598
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства»
(ПГУАС)
В.В. Зернов
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Учебно-методическое пособие к выполнению курсовой работы
по направлению подготовки 08.03.01 «Строительство»
Пенза 2016
1
УДК 539.3 ББК 30.121 З-57
Рекомендовано Редсоветом университета Рецензент – кандидат технических наук, доцент кафедры «Механика» М.Б.Зайцев
(ПГУАС)
Зернов В.В.
З-57 Техническая механика: учеб.-метод. пособие к выполнению курсовой работы по направлению подготовки 08.03.01 «Строительство»/ В.В. Зернов. – Пенза: ПГУАС, 2016. – 56 с.
Приведены краткие теоретические сведения, задания и типовые примеры для выполнения курсовой работы по дисциплине «Техническая механика». Предложены контрольные вопросы для самопроверки. Даны необходимые справочные материалы и формулы.
Подготовлено на кафедре «Механика» и предназначено для использования студентами, обучающимися по направлению подготовки 08.03.01 «Строительство», при изучении дисциплины «Техническая механика».
Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, 2016
©Зернов В.В., 2016
2
ВВЕДЕНИЕ
Курсовая работа (КР) – задание, которое выполняется студентами в определённый срок и по определённым требованиям. В состав КР входят: выполненное задание и пояснительная записка к решению. Срок выполнения работы – 3-й семестр. Работа рассчитана на закрепление и применение полученных навыков в процессе учёбы.
Общие положения и требования к выполнению курсовой работы:
1.Каждый студент 2 курса, обучающийся по направлению 08.03.01 «Строительство», выполняет в течение 3-го семестра курсовую работу.
Курсовая работа состоит из трёх задач. Выдача заданий осуществляется автоматизировано с помощью ПЭВМ и по индивидуальному варианту, выданному преподавателем.
2.Общие исходные данные для курсовой работы берутся из данного пособия.
3.Прежде чем приступить к задаче, следует обстоятельно изучить или повторить соответствующий теоретический материал курса.
4.Не следует проводить вычисления с большим числом значащих цифр. Сохранение трёх значащих цифр после запятой обеспечивает необходимую точность.
5.Все чертежи следует выполнять карандашом, а записи вести ручкой или карандашом, соблюдая чертёжные шрифты. Схемы, чертежи и другие рисунки должны быть выполнены с соблюдением масштабных соотношений с помощью чертёжных инструментов.
6.В начале каждой задачи должны быть приведены её тема и номер, текст условия, расчётная схема и таблица исходных данных. Далее следует расположить текст решения и ответы. Все выкладки должны представлять собой стройную логическую последовательность и сопровождаться лаконичным пояснительным текстом. Сокращение слов не допускается.
7.Каждый пункт решения должен при необходимости содержать вспомогательные чертежи или эскизы, расчётную формулу в общем виде, числовое повторение (подстановку) этой формулы и ответ. В промежуточных и окончательных ответах следует проставлять единицы измерения получаемых величин.
3
8. Каждая задача оформляется отдельно со своим титульным листом, а содержательная часть должна быть оформлена на стандартных листах. Страницы надо пронумеровать. Титульный лист оформляется в соответствии требованиями норм.
Работы, выполненные не по личному варианту, не рецензируются. Выполнение курсовой работы по курсу «Техническая механика»
позволит сформировать у обучающихся следующие компетенции:
– способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и математического (компьютерного) моделирования, теоретического и экспериментального исследования.
4
Задача №1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
Задание
Для заданного поперечного сечения требуется определить положение главных центральных осей и вычислить значения главных центральных моментов инерции. (Форма сечения и размеры выдаются автоматизированно при помощи ПЭВМ).
Теоретическая часть
Опыты показывают, что поведение бруса под нагрузкой (его сопротивление внешним воздействиям) зависит не только от площади поперечного сечения A, но и от его формы.
