Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

574

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

454.38 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Укажем интервалы выпуклости и вогнутости.

Знак f x

– + – + x

-1 0 1

выпукл. вогн. выпукл. вогн.

Точка 0 (0, 0) – точка перегиба графика функции. Интервалы выпуклости: ( ;1) и (0,1).

Интервалы вогнутости: (–1, 0) и (1, + ). 5) Наклонные асимптоты.

Найдем

k lim

f x

lim

x x2 1

b lim

f x kx

lim

x x2 1

x x2

Таким образом, у данной кривой существует одна наклонная асимптота y = x.

График функции приводится на рис.4.

Задача 11. Проверить, удовлетворяет ли уравнению

x2 2u 2xy 2u y2 2u 0x2 xdy y2

функция u xeyx .

Решение

Найдем все производные второго порядка от функции u xeyx :

y x

y x x y

;

xey x

ey x

;

y x

x y

y x

x y

y x y2

;

y x 1

ey x

y x

yey x

;

x y

Подставим найденные производные в уравнение

2		y x y2			yey x		2	ey x
x	e			2xy		y
			x2		x2			x

eyx x y2 2 y2 y2 0.

Получили тождество и, следовательно, функция удовлетворяет уравнению.

Задача 12. Найти формулу вида				y ax b методом наименьших квад-
ратов по данным таблицы:
	x	1	2	3	4	5
	y	5,9	6,9	5,4	3,4	3,9

Решение

Найдем коэффициенты a и b путем минимизации суммы

S a,b yi axi b 2 .

i 1

По данным таблицы составим систему двух линейных уравнений:


yi xi a xi		2	b xi 0
i 1	i 1		i 1


yi a xi bn 0,
i 1	i 1

решив которую найдем параметры a и b. Предварительно вычислим суммы:

xi yi 5,9 13,8 16,2 13,6 19,5 69;

i 1

xi2 1 4 9 16 25 55;

i 1

xi 1 2 3 4 5 15;

i 1

			5
			yi 5,9 6,9 5,4 3,4 3,9 25,5.
			i 1
Составим систему уравнений:
5	5	a		1	5	b		6	9
3	a		b			5	,	1
3	a		b			5	,	1
					55a 76,5 45a 69,
				10a 7,5 a 0,75,
					b 5,1 2, 25 7,35.
Искомая формула имеет вид:
						y 0,75x 7,35.
График искомой зависимости приводится на рис. 7.
	y
		9
		8
		7
		6
		5
		4
		3
		2
		1							x
		0	1	2		3	4	5	9,8
		-1	1	2		3	4	5	9,8
		-1
							Рис. 5
	Примерный вариант решения контрольной работы № 2

2 семестр

Задача 1. Найти неопределенные интегралы:

а)		cos x			dx .
	9	sin	2
				x

Сделаем подстановку sin x t , тогда

cos xdx dt ,

следовательно,

d sin x cos xdx . Согласно формуле

arcsin U

C , находим:

cos x

d sin x

arcsin sin x C .

32 sin x

sin

б) cos 72x cos 45x dx .

Применяя			формулу				cos cos					1	cos cos , будем
иметь:												2
иметь:
					1			7x		4x				7x				4x
						cos		2		5	cos				2			5	dx
					2			2		5					2			5
	1	cos	43x		cos		28 x dx				1	cos			43x dx					1		cos	28x dx
	2		10				10				2				10					2			10
1		10 sin		43x		1	10	sin	28x		C			5		sin	43x				5	sin	28x	C .
1		10 sin				1	28	sin			C		43			sin						sin	10	C .
	2	43	10		2		28			10			43					10		28			10

в) x 1 sin 2xdx .

Примем U x 1, dV sin 2xdx , тогда dU dx ,V 12 cos 2x .

Используя формулу интегрирования по частям UdV UV VdU , получим:

x 1 sin 2xdx =					U x 1		dU dx


							1
					dV sin 2xdx		V 2 cos 2x
							V 2 cos 2x
	x 1	cos 2x	1	cos 2xdx 1 x cos 2x 1 sin 2x C .
		cos 2x	2	cos 2xdx 1 x cos 2x 1 sin 2x C .
2			2	2		4
г) 1 2x e3xdx .								1 e3x .
Примем U 1 2x , dV e3xdx , тогда dU 2dx ,V								1 e3x .
								3

Используя формулу интегрирования по частям UdV UV VdU , получим:

1 2x e3xdx

U 1

dU 2dx

dV e

= 1 2x e3x

1 2x e3x

e3xdx

2 e3x C .

д)

2x 1 dx

2x 3

Выделим в числителе производную подкоренного выражения и разложим полученный интеграл на разность двух интегралов. Применяя форму-

лы dU

U C

U 2

C , получим:

2x 1 dx

2 3

2x 2 dx

2x 3

x 1

2 2x 3 3ln

x 1

x2 2x 3

C .

е)

4 x2

2dt

Применяя подстановку x 2tgt , dx

cos2 t

sin2 t

tgt

sin t

cost

1 sin2 t

sin

t 1

1 4

sin

sin t

получим:

4 x2

2dt

cos

4tg

sin

1 tg

cos2dt

d sin

sin t 1

cos2 t sin2 t

sin2 t

sin

cos2 t

=	1	C	1	C .
	4sin t		x2
		4
			4 x2

ж) 16xdx .

2x2 x x 1

Разложим знаменатель на произведение линейных множителей и представим рациональную дробь в виде суммы простейших дробей:

16x	16	A	B
				.
x 2x 1 x 1	2x 1 x 1	2x 1	x 1

Должны иметь 16 Ax A 2Bx B или 16 A 2B x A B .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений:

A 2B 0

A 2B

B 16

16.

