1891

Правило дифференцирования сложной функции

Пусть

y F u ,

где

u u x ,

т.е.

y F u x – сложная функция.

Если функция u x

дифференцируема

в точке х0 и функция F u диф-

ференцируема в точке

u0 u x0 ,

то

сложная функция y x F u x

дифференцируема в точке х0 и

y x0 F u0 u x0 .

Пример 2. Найти производные функций:

а)

y sin x cos x 3 ;

б)

y

x2 2x ;

в) y 3 x e3x ,

г) y x e2 x 5 3 ,

д)

y sin2 x ln tg

x

,

3

б) Полагая u x x2 2x , получаем y x

u x .

Так как

y x

u x u x

1

u x ,

u x

2

то

2x 2

x 1

x 2 x2 2x

x2 2x .

y

1

в) функцию удобно записать в виде y x3 e3x ,

применим формулу u v

u v v u

1 1 1

1

3x

3x

1

3x

3x

1

e

e

x3

3

x3

e

e

3x

x3

y x

3

2

1

e3x

e

3x

1 3x

1 x 3

e3x e3x 3x3

3e3x 3 x

;

3 x2

3

3

33 x2

г)

y

3 x

e

2 x

5

2

xe

2 x

3 x e

2 x

5

2

e

2 x

5

x

5

3 x e

2 x

5

2

e

2 x

x e

2 x

e

2 x

5

2

e

2 x

e

2 x

2x

x

3 x

3 x e2 x 5 2 e2 x 1 2x ;

д)

1

x

2

x

y sin

x

ln tg

2sin x sin x

tg

x

3

3

tg

3

1

1

x

1

1

1

2sin x cos x

2sin x cos x

x

2 x

3

x

2 x

3

tg

cos

tg

cos

3

3

3

3

1

sin 2x

.

3tg

x

cos2

x

3

3

Из приведенных примеров видно, что формулы производных функций

в чистом

виде

и т.д. встречаются

очень

редко,

чаще

sin x ,

xn

приходится

иметь

дело

со

сложными

функциями

вида

x3

5

и

т.д. К функциям

такого

вида следует

sin3 x , ln tgx ,

применять формулу f u x

fu ux

– производная сложной функции.

Например,

y sin3 x.

Сначала рассматриваем ее как степенную

функцию y xn ,

y n xn 1; затем – как y sin x,

y cos x.

3sin2 x cos x.

Итак, sin3 x

3sin2 x sin x

1

Например,

y ln tgx.

Сначала применим

формулу

y ln x,

y x ;

затем y tgx,

y

1

.

cos2 x

1

1

1

1

Итак, ln tgx

tgx

.

tgx

tgx

cos2 x

tgx cos2 x

Например, y

x3 5. Применим

y

x, y

1

,

2

x

y

1

x3

5

3x2

.

2 x3

5

2 x3 5

соответствующие ординаты графика функции равны f x0 x и

f x0 ,

разность значений этих ординат есть y x0 :

Отношение

y x0

равно угловому коэффициенту прямой, проходя-

x

щей через точки графика M x0 , f x0

и N x0 x, f x0 x . Прямая

МN называется секущей (рис. 6.4).

y

N

f x0 x

x

f x0

M

x

0

x0

x0+ x

x

Пусть х

0, тогда точка N стремится к точке М. Если существует

и подставим в уравнение

касательной

значения х0 = 1, f x0 6 ,

f x0 1. Получим уравнение касательной у + х = 7.

Пример 4. Напишите уравнение касательной и нормали к графику

функции y e2 x 1x 2 в точке с абсциссой x

0,5.

Решение. Пусть f x e2 x 1 x 2 .

0

Уравнение касательной y f x0 f x0 x x0 .

Найдем

f x f

0,5 e0

0,5 2 4 ,

0

f x 2e2 x 1 x 2 2x 3 e2 x 1 ,

0 f 0,5 2e0 0,5 2

2 0,5 3 1 8 16 24 .

Подставим найденные значения в уравнение касательной, имеем:

y 4 24 x 0,5 ;

24x y 16 0 .

Уравнение нормали y f x

1

x x .

f x0

0

0

1

1

y 4

x

2

; 2x 48 y 191 0 .

