1891

Точка максимума x 0,3 .

Ответ: 0,3

Пример 11. Найдите точки минимума функции

f(x) 3x4 2x3 18 16 8x2 x4 .

x2 4

Решение.

1)Область определения функции – все действительные числа х, кроме

х2 .

Если х 2 , то

71

Пример 12. Тело состоит из цилиндра и полушара, центр которого совпадает с центром основания цилиндра, а радиус равен радиусу основания цилиндра. Найти наименьшую возможную площадь полной

Ответ: 33 5 см2.

72

Пример 13. Требуется разметить на земле участок площадью 650 м2, который состоит из трех прямоугольных частей и имеет форму многоугольника АВСDЕFGN, изображенного

на рисунке, где CD=DE=10 м, BC=5 м и

AB 10 м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин КF, КN и AB, при которых периметр является наименьшим.

Решение.

1) Площадь участка АВСDЕFGN S=650, а его периметр равен периметру Р прямоугольника KFGN. Обозначим KF=х, KN=y и АВ = z. Тогда Р=2(х+y), z 10 и

xy S+DE CD+(DE+DC) z 650+10 10 15 10 =900.

f (x) 0 при x 30 , f (x) 0 при 0 x 30 , f (x) 0 при x 30 ; по-

этому наименьшее значение функции принимается в точке x0 30 и равно

fнаим f (30) 60 .

Следовательно, выполнена оценка Р 2 fнаим 120 .

3) Если участок АВСDЕFGN таков, что x 30 и z 10, то xy 900, y 30 и для такого участка выполнено равенство Р = 120. Таким образом,

Рнаим = 120.

Ответ: 120, 30, 30, 10.

Пример 14. Требуется разметить на земле участок площадью 1900 м2, который состоит из трех прямоугольных частей и имеет форму многоугольника АСDЕFGНМ, изображенного на рисунке, где НМ=10 м, FG=25 м и EF=2GH 20 м.

Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин КА, КD и EF, при которых периметр является наименьшим.

73

Решение.

1. Площадь участка равна S=1900, а его периметр Р превышает периметр прямоугольника на величину 2GH. Обозначим КD = х, КА= y и

GH = z. Тогда Р = 2( х + y ) + 2z, z 10 и

xy S + НМ 2z z FG 2z 1900 10 10 25 20 2500 .

поэтому наименьшее значение функции принимается в точке x0 50 и

равно fнаим f (50) 100.

Следовательно, выполнена оценка Р 2 fнаим 20 220 .

3. Если участок таков, что x 50 и z 10, то xy 2500 , y 50 и для такого участка выполнено равенство Р = 220. Таким образом, Рнаим = 220.

4sin x 9 p(1 ctg2 x) имеет хотя бы один корень.

Так как 1 sin x 1, то 0 sin2 x 1 и 9 4 4sin x 9 4 9 , т.е.

5 4sin x 9 13. Значит, 0 (4sin x 9)sin2 x 13. Следовательно, 0 y 13.

3) Покажем, что функция y принимает все значения от 0 до 13. При sin x 0 функция y принимает значение 0, при sin x 1 – значение 13.

74

Поэтому 0 – её наименьшее, а 13 – её наибольшее значения. Так как синус

– непрерывная функция, то и функция y непрерывна и, значит, принимает все значения от 0 до 13. Поэтому E( y) [0;13] .

4) Так как по условию sin x 0, то значение p – любое число из промежутка (0;13].

Ответ: (0;13].

Пример 16. Найдите все значения p , при которых уравнение cos2x sinp x 9 имеет решения.

Решение.

2sin2 x 10 sin2 px ; sin2 x 5 sinp x .

Последнее уравнение равносильно системе (sin2 x 5)sin x p,

sin x 0.

прерывная функция, то и функция у непрерывна. Поэтому она принимает все значения от наименьшего до наибольшего, т.е. Е( y) [ 4;4].

4) Так как по условию sin x 0, то p [ 4;0) (0;4] . Ответ: [ 4;0) (0;4].

Пример 17. Найдите все значения p , при которых уравнение

2cos2x sinp x 11 не имеет корней.

75

Решение.

2(1 2sin2 x) sinp x 11; 4sin2 x 13 sinp x .

Последнее уравнение равносильно системе (4sin2 x 13)sin x p,

sin x 0.

2) Найдем значения p , при которых эта система имеет решения.

и функция у убывает на отрезке [ 1;1]. Следовательно, y ( 1) 9 – наибольшее, а y (1) 9 – наименьшее значения функции у. Так синус – непре-

рывная функция, то и функция у непрерывна. Поэтому она принимает все значения от наименьшего до наибольшего, т.е. Е( y) [ 9;9].

4) По условию sin x 0.

Значит, система (4sin2 x 13)sin x p, имеет решения при

sin x 0. p [ 9;0) (0;9].

Следовательно, система не имеет решений при p ( ; 9) 0 (9; ) .

Ответ: ( ; 9) 0 (9; ) .

Пример 18. Найдите все значения p , при которых уравнение

23x 1 8 3 2x 1 3 2x p или не имеет корней, или имеет единствен-

ный корень.

Решение.

1) Обозначим 2x t, t 0 . Относительно t данное уравнение имеет вид

2t3 8 6t 3 t p ; 2t3 6t2 18t 8 p .

76

точке x0 1.

77

11.Найдите значение производной функции f (x) x ex в точке x0 1.

12.Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику

функции f (x) 2x2 5x 17 в точке с абсциссой x0 34 .

13. В какой точке касательная к кривой y ln(x 1) параллельна прямой y x ?

14. На рисунке изображен график функции y f (x) и касательная к нему в точке с

абсциссой x0 . Найдите значение производной функции f (x) в точке x0 .

15. На рисунке изображен график функции y f (x) и касательная к нему в точке с

абсциссой x0 . Найдите значение производной функции f (x) в точке x0 .

78

16. На рисунке изображен график функции y f (x) и касательная к нему в точке с

абсциссой x0 . Найдите значение производной функции f (x) в точке x0 .

17. На рисунке изображен график функции y f (x) и касательная к нему в точке с

абсциссой x0 . Найдите значение производной функции f (x) в точке x0 .

Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y f (x) парал-

лельна оси абсцисс или совпадает с ней.

19. На рисунке изображен график y f (x) - производной функции f (x) . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y f (x) параллельна прямой y 3x или совпадает с ней.

79

20. На рисунке изображен график функции y f (x) , определенной на интер-

вале ( 6;5) . Найдите количество точек, в

которых касательная к графику функции параллельна прямой y 8 .

21. На рисунке изображен график функции y f (x) – производной функции

f (x) , определенной на интервале ( 1;12) .

Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (x) па-

раллельна прямой y 2x 15 или совпадает

сней.

22.На рисунке изображен график функции y f (x) и отмечены точки

3, 1, 6, 8. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

23. На рисунке изображен график функции y f (x) и отмечены точки

3, 1, 6, 8. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

80