Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

449

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

347.75 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Примерный вариант контрольной работы №3 с решением

	1
1. Найти сумму ряда		.

n 1 n n 1

Для нахождения суммы ряда надо найти предел при n n-й частичной суммы:

Sn 112 213 314 n n1 1 .

Для того чтобы придать Sn более удобный вид для перехода к пределу, воспользуемся тождеством, предварительно найдя коэффициенты А и В.

					1						A				B					,
			k k 1								k			k 1						,
1 A k 1 Bk A B k A 1
	A B 0							B A 1.
		1						B A 1.
	A	1
					1					1					1
									k									.
			k k 1						k				k 1					.
Полагая здесь k=1, 2, 3,…, n, получим:
								1	1 1					,
						1 2			1 1					,
						1 2						2
							1			1		1			,
						2 3				2		3			,
						2 3				2		3
							1			1		1			,
						3 4				1		4			,
						3 4				3		4

					1					1						1
									n										.
				n n 1					n				n 1						.
Следовательно, Sn		1					1		1					1			1					1	1
	1																							.
	1						2		3					3			4						n 1	.
		2					2		3					3			4				n		n 1

Очевидно, что в этой сумме все слагаемые попарно уничтожаются, кроме первого и последнего, поэтому

Sn 1

откуда lim Sn lim 1

n 1

т.е. ряд сходится, и его сумма равна 1.

2.Исследовать сходимость числовых рядов:

n 4

а)

1 !

n 1

Это числовой ряд с положительными членами.

Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем:

lim un 1

lim

n 1 4n 1 2n 1 !

2n 1 ! n 4n

lim n 1 lim

4 1 2 3 ... 2n 1

n 1 2 3 ... 2n 1 2n 2n 1

Так как 1, ряд сходится;

б)

3n n!

Используем признак Даламбера

lim un 1 l .

Если l<1 – ряд сходится, l>1 – ряд расходится, l=1 – ?

3n n!

;

un 1

3n 1 n 1 !

;

n 1 n 1

lim un 1

lim

3n 1 n 1 !nn

n 1 n 1 3n n!

n un

lim

3 n 1 nn

lim

3nn

lim

n 1 n

1 n

n 1 n 1

а потому ряд расходится.

	2n	3
в) 1 n 1			.
	2
n 1	5n	4

Это знакочередующийся ряд.

Условия теоремы Лейбница выполняются:

					3
lim u	n	lim	2n 3	lim	2 n
lim u		lim		lim	4
n		n 5n2 4		n	4
					5n n

3e 1,

un 1

2n 3

2 n 1 3

5n2 4

5 n 1 2 4

2n 3

10n 1 2n 5 5n

10n

40n 23

10n

5n 10n 1

Un Un 1 n N.

Так что ряд сходящийся.

Рассмотрим ряд un из абсолютных величин членов данного ряда и

n 1

сравним его с расходящимся гармоническим рядом

. Имеем

vn = 1

n 1

n 1 n

lim un

0 ,

так

Следовательно, ряд

что ряд un расходится.

n v

n 1

2n 3

сходится условно.

n 1

г) 1 n 1 . n 1 2n 1

Воспользуемся признаком Лейбница.

Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению

1		1		1	1
1		1		1	1
		3		5	7
и	lim		1		0 .
и	lim				0 .
	n 2n 1
Поэтому, согласно признаку Лейбница,						данный ряд сходится. Ус-

тановим, сходится ли этот ряд абсолютно или неабсолютно (условно). Для

этого исследуем положительный ряд							1		, составленный из абсолют-
этого исследуем положительный ряд							2n 1		, составленный из абсолют-
ных значений членов данного ряда.							2n 1
ных значений членов данного ряда.
Применяя интегральный признак

	1	dx 1	lim		d 2x 1			1		lim ln 2x 1	1
	1				d 2x 1			1

	2x 1	2				2x 1		2
1	2x 1	2		1		2x 1		2

1 lim ln 2 1 ,

заключаем, что ряд с положительными членами расходится. Следовательно, данный ряд сходится неабсолютно.

3. Найти интервал сходимости степенных рядов

	x 9			n
а)					.
	n	2	6	n
n 1

Воспользуемся признаком Даламбера для ряда из абсолютных величин.

Имеем:

lim

n 1

lim

x 9 n 1 n2 6n

x 9

n 1 2 6n 1 x 9

x 9

6 ,

Рядсходится, если

1, т.е.

6 x 9 6, 15 x 3 .

В указанном промежутке данный ряд абсолютно сходится. Проверим граничные точки.

	15 9				n		6			n			1		n
1) x = –15:		n		2										2 .
	6		n					2	6		n		n
n 1						n 1 n						n 1

Составив ряд из абсолютных величин членов знакочередующегося ря-

да, получим ряд 12 , который сходится, как обобщенный гармонический

n 1 n

ряд вида 1p при p = 2.

n 1 n

							1
Следовательно, ряд 1 n							1	абсолютно сходится.
Следовательно, ряд 1 n							2	абсолютно сходится.
		n		n 1			n
	6	n			1
2) x = –3:	6				1	.
2) x = –3:	2		n		2	.
n 1 n	6			n 1 n

Полученный ряд сходится.