24

Ответ: 24x y 16 0 ,

2x 48 y 191 0 .

проходящих через точку M

5

;

6

2

.

Решение. Так как точка M

5

; 6

не лежит на параболе

y 4x x

2

, то

2

некоторой

точке N x0 ; y0

. Уравнение прямой, касающейся

в

точке

N x ;

y

параболы

y 4x x2 ,

записывается

в

виде

0

0

y f x0 f x0 x x0 ,

где

f x0 4x0 x02 ,

f x0 4 2x0 ,

то есть

уравнение касательной имеет вид

y 4x x2

4 2x

x x

.

0

0

0

0

Поскольку точка

5

;

6

лежит на этой

прямой,

то

она

удов-

M

2

летворяет уравнению, то есть справедливо равенство

6 4x x2

4

x

5

x

.

0

0

0

0

2

Этому

равенству

удовлетворяют

числа

x 1

1 и

x 2 4 .

Следо-

0

0

5

вательно, есть две касательные,

проходящие через точку

;

6

; они

M

2

касаются параболы в точках N1 1; 3

и N2 4;

0 . Подставляя вместо x0 в

уравнение касательной значение x 1 1, получим уравнение касательной к

0

параболе y 4x x2 , проходящей через точку N 1;

3 :

1

y 3 2

x 1

или

y 2x 1.

Подставляя

в уравнение

касательной

вместо

x

значение x 2 4 ,

0

0

получим уравнение второй касательной проходящей через точку N2 4; 0 :

y 4 x 4 или y 4x 16 .

Ответ: y 2x 1 и y 4x 16 .

Пример

6. Найти уравнение

общих касательных к параболам

f x

x2

4x 12 ;

1

1

f x1 2x1 4 ;

y x2

4x 12

2x 4 x x

.

(*)

1

1

Обозначим через

M 2 x2 ; x22

2x2

29

точку на

параболе

y x2 2x 29 , через которую проходит эта же касательная:

f x x2

2x 29 ,

2

2

2

f x2 2x2 2 ,

y x2

2x 29

2x 2 x x .

2

2

2

2

Так как касательная общая, то

f x1 f x2

2x1 4 2x2 2;

2x1 2x2 2;

x1 x2 1, x2 1 x1.

1 x 2

2 1 x 29 x2

4x 12

2x 4

1 2x

1

1

1

1

1

1

x2

x 20 0;

x 4,

M

1

4;44

;

x 5, M 5;17

;

1

1

1

1

1

1) M1 4;44

f 4 2 4 4 12 ;

y 44 12 x 4 ;

1) y 12x 4 ;

2) y 6x 13;

–64=–12 5-4;

–37=–24–13;

–64=–64;

–37=–37.

Ответ: y 12x 4 ;

y 6x 13.

v lim v

lim

S .

t 0 ср

t 0

t

S t0 v t0 ,

v t0 a t0 .

Решение. Областью

определения

функции

y x

x

является

ln x

x 0,1 1, . В любой точке области определения эта функция имеет

производную

ln x 1

x

x

ln x x ln x

y x

ln

2

x

ln

2

x

ln x

–

–

+

x

0

1

е

В каждом из полученных

промежутков

функция y x в силу

так как y 0

и возрастает на (е, ), так как y 0, тогда имеем в точке

x e минимум.

Ответ. Функция убывает на (0,1) (1,

е), возрастает на (е, ) и

ymin e

e

e .

ln e

Пример 8. Исследовать на экстремум функцию y x

2x2 x 2.

Решение. Поскольку дискриминант квадратного трехчлена 2x2 x 2

отрицателен

( D 15 ), то при любых х

справедливо

неравенство

2x2 x 2 0

и, значит, область определения функции y x

2x2 x 2

1

1

2

4x 1

x 2

2x2 x 2 2x

x 2

2 2x2 x 2 .

y

Уравнение

4x 1

0

имеет единственное решение x 1

. Докажем,

2

2x2 x 2

4

что точка

x

1

является

точкой

экстремума.

На множестве

x 1

4

1

4

x

справедливо

0 ,

а

на

множестве

x 4

выполнено неравенство

y

y x 0 .

y x 0