449

Здесь

yx

yt

yt

1

2sin t

xt 2sin t cost,

,

2cost( sin t) cos3 t

,

xt

cos4 t

yx

2sin t

1

; yx

( yx )t

,

cos3 t2sin t cost

cos4 t

xt

1

3

4sin t

4sin t

2

( yx )t

(4cos

t( sin t))

,

yxx

.

cos8 t

cos5 t

cos5 t2sin t cost

cos6 t

3. Найти дифференциал функции y x2arctg

x2 1

x2 1

Имеем:

dy y dx ,

2

x2

1

1

2

y

2xarctg

x 1 1 x2 1

2

x2 1

2x

2

x2 1

2x 2xarctg x

1,

а) y x

x3 в точке x 1.

0

Уравнения касательной и нормали имеют соответственно вид:

y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) ;

y f (x0 )

1

(x x0 ).

f (x0 )

Справедливо:

3

3

5

f (x0 ) 1 1 2, f (x) 1

x, f

(x0 ) 1

1

,

откуда уравнение касательной:

2

2

2

y 2

5 (x 1),

y 2

5 x

5 , y

5 x

1

;

уравнение нормали:

2

2

2

2

2

y 2 2

(x 1),

y 2 2 x 2

, y 2 x

12 .

5

5

5

5

5

y

4x(x2

2x 5) (2x2 6)(2x 2)

(x2 2x 5)2

4x3 8x2

20x 4x3 12x 4x2 12

4x2 8x 12

4(x2 2x 3)

.

(x2

2x 5)2

(x2

2x 5)2

(x2 2x

5)2

Приравняем ее к нулю. Получим:

x2 2x 3 0, x

2 4 12 2 4 ; x

3; x 1.

1,2

2

2

1

2

Найдем значения функции в граничных точках заданного интервала и в

точках, где первая производная равна нулю:

y ( 3) 2(9 3)

24 6 ; y(3) 2(9 3)

24

3; y( 1)

2(1 3)

8 1.

1 2 5

9 6 5

24 5

9 6 5 8

8

Выберем

среди

этих значений наибольшее и наименьшее.

Откуда:

y(3) 3 – наибольшее значение,

y( 1) 1 – наименьшее значение.

1.

cos x

dx .

9

sin2 x

sin x t ,

тогда

cos xdx dt ,

следовательно,

Сделаем

подстановку

d sin x cos xdx . Согласно формуле

dU

arcsin U

C , находим:

a

2

2

U

a

cos x

dx

d sin x

arcsin sin x C .

2

x

32 sin x

2

9 sin

3

2. cos

7x

cos

4x

dx .

5

1

2

Применяя

формулу

cos cos

cos cos ,

будем

иметь:

2

7x

4x

7x

4x

1

2

cos

2

5

cos

2

5

dx

1

43x

cos

28

1

cos

43x

dx

1

cos

28x

dx

2

cos

10

10

x dx

2

10

2

10

Примем U x 1, dV sin 2xdx , тогда dU dx ,V

1 cos 2x .

2

Используя формулу интегрирования по частям UdV UV VdU , по-

лучим:

dU dx

x 1 sin 2xdx =

U x 1

1

dV sin 2xdx

V 2 cos 2x

лучим:

dU 2dx

1 2x e3xdx

U 1

2x

=

1

dV e

3x

dx

V

e

3x

3

= 1 2x e3x

1 2x e3x

2

e3xdx

2 e3x

C .

3

3

3

9

5.

2x 1 dx

.

2

x

2x 3

лы dU

2

U C и

dU

U 2 a2

C , получим:

ln

U

2

2

U

U

a

2x 1 dx

2x

2 3

dx

2x 2 dx

3

dx

2

2

2

2

x 2x 3

x

2x 3

x

2x 3

x 1

2

2

2 2x 3 3ln

x 1

x2

2x 3

C .

6.

dx

.

x2

4 x2

2dt

Применяя подстановку x

2tgt , dx

,

cos2 t

sin2 t

x2

tgt

x

sin t

x

sin t

x

2

cost

2

1 sin2 t

2

1 sin2 t

4

x

2

x

2

x

2

x

2

x2

4

sin2 t

sin2 t

sin2 t 1

sin2 t

4

4

4

4

1

x2

4

sin

2

t

x2

sin t

x2

,

получим:

4

x

2

4 x2

dx

2dt

1

dt

x

2

4

x

2

cos

2

t

4tg

2

t 4

4tg

2

t

4

sin

2

t

2

1 tg

t

1

dt

1

cos2dt

1

d sin

t

1

sin t 1

C

4

cos2 t sin2 t

4

2

sin2 t

sin

t

4

sin

t

4

cos2 t

=

1

C

1

C .

4sin t

x2

4

4 x2

16x

16

A

B

.

x 2x 1 x 1

2x 1 x 1

2x 1

x 1

A 2B 0

A 2B

16.

A B 16

2B B

Решив систему, найдем A 32 и

B 16 .

3

3

Интеграл представляется разностью двух интегралов:

16xdx

32

16

3

3

dx

dx

2x2 x x 1

2x 1

x 1

32

1 ln

2x 1

16 ln

x 1

C