Итак, областью сходимости ряда является [–15, –3].

б) x 8 3n .

n 1 n2

Используем признак Даламбера:

un	x 8 3n	, un 1	x 8 3n 3
	n2		n 1 2 ;

lim un 1 1.

n un

lim

x 8 3n 3 n2

x 8

lim

x 8

n 1 2

x 8 3n

n n 1 2

x 8 1 1 x 8 1 9 x 7 .

Границы найденного интервала исследуем особо.

При х=–7 получим ряд с положительными членами n12 .

Исследуем его по интегральному признаку:

dx			lim		2		1

		2		x		lim
1	x			1			x	1

lim		1	1,
lim	1		1,

т.е. ряд сходится.

При х=–9 получим знакочередующийся ряд с общим членом

an 1 3n 1 n ,

n2 n2

который сходится согласно признаку Лейбница. Следовательно, интервалом сходимости данного ряда является отрезок 9 x 7 .

0,25
4. Вычислить определенный интеграл	4 1 2x2 dx с точностью до

0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и почленно его проинтегрировав. Подынтегральная функция может быть представлена в виде биномиального ряда

1 x m 1 mx m m 1 x2 m m 1 m 2 x3 ...

2! 3!

При замене в нем x на 2x2 и m 14 :

																1		3		2		2
	4			2					2	1			1	2		4		4		2					4
	4			2	1 2x				2	4			1	2		4		4							4
		1 2x										1	2 x										x
		1 2x										1	2 x				2!						x
1			3			7
4			4			4		3			6			1		2	3		4			7				6
4			4			4	2	3	x		6	... 1		1	x	2	3	x	4			7		x		6	... .
			3!				2		x			... 1		2	x		8	x			16			x			... .
			3!											2			8				16

Проинтегрируем этот ряд.

		1
		4			1		2	3			4		7			6
			1			x				x					x		... dx
			1		2	x		8		x			16		x		... dx
					2			8					16
		0
								1
	x3	3x5		7x7					4			1				1			3			1
x						...																		...
x	6	40		112		...						4		6 43				40		45	16		47	...
	6	40		112					0			4		6 43				40		45	16		47
									0

14 3841 409603

Всоответствии с теоремой Лейбница ошибка вычисления определен-

ного интеграла будет меньше 0,001 при отбрасывании членов полученного ряда, начиная с третьего.

Окончательно имеем:

0,25		1	1
	4 1 2x2 dx			0,2526 0,253.
		4	384
0

5. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию:

y xy2 1, y 1 0.

Искомое решение запишем в виде ряда Тейлора при x0 1:

y y x0

y x0 x x0

y x0

x x0 2

...

y n x

x x

...

Из начального условия y x0 0.

Найдем значения производных при x0 1:

1 0;

x 2 y y , y

2 y y

2 yy

2xy

2xyy

4 y y

2xy

2xyy ,

y 1 2.

4 y

4 yy

2 y

2 yy

2xyy

2x 2 y

2xy y

yIV 1 6.

Таким образом,

y x 1 3!2 x 1 3 4!6 x 1 4

или									y x 1 1							x 1 3 1 x 1 4 .
									y x 1 1							x 1 3 1 x 1 4 .
														3									4
6. Разложить данную функцию																f x x2 2											в интервале (– ; ) в ряд
Фурье.							f x x2 2 четная,
Так как функция							f x x2 2 четная,																то ряд Фурье и коэффициенты
Фурье имеют вид:

										f x a0 an cos nx,
												2					n 1
					2													2
			a0		2		f x dx; an											2	f x cos nx dx
			a0				f x dx; an												f x cos nx dx
							0												0
	2										2			3										2		3



a0		x2					2 dx						x		2x												2			2 2	4.
a0		x2					2 dx								2x										3		2			2 2	4.
		0									3										0				3					3
		0									3										0
		2																u x2						2				du 2xdx


an				x2				2		cos nxdx																			1
an				x2				2		cos nxdx																		v	1	sin nx
				0														dv cos nxdx										v	n	sin nx
						2 x2 2														2
						2 x2 2														2
												sin nx										x sin nxdx
												sin nx										x sin nxdx
										n							0			n		0
																	0					0

du dx

4 x sin nxdx u x 1 n 0 dv sin nxdx v n cos nx

cos nx

cos nxdx

cos n

1 sin nx

4cos n .

Так как cos n 1 n , получим: a

1 n

Окончательно:

1 n

cos nx.

n 1

ТВОРЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ. ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ, ДОКЛАДОВ

1.Сущность линейной зависимости векторов

2.Билинейные и квадратичные формы. Матрицы квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Формулировка закона инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

3.Сопряженные операторы в евклидовом пространстве и их свойства. Построение ортонормированного базиса. Ортогональные операторы, их свойства. Ортогональные матрицы.