2B B

Решив систему, найдем A 32

B 16 .

Интеграл представляется разностью двух интегралов:

16xdx

2 ln

2x 1

x 1

2x2 x x 1

2x 1

x 1

2x 1

x 1

2x 1

C .

x 1

Задача 2. Вычислить определенные интегралы:

а)

x 3 sin axdx .

U x 3

du dx

2a x 3 sin axdx

cos ax

dV sin axdx

x 3

2a cos axdx

x 3

cos ax

sin ax

												3																0 3										1										1
				2a								3																0 3										1										1
				2a									cos					a															cos 0								sin			a						sin 0
							a						cos					a			2a								a				cos 0						a	2	sin			a				a		sin 0
							a														2a								a										a						2a			a
																											3					1					3a 1			.
																															a2									.
																											a				a2						a2
		5	xdx
	б)		xdx						.
	б)								.
		0	1 3x
	Примем					1 3x t . Найдем пределы интегрирования для t:
	если x=0, то t=1;
	если x=5, то t=4.																											t2
	Выразим x: 1 3x t2 ,																						x					t2		1					и найдем дифференциал обеих частей
	Выразим x: 1 3x t2 ,																						x												и найдем дифференциал обеих частей
												2tdt														3
выражения dx												2tdt					. Подставив x,																	dx и найденные пределы интегрирова-
												3
ния в интеграл, получим:																																							dx 2tdt
																													1 3x t,										dx 2tdt
														5					xdx																									3
															0				xdx								x 0, t 1
															0				1 3x								x 0, t 1
																												x 5, t 4
												4				(t2 1) 2t														2			4		t2 1 dt							2		4
												4				(t2 1) 2t														2			4									2		4
																			3 t				3 dt							9												9		t2 1 dt
												1																					1											1
				2		t3						t						4		2 64					4							1						2 63								2	18		2	4 .
				2		t3												4		2 64												1						2 63								2			2
				9				3															3									3				1							3			9
				9				3									1			9			3									3						9 3								9
	Задача 3. Вычислить несобственный интеграл или установить его рас-
											dx
ходимость														.
ходимость										2				.
				x								1
	Рассмотрим предел:
					0						dx														dx																			0
					0						dx														dx																			0
			lim														lim																			lim arctgx								lim arctgx
			lim					x			2	1					lim							x	2			1								lim arctgx								lim arctgx
								x				1										0		x				1																							0
= arctg arctg																																				.						Несобственный										интеграл
= arctg arctg																																	2			.						Несобственный										интеграл
																										2							2
		dx
		dx	сходится.
		2	сходится.
x		1

	Задача 4. Изменить порядок интегрирования	в интеграле
1	2 y
dy f x, y dx.
0	y
	Решение:
	Область интегрирования D (рис.6) ограничена линиями:	у = 0, x y
,	x 2 y .

B(1;1)

х+y=2 y=х2

0	С(1;0)	А(2;0)	x

Рис.6

Если же сначала интегрировать по y, затем по х, то область D сначала надо разбить на две области ОВС и СВА. Получим:

	1	2 y	1	x2	2	2 x
	dy f x, y dx dx f x, y dy dx f x, y dy.
	0	y	0	0	1	0
Задача 5.
а)	Вычислить		площадь	фигуры,		ограниченной	линиями
y x 1 2 ,		y 5 x и осью OX (рис.7).

Решение:

По уравнениям границы области D построим данную фигуру. Линии, ограничивающие ее, пересекаются в точке M (1; 4). Должны иметь

y x 1 2 и y 5 x .

Откуда x 1 2 5 x;

x2 3x 4 0, M1 4;9 D, x1 4, x2 1;

y1 9, y2 4, M2 1;4 D.

y x 1 2

y 5 x

-1

Рис.7

Для области D справедливы неравенства

0 y 4, y 1 x 5 y.

Искомая площадь

				d	2 y			4	5 y			4		5 y	y 1 dy
S dxdy dy							dx dy				dx			5 y	y 1 dy
		D		c	1 y			0		y 1		0
	4							y2		2			4			2 8 32
	4
											3 2
		6	y			6 y					y			24 8				.
		6	y	y dy		6 y		2		3	y			24 8		3	3	.
	0							2		3		0				3	3

б). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 2 a2 sin 2 (рис.8).

Решение:

Построив кривую и замечая, что она симметрична относительно полюса и что при изменении от 0 до 2 текущая точка ( , ) отсечет половину кривой, расположенную выше полярной оси, будем иметь:

2 a2 sin 2

Рис.8

Задача 6. x y z 4,

		a	sin 2
		a	sin 2	d a2 2 sin 2 d
S d d 22 d				d a2 2 sin 2 d
D	0		0		0
	a2
	a2	cos 2 2			a2.
	2			0
	2

Найти объем тела, ограниченного данными поверхностями

x 3,	y 2,	x o,	y 0,	z 0 (рис. 9, 10)
y

x 3

x y 4

y 2

Рис.9

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.2024167.04 Кб057.pdf
#
16.06.2024445.36 Кб0570.pdf
#
16.06.2024451.07 Кб0571.pdf
#
16.06.2024452.06 Кб0572.pdf
#
16.06.2024453.75 Кб0573.pdf
#
16.06.2024454.38 Кб0574.pdf
#
16.06.2024454.79 Кб0575.pdf
#
16.06.2024456.09 Кб0576.pdf
#
16.06.2024456.71 Кб0577.pdf
#
16.06.2024457.95 Кб0578.pdf
#
16.06.2024458.24 Кб1579.pdf