Для учёта формы поперечного сечения используются специальные геометрические характеристики (рис. 1.1):
– статические моменты площади (размерность – м3, см3) |
|
|
Sx = |
ydA; Sy = xdA; |
(1.1) |
A |
A |
|
– осевые моменты инерции (размерность – м4, см4) |
|
|
Ix = |
y2dA; Iy = x2dA; |
(1.2) |
A |
A |
|
– центробежный момент инерции (размерность – м4, см4) |
|
|
|
Ixy = xydA ; |
(1.3) |
|
A |
|
– полярный момент инерции (размерность – м4, см4) |
|
|
|
I 2dA . |
(1.4) |
A
Из формулы (1.1) следует, что статический момент площади относительно некоторой оси равен произведению площади на расстояние (координату) от центра тяжести поперечного сечения до этой оси (рис. 1.2):
Sx Ayc , |
Sy Axc . |
(1.5) |
5
y
y
dA
x
x
Рис. 1.1
y
с |
C |
y |
|
xс
Рис. 1.2
x
Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются центральными. Относительно этих осей статическиемоменты равны нулю.
Из формулы (1.5) находим координаты центра тяжести фигуры:
y |
S |
x |
; |
x |
Sy |
. |
(1.6) |
|
|
|
|||||
c |
A |
c |
A |
|
|
||
Осевые моменты инерции Ix, Iy (см. формулу (1.2)) представляют собой сумму произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний (координаты) до соответствующих осей. Эти величины всегда положительны.
Центробежный момент инерции (см. формулу (1.3)) равен сумме произведений элементарных площадок dA на их координаты относительно осей x и y.
В зависимости от знака координат Sx, Sy и Ixy могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.
Полярный момент инерции (см. формулу (1.4)) равен сумме произведений площадей элементарных площадок dA на квадрат расстояния от начала координат до элементарных площадок. Эта величина всегда положительна.
При вычислении геометрических характеристик сложного сечения его разбивают на простые фигуры, у которых известны площади, положение центра тяжести и величины моментов инерции относительно их собственных центральных осей. Геометрические характеристики всего сечения определяют как алгебраическую сумму соответствующих геометрических характеристик простых частей. При этом используются зависимости между моментами инерции при параллельном переносе и повороте осей. (Если в сечении имеется отверстие, то площадь отверстия в расчётах принимается со знаком «минус».)
Допустим, чтo известны осевые и центробежный моменты инерции некоторого сечения относительно центральных осей x, y (рис. 1.3). Тогда
6
осевые и центробежный моменты инерции относительно произвольных параллельных осей x1, y1 могут быть найдены по следующим формулам:
Ix Ix a2 A; |
I y I y b2 A; |
Ix y Ixy abA. |
(1.7) |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
В формулах (1.7) a и b трактуются как координаты точки C (центра тяжести сечения) относительно новых осей x1 и y1.
Зависимость между моментами инерции при повороте осей (рис. 1.4)
определяется следующими формулами: |
|
||||
Ix |
Ix cos2 I y sin2 |
Ixy sin 2 , |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
I y |
Ix sin2 |
I y cos2 |
Ixy sin 2 , |
(1.8) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Ix y Ix |
I y sin 2 Ixy cos2 . |
|
||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
y |
|
|
y1 y |
> 0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x1 |
|
С |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
x1 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
Рис. 1.3 |
|
Рис. 1.4 |
|
||
Правило знаков. В формулах (1.8) угол считается положительным, если новые оси x1, y1 повернуты относительно осей x и y против часовой стрелки.
Из формул (1.8) следует, что при повороте осей каждый из моментов инерции меняется, но сумма осевых моментов инерции относительно двух
взаимно перпендикулярных осей остается постоянной: |
|
||
Ix + Iy = Ix |
I y |
const . |
(1.9) |
1 |
1 |
|
|
Существует такой угол поворота осей 0, при котором центробежный момент инерции Ix1y1 обращается в нуль.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями. Центральные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями.
Осевые моменты инерции, вычисленные относительно главных осей, называются главными моментами инерции.
7
Главные оси обладают свойством экстремальности: относительно одной из них осевой момент инерции принимает максимальное, а относительно другой – минимальное значение по сравнению с величинами осевых моментов инерции, вычисленных относительно любых других осей, проходящих через данную точку.
Для определения положения главных осей используют формулу
tg 2 0 |
2Ixy |
. |
(1.10) |
|
|||
|
Ix Iy |
|
|
Если сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, то центробежный момент инерции относительно этой и любой ей перпендикулярной оси равен нулю. Следовательно, эти оси являются главными.
Основные геометрические характеристики для прокатных профилей приведены в таблицах сортаментов (см. прил. 1–4), а для простейших фигур – в прил. 5.