4.Полярная система координат.

5.Гиперболические функции, свойства и графики.

6.Вычисление производных гиперболических функций.

7.Интерполирование функций

8.Пределы и производные: сущность, значение, вычисление

9.Интегралы Коши, Римана, Лебега.

10.Линейная аппроксимация

11.Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

12.Несобственные кратные интегралы.

13.Поверхностные интегралы

14.Элементы теории поля

15.Производная сложной функции нескольких переменных

16.Особые решения дифференциальных уравнений.

17.Дифференциальные уравнения в механике

18.Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

19.Приложения рядов к приближенным вычислениям

20.Ряд и интеграл Фурье.

21.Временные ряды. Методы наименьших квадратов и скользящей средней.

22.Численные методы решения задач математической физики: конеч- но-разностные схемы решения краевой задачи для уравнения Пуассона, конечно-разностные явные и неявные схемы решения задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности.

23.Решение краевых задач для уравнения Пуассона и смешанных задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности в цилиндрических областях.

24.Многомерные случайные величины

25.Функция распределения системы двух случайных величин. Совместная плотность распределения.

26.Исследование закона распределения случайной величины по эксплуатационным данным.

27.Исследование зависимостей методами регрессионного анализа

28.Исследование взаимосвязей методами корреляционного анализа.

ТРЕБОВАНИЯ К КАЧЕСТВУ ВЫПОЛНЕНИЯ РЕФЕРАТОВ ИЛИ ДОКЛАДОВ

Реферат или доклад выполняются по единой структуре: введение, основную часть, заключение, список литературы. Во введении излагается научный аппарат, которым руководствуется исследователь, выполняя поисковую работу. Введение должно содержать оценку современного состояния отражаемого в реферате вопроса; цели, задачи выполнения реферата и обоснование выбираемых источников для изучения, краткую историю вопроса или раскрывать значимость темы реферата. Основная часть исследования – содержательная часть реферата или доклада. Чаще всего реферат не имеет глав, а только параграфы; может и не иметь вообще никакого деления на части. Определяющим является содержание, раскрывающее достижение поставленной цели. В реферате приводятся основные теоретические, экспериментальные описательные результаты; предпочтение отдаются новым результатам, важным для решения практических вопросов. Допускается излагать содержание источника с большей или меньшей детализацией. Следует ограничиваться основной темой и результатами, изложенными в реферируемом источнике. Изложение материала должно быть кратким и точным. Следует употреблять синтаксические конструкции, свойственные языку научных документов; избегать сложных грамматических оборотов; применять стандартизованную терминологию. Заключение должно содержать: краткие выводы по теме реферата; оценку полноты решения поставленных задач; оценку достижения цели реферата; рекомендации по конкретному использованию результатов выполнения реферата. Библиографический список должен содержать сведения об источниках, использованных при составлении реферата. Количество использованных источников должно быть не менее трех.

ФОРМЫ КОНТРОЛЯ И ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Эффективность самостоятельной работы студентов в значительной мере зависит от организации ее контроля со стороны преподавателя.

Цель контроля – помочь студенту методически правильно, с минимальными затратами времени осваивать теоретический материал и приобретать навыки решения определенного класса задач по учебным дисциплинам.

Виды контроля самостоятельной работы студентов: текущий (оперативный); рубежный; итоговый; самоконтроль.

В качестве форм отчета о самостоятельной работе могут быть представлены:

–оценка устного ответа на вопрос, сообщения, доклада на практическом занятии;

–реферат, выполненный по теме, изучаемой самостоятельно;

–представленные тексты контрольных работ и их защита;

–тестирование, Интернет-экзамен, выполнение письменной контрольной работы по изучаемой теме или дисциплине в целом;

–балльно-рейтинговая система в оценке знаний студентов;

–курсовые экзамены и зачеты;

–статьи, тезисы выступления и др. в научном, научно-популярном, учебном издании по итогам самостоятельной работы и научно-исследо- вательской работы.

Важнейшую роль в руководстве самостоятельной работой студентов играют индивидуальные собеседования преподавателя и студента. Регулярные консультации обеспечивают устойчивую обратную связь с обучаемыми и позволяют, при необходимости, быстро проводить коррекцию в организации учебного процесса по отношению к отдельному студенту или

кконкретной группе.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.2024347.19 Кб0444.pdf
#
16.06.2024347.27 Кб0445.pdf
#
16.06.2024347.35 Кб0446.pdf
#
16.06.2024347.47 Кб0447.pdf
#
16.06.2024347.62 Кб0448.pdf
#
16.06.2024347.75 Кб0449.pdf
#
16.06.2024153.77 Кб045.pdf
#
16.06.2024348.14 Кб0450.pdf
#
16.06.2024350.13 Кб0451.pdf
#
16.06.2024350.59 Кб0452.pdf
#
16.06.2024351.3 Кб1453.pdf