598

Ix 0,1143 (-0,06229) 0,04973 0,10174 м4 ,

I y I y1 I y2 I y3 0,1152 ( 0,011005) 0,0216 0,12675 м4 .

П р и м е р 1.2. Для фигуры, состоящей из швеллера №27 и равнобокого уголка 100 100 10 (рис. 1.6), определить положение главных центральных осей и найти величину главных центральных моментов инерции.

Рис. 1.6

Р е ш е н и е

Разбиваем сложное сечение на две простые фигуры, геометрические характеристики которых приведены в соответствующих ГОСТах (сортаментах): 1 – швеллер № 27, 2 – уголок 100 100 10.

11

Выписываем из таблиц сортаментов необходимые данные(см. прил. 2, 4). Цифрысверхувскобкахобозначаютномерфигуры.

Швеллер № 27 (ГОСТ 8240–89):

Таблицами сортаментов необходимо пользоваться очень внимательно, помня о том, что названия осей в сортаменте не всегда совпадают с названиями осей в конкретной задаче (см. рис. 1.6).

1. Определение положения центра тяжести фигуры. Координаты центра тяжести сечения находим по формуле (1.6). Статический момент сложного сечения равен алгебраической сумме статических моментов его составных частей.

Тогда

В качестве вспомогательных осей используем оси x0 и y0, проходящие через нижнюю и левую грани фигуры. Получаем:

По найденным значениям координат xc, yc строим на схеме (см. рис. 1.6) центр тяжести сечения и проводим через него центральные оси х и у, параллельные вспомогательным осям x0 и y0.

2. Определение моментов инерции относительно центральных осей.

Моменты инерции сечения относительно центральных осей вычисляются как алгебраическая сумма моментов инерции простых фигур:

Ix Ix(1) Ix(2) ; I y I y(1) I y(2) ; Ixy Ixy(1) Ixy(2).

Для нахождения моментов инерции простых фигур относительно центральных осей сечения используем соотношения (1.7). При этом расстояние между параллельными осями x и x1, x2, а также y и y1, y2 равны следующим величинам:

a1 y1 yC 13,5 17,27 3,77 см; a2 y2 yC 24,17 17,27 6,9 см; b1 x1 xC 7,03 8,9 1,87 см;

b2 x2 xC 12,33 8,9 3,43 см.

Подставив найденные значения в формулу (1.7), получим:

Ix(1) Ix(1)1 a12 A(1) = 4160 + (-3,77)2 35,2 = 4660 см4; Ix(2) Ix(2)2 a22 A(2) = 179 + 6,92 19,2 = 1093 см4;

I y(1) I y(1)1 b12 A(1) = 262 + (-1,87)2 35,2 = 385 см4; I y(2) I y(2)2 b22 A(2) = 179 + 3,432 19,2 = 405 см4.

Тогда

Ix 4660 + 1093 = 5753 см4; I y = 385 + 405 = 790 см4.

При определении центробежных моментов инерции каждой простой фигуры относительно центральных осей х и у всего сечения необходимо знать значения центробежных моментов инерции этих фигур относительно собственных центральных осей (х1 у1, х2 у2). Так как одна из центральных

осей швеллера является осью симметрии, то Ix(1)1y1 = 0. Для уголка главными центральными осями являются оси х3 у3 (см. рис. 1.6), и, значит, Ix(2)3 y3 = 0.

Центробежный момент инерции уголка относительно осей х2, у2 определяется из соотношений (1.8):

Из рис. 1.6 видно, что = 45 и он положительный, так как поворот осей х3 и у3 соответственно к осям х2 и у2 осуществляется против часовой стрелки.

Находим центробежный момент инерции всего сечения относительно центральных осей х и у:

Ixy(1) Ix(1)1y1 a1 b1A(1) 0 3,77 1,87 35,2 248 см4;

Ixy(2) Ix(2)2 y2 a2b2 A(2) = 105 + 6,9 3,43 19,2 = 559 см4; Ixy 248 + 559 = 807 см4.

3. Определение положения главных центральных осей и вычисление главных центральных моментов инерции. По найденным значениям мо-

ментов инерции относительно центральных осей и используя соотношение (1.10), находим угол поворота 0 главных центральных осей:

Поворачивая центральные оси x и y сечения на угол 9 по часовой стрелке в соответствии с правилом знаков, строим главные центральные оси Х, У (см. рис. 1.6).

На основе зависимостей (1.8) определяем значения главных центральных моментов инерции сечения:

IX Ix cos2 0 Iy sin2 0 Ixy sin 2 0

=5753 cos2(–9 ) + 790 sin2(–9 ) – 807 sin(–18 ) =

=5612,3 + 19,3 + 249 = 5881 см4;

IY Ix sin2 0 I y cos2 0 Ixy sin 2 0

=5753 sin2(–9 ) + 790 cos2(–9 ) + 807 sin(–18 ) =

=140 + 771 – 249 = 662 см4.

Таким образом, главные центральные моменты инерции сечения:

Imax = IX = 5881 см4; Imin = IY = 662 см4.

Дляпроверкиправильностивычисленийиспользуемсоотношения(1.9):

Ix Iy IX IY ; 5753 + 790 = 5881 + 662;

6543 см4 = 6543 см4.

14

Контрольные вопросы

1.Что называется статическим моментом площади относительно оси? Его размерность.

2.Когда статический момент равен нулю?

3.Какие оси называются центральными?

4.Как вычислить статический момент площади сложного очертания относительно произвольной оси?

5.Как определить положение центра тяжести плоской фигуры сложного очертания?

6.Сравните абсолютные значения статических моментов двух фигур, составляющих прямоугольник, относительно центральных осей x и y прямоугольника (рис. 1.7).

7.Что называется осевым моментом инерции? Его размерность.

8.Чтоназываетсяполярныммоментоминерции? Егоразмерность.

9.Могут ли осевой и полярный моменты инерции быть меньше или равны нулю?

10.Что называется центробежным моментом инерции?

11.Можетлицентробежныймоментбытьменьшеилиравеннулю?

12.Каксвязанымеждусобойосевыеиполярныймоментыинерции?

13.Какие оси называются главными?

14.Какие оси называются главными центральными?

15.В каких фигурах определяется без вычислений одна из главных центральных осей?

16.В каких фигурах все оси являются главными центральными?

17.Проведите главные оси для равнобедренного треугольника, используя точку B (рис. 1.8).

15

Задача №2 РАСЧЁТ СТЕРЖНЯ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЁСТКОСТЬ

ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)

З а д а н и е

Для стержня, изображённого на рис. 2.1, требуется:

1.Из условия прочности определить площадь A поперечного сечения стержня.

2.Найти абсолютную продольную деформацию стержня l . Замечание: числовые значения нагрузок, размеры стержня выдаются

автоматизировано при помощи ПЭВМ, а форма сечения, механические характеристики материала, коэффициенты надёжности по нагрузке и коэффициенты условий работы задаются преподавателем для каждой учебной группы индивидуально.

Рис. 2.1

Т е о р е т и ч е с к а я ч а с т ь

Если под действием нагрузки в поперечном сечении стержня возникает только одно внутреннее усилие – продольная сила N , то говорят, что стержень находится в условиях центрального растяжения или сжатия.

Условия центрального растяжения или сжатия реализуются при действии на стержень двух равных внешних сил, приложенных в центре тя-

жести поперечного сечения и направленных вдоль продольной оси стержня в противоположные стороны (рис. 2.2, а).

В этом случае произвольные поперечные сечения 1 и 2 (рис. 2.2, а),

взятые в средней части стержня, перемещаются параллельно самим себе в положения 1 и 2 (рис. 2.2, в). При этом длина стержня увеличивается, а размеры поперечного сечения уменьшаются. Поскольку все волокна между выбранными сечениями изменяют свою длину на одну и ту же величину, то все точки поперечного сечения будут испытывать одинаковую продольную деформацию, а следовательно, и одинаковые напряжения. Таким образом, при осевом растяжении или сжатии имеем равномерное распреде-

18

Рис. 2.2

Отсюда следует, что интеграл, связывающий продольную силу N с законом распределения нормальных напряжений x, y по площади

сечения

N (x, y)dA,

A

легко вычисляется, то есть

N z A .

Таким образом, при осевом растяжении (сжатии) нормальное напряжение, действующее в поперечном сечении стержня, определяется по формуле:

Относительная поперечная деформация ' и в направлении оси x , и в направлении оси y связана с относительной продольной деформацией

с помощью коэффициента поперечной деформации (коэффициент Пуассона):

Нормальное напряжение z и относительная продольная деформация

Здесь коэффициент пропорциональности E называется модулем упругости и является основной механической характеристикой материала при его деформировании в пределах упругих деформаций (одна из констант материла).

Величина абсолютной деформации l , на основании соотношений

(2.3), (2.5) и (2.1), будет равна:

Формула (2.6) позволяет определить абсолютную деформацию (удлинение или укорочение) стержня длиной l , у которого продольная сила N , площадь поперечного сечения A , модуль упругости E не меняются по длине.

Условие безопасной работы (условие прочности) при растяжении (сжатии) имеет вид:

здесь m коэффициентнадёжностипоматериалу;

20