Примеры решения типовых задач
П р и м е р 1.1. Для заданного поперечного сечения (рис. 1.5) требуется определить значения главных центральных моментов инерции.
|
|
|
|
у,у1, |
|
|
|
|
|
|
|
20 см |
80 см |
у2,у3 |
20 см |
а = |
2 D |
2 80 |
16,98 см |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
40 см |
|
1 |
2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
23,02 см |
||
см |
25,63 |
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
а |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 см |
|
|
40 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
а |
x3 |
|
20 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
60 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.5
8
Решение
Рассматриваемое сечение представляет собой фигуру с одной осью симметрии. Совмещаем координатную ось у с осью симметрии. Ось у – главная центральная ось. Разбиваем сечение на три простые фигуры: прямоугольник – фигура 1, отверстие в виде полукруга – фигура 2, треугольник – фигура 3. (При вычислении геометрических характеристик площади отверстий принимаются со знаком «минус».) В качестве вспомогательных осей примем оси, проходящие через центр тяжести первой фигуры, то есть оси x1, y .
1. Определение положения центра тяжести сечения.
Поскольку ось y является осью симметрии сечения, то xc 0 ;
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
Sx |
|
|
Sx1i |
|
|
Sx1 |
Sx2 Sx3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 |
A 2 A 3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
A |
|
|
A i |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 |
y 1 |
A 2 |
y 2 |
A 3 y 3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
C |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 2 |
A |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
120 80 0 ( 802 ) 23,02 |
|
1 120 |
60 60 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
802 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
120 |
80 ( |
|
1 |
120 60 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
) |
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 57856 216000 |
|
273856 25,63 см, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9600 2513 3600 |
|
|
|
10687 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где A(1) |
– |
площадь прямоугольника (первой фигуры); |
||||||||||||||||||||||||
A(2) |
– |
площадь отверстия в виде полукруга (вторая фигура); |
||||||||||||||||||||||||
A(3) – площадь треугольника (третья фигура);
yC(1) – координата центра тяжести прямоугольника относительно вспомогательной оси х1;
yC(2) – координата центра тяжести полукруга относительно вспомогательной оси х1;
yC(3) – координата центра тяжести треугольника относительно вспомогательной оси х1.
Таким образом, центр тяжести всей фигуры расположен на расстоянии 25,63 ниже вспомогательной оси х1.
9
2. Вычисление осевых моментов инерции простых фигур относительно собственных главных центральных осей.
Первая фигура – прямоугольник:
Ix1 bh3 |
|
120 803 |
5120000 см4 |
0,0512 м4 , |
|
1 |
12 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I y1 bh3 |
|
80 1203 |
11520000 см4 |
0,1152 м4 . |
|
|
12 |
|
12 |
|
|
Вторая фигура – отверстие в виде полукруга (площадь отверстия в расчётах принимается со знаком «минус»):
|
|
|
|
|
y |
||
|
|
|
|
|
80 см |
||
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а=16,98 см |
|
|
|
|
x2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
D4 |
|
1 |
|
804 |
1005310 см |
4 |
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Ix |
|
|
|
64 |
2 |
64 2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ix2 |
Ix2 a2 A 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
a |
2 |
2 |
1005310 16,98 |
2 |
( |
|
802 |
) |
|||||||||||||||
Ix |
|
Ix |
|
|
|
A |
|
|
4 |
2 |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1005310 724628 280682 см4 |
0,002807 м4; |
|||||||||||||||||||||
I y2 |
D4 |
|
1 804 |
|
1 |
1005310 см4 0,01005 м4 . |
||||||||||||||||||||||
Третья фигура: |
64 |
|
|
2 |
|
|
|
|
64 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ix1 bh3 |
|
120 603 |
720000 см4 |
0,0072 м4 ; |
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
36 |
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
1 |
|
hb3 |
|
60 1203 |
2160000 см |
4 |
|
0,0216 м |
4 |
. |
|||||||||||||||||
у |
|
|
48 |
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычисление главных центральных моментов инерции относительно главных центральных осей х и у.
|
|
Ix Ix1 Ix2 Ix3 , |
|
I 1 I 1 a 2 A 1 0,0152 0,25632 |
0,96 0,1143 м4 , |
||
x |
x |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
10 |
|