Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1891

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

§6. Тригонометрические неравенства

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства следующего вида:

1.a1 sin b1;

2.a2 cos b2 ;

3.a3 tg b3 ;

4.a4 сtg b4 ;

где а1, b1, а2, b2, а3, b3, а4, b4 – заданные числа.

При решении этих неравенств удобно в качестве вспомогательного средства пользоваться графиками соответствующих тригонометрических функций или тригонометрическим кругом.

Рассмотри решение простейших тригонометрических неравенств.
Неравенству sin x a	a
		1	соответ-

ствуют все точки выделенной дуги единичной окружности. С учетом периода функции sin x , равного 2 , решение неравенства запишется в виде

x arcsin a 2 n; arcsin a 2 n ; n Z .

a 1, x Ø;

a 1, x R ;

a 1,

2 n;

2 n .

sin x a

Неравенству

соответ-

ствуют все точки выделенной дуги единичной окружности (направление обхода окружности – против часовой стрелки). С учетом периода функции sin x , равного 2 , решение неравенства запишется в виде

x arcsin a 2 n;arcsin a 2 n ; n Z .

a 1, x Ø;

a 1, x R ;

a 1,

2 n;

2 n .

Неравенству

cos x a

соответ-

ствуют все точки выделенной дуги единичной окружности. С учетом периода функции cos x , равного 2 , решение неравенства запишется в виде x arccosa 2 n;arccosa 2 n ; n Z .

a 1, x Ø; a 1, x R ; a 1, x 2 n; 2 n .

Неравенству

cos x a

соответствуют все

точки

выделенной

дуги единичной окружности. С учетом периода функции

cos x , равного

2 , решение неравенства запишется в виде

x arccosa 2 n;2 arccosa 2 n ; n Z .

a 1, x Ø;

a 1, x R ;

a 1,

x 2 n;2 2 n .

Неравенству tg x a

a R

соответствуют все точки выделенных

дуг единичной окружности. С учетом периода

функции

tg x ,

равного

решение неравенства

запишется в виде

n Z .

x arctgx n;

Неравенство tg x a

a R

имеет решение

n;arctg a n

, n Z .

Неравенству ctg x a a R

соответствуют

все точки выделенных дуг единичной окружности.

учетом

периода

функции

ctg x ,

равного

решение неравенства запишется в виде

n Z .

x arctgx n;

Неравенство ctg x a a R

имеет решение

n;arctg a

n , n Z .

Пример 28. Решить неравенство

1 sin x 1 .

Решение. Рассмотрим график функции

y sin x

на отрезке (0, 2 )

отметим

на нем значения

arcsin 1 , x arcsin 1 ,

синус которых

равен 13 , а также x2 6 и x3 56 , синус которых равен 12 . Эти четыре

точки разбивают весь промежуток (0, 2 ) на пять промежутков: (0, х1), (х1, х2), (х2, х3), (х3, х4), (х4, 2 ). Исследуя изменение sin x на каждом из этих

промежутков, убеждаемся,	что	1	sin x				1	на		промежутках (х1, х2) и
		3	1				2	5			1
(х3, х4), т.е. на промежутках				,		и			,	arcsin		. Переходя от
	arcsin		3					6			3
					6

промежутка (0, 2 ) на всю числовую ось и учитывая периодичность

синуса, окончательно получаем:							1		sin x			1	на всех промежутках, т.е.
								3				2
			1	2 n,		2 n			и	5	2 n, arcsin			1
arcsin			3	2 n,	6	2 n			и	6	2 n, arcsin			3	2 n .
			3		6					6				3
		y
1
1
1
		1											2
	2
	2

		3 0 x1 x2				x3		x4							x
		3 0 x1 x2				x3		x4							x

Ответ:
	1				5			1		n Z
x arcsin		2 n,		2 n		2 n, arcsin			2 n ,
x arcsin	3	2 n,	6	2 n	6	2 n, arcsin		3	2 n ,
	3		6		6			3
Пример 29. Решить неравенство
			cos3 xsin3x sin3 xcos3x				3 .
							8

Решение. Упрощая левую часть неравенства, получаем равносильное

неравенство	sin 4x	1	. Взяв вспомогательный тригонометрический круг,
		2
видим, что искомые значения 4х соответствуют точкам дуги MNP , т.е.
			7 2 n 4x	2 n ,
			6	6

отсюда следует, что

7	n x		n .
24		24
	2		2

M	1	P
	2


	0	6
	0	x
		x

				N
	7
Ответ: x			n,			n	,	n Z .
Ответ: x	24	2	n,	24	2	n	,	n Z .
	24	2		24	2

Неравенства, не являющиеся простейшими, с помощью тождественных преобразований можно свести к одному или системе простейших неравенств, равносильных данному.

Пример 30. Решить неравенство

2sin4 x 3sin2 x 1 0 .

Решение. Переходим к аргументу 2х, получаем равносильное нера-

венство cos2 2x cos2x 0 ,	которое	равносильно, в свою очередь,
совокупности двух систем
а) cos2x 1 0,		б) cos2x 1 0,
	0,
cos2x	0,	cos2x 0.

Первое неравенство системы «а» справедливо для всех х, кроме тех, для

которых cos2x 1,		т.е. для x		n . Из второго неравенства системы
			2
«а» следует, что		2 n 2x		2 n , т.е.		n x		n , причем
	2		2		4		4

точки x		n не входят в эти промежутки		ни при		каком n. Итак,
	2
				n,
решением системы «а» являются промежутки			4		4	n .

Система «б» несовместна, так как первое неравенство системы «б» не имеет решений. Следовательно, решения системы «а» являются решениями данного неравенства.

		n,			,	n Z .
Ответ: x	4		4	n

Пример 31. Найти все значения х, лежащие в промежутке 1 , 1 и

6 4

удовлетворяющие неравенству tg 1 1.
										x
		Решение. Решением неравенства									tg	1	1	будут	все	значения х,
												x
удовлетворяющие						условию				n	1		n .	Так	как	по условию
		1 6 ,								4	x	2
4		1 6 ,		то нужно выбрать такие значения n, при которых промежутки
		x
	n,				попадают				целиком		или	частично внутрь				промежутка
	n,		2	n	попадают				целиком		или	частично внутрь				промежутка
4			2													n=1. Итак,
(4,		6). Очевидно,					таким		единственным			значением			будет	n=1. Итак,
1		n . Следовательно,							2	x 1 .
1		n . Следовательно,							3	x 1 .
x		2			2		1		3	4
					2		1
		Ответ: x				,		.
		Ответ: x			3	,	4	.
					3		4

Задания для самостоятельного решения

Решите неравенства:

1.	sin x		1			2.	sin x				2
1.	sin x		2			2.	sin x			2
			2							2
3.	cos x			1		4.		3	cos x				1
3.	cos x			2		4.		2	cos x				2
				2				2					2
5.	1	cos x			3	6.		x				1
							cos
	2				2		cos		2		3	2
	2				2				2		3	2

7. 1 tgx	2	8. 3 tgx 1
9. ctgx 1	3	10. sin 3x cos x cos3x sin x 0,5
9. ctgx 1		10. sin 3x cos x cos3x sin x 0,5

11.cos2 x 3cos x 10 0

12.2cos2 3x cos 3x 1 0

2 3 2 3

13.sin 2x 4cos2 x 1 0

14.sin2 3x 4sin 3x 3 0

15.	sin x cos x						16.	sin 2x cos 2x
17.	sin	x	cos	x			18.	sin x cos x 0
17.	sin		cos	2			18.	sin x cos x 0
	2			2
					3				1
19.	cos x sin x					0	20.	sin x cos x		0
19.	cos x sin x				2	0	20.	sin x cos x	2	0
					2				2
21.	tg x ctg 2x 0						22.	6sin2 x sin2 2x 6
23.	4sin xsin 2xsin 3x sin 4x						24.	2cos2 x sin x sin 3x 1
25.	2sin3 x cos 2x sin x 0						26.	sin3 x sin 3x 0

27.1costg2xx 0

28.ctg x tg x 2 tg2x 4 tg4x 8 33

29.4sin2 x 5cos xsin x 6cos2 x 0

30.2sin2 x 3 sin x 3 0

31.sin xsin 2x cos x cos 2x sin 2x

32.cos 2x 5cos x 3 0

33.cos 2x sin x cos x 1

34.6cos2 2x tg2 x 2sin2 x 3tg2 x

35.Найдите все действительные значения параметра a , при которых

a2 1 cos2 x 2 a 1 cos x 1 0 являются всерешениями

действительные числа.

ОТВЕТЫ

1				2 n;			5			2 n								19							2 n;
		6		2 n;			6			2 n					, n Z										2 n;					2		2 n
		6					6															3								2
																						2			2 n;				3							, n Z
																									2 n;					2			2 n			, n Z
																				3										2
2			5		2 n;													20	2
			4		2 n;					4	2 n , n Z									3			2 n; 2 n
			4							4										3
																						4														, n Z
																									2 n;2 2 n											, n Z
																				3
3			2		2 n;					2							Z	21					n;											n Z
			3		2 n;					3				2 n , n			Z				4		n;			4		n ,						n Z
			3							3											4					4
4		2			2 n;			5										22	;
		3			2 n;				6		2 n
		3							6
				5		2 n;							2			2 n
				6		2 n;							3			2 n	,
				6									3
	n Z
5				2 n;														23		n;													3	n;
			3	2 n;						6		2 n								n;			8		n								8	n;			2	n
			3							6													8										8				2
				2 n;				2 n								, n Z				5							7
		6		2 n;			3	2 n								, n Z				5					n;		7
		6					3															8			n;			8				n , n Z
																						8						8
6			4											, n Z				24							2 n;
			3		4 n;4 n									, n Z							4				2 n;					6		2 n
			3																		4									6
																								2 n;			3
																						4		2 n;				4			2 n
																						4						4
																						7							5
																									2 n;								2 n		, n Z
																						6			2 n;					4			2 n		, n Z
																						6								4
7				n;arctg									2					25					n;											n Z
			4	n;arctg									3	n , n Z							4		n;			4		n ,						n Z
			4										3								4					4

8					n;								n					, n Z				26						2			n;			2					n			n	Z
		3			n;					4			n					, n Z							3			3			n;					3			n		,	n	Z
		3								4															3			3								3
9			n; n														Z					27				n;															, n Z
			n; n											, n			Z							4		n;			2			n									, n Z
	4																							4					2
10								5														28						n									n
				n;				12			n						, n Z													;											, n Z
				n;							n						, n Z							24				8		;		8									, n Z
	12																							24				8				8							8
11	Ø																					29
																							arctg 2 n;													2			n
																																				2
																												n; arctg														3			, n Z
																										2		n; arctg														4	n		, n Z
																										2																4
12		4					4 n				;	4 n					,n Z					30				2 n;					2							2 n					n Z
				9				3			;			3			,n Z							3		2 n;						3						2 n				,	n Z
				9				3						3										3								3
13			n; arcctg													1		n			, n Z	31				2 n;
			n; arcctg													3		n			, n Z				2	2 n;							6			2 n
	4															3									2								6
																										2 n;								5										, n Z
																										2 n;										6			2 n					, n Z
																								2												6
14				2 n			, n Z															32			2		2 n;								2									, n Z
	6				3		, n Z																		3		2 n;									3				2 n				, n Z
	6				3																				3											3
15		3				2 n;													, n	Z		33				n; n														,	n	Z
			4			2 n;					4			2 n					, n	Z				4		n