осями симметрии возникают на уровне нейтрального слоя, а в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси,

y 0 (рис. 3.2, 3.3).

τ

Рис. 3.3

Прочность балки при плоском поперечном изгибе будет обеспечена, если выполняются условия прочности:

– по нормальным напряжениям

где M xmax – наибольший (по абсолютной величине) изгибающий момент; Wx – момент сопротивления изгибу поперечного сечения балки; 28

Rs – расчётное сопротивление материала срезу.

Чтобы использовать условия (3.1) и (3.2) для оценки прочности и подбора сечения балок, необходимо знать величины максимальных внутрен-

них усилий M xmax и Qymax . Эти усилия определяются по соответствующим эпюрам, т.е. графикам изменения внутренних усилий по длине балки. Эпюры изгибающих моментов M x и поперечных сил Qy строятся от расчётных

нагрузок. Расчётные нагрузки определяются умножением значений заданных нормативных нагрузок на коэффициенты надёжности по нагрузке:

Перейдём к вопросу о построении эпюр внутренних усилий. Рассмотрим брус, нагруженный силами, действующими в вертикаль-

ной плоскости симметрии бруса перпендикулярно его продольной оси

(рис. 3.4, а).

Под воздействием всех сил брус находится в равновесии (среди сил, действующих на брус, есть и опорные реакции).

29

Для определения внутренних усилий в произвольном поперечном сечении используем метод сечений. Мысленно рассечём брус на две части и рассмотрим равновесие какой-либо одной из них, например левой. Эта часть бруса находится под воздействием внешних сил F1 и F4 , а также

внутренних усилий – поперечной силы Qy и изгибающего момента M x .

Для обеспечения равновесия рассматриваемой части бруса достаточно, чтобы были равны нулю алгебраическая сумма проекций всех сил на вертикальную ось, и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно центра тяжести проведённого сечения.

Равенства (3.5) и (3.6) позволяют сформулировать правила определения Qy и M x в произвольном сечении бруса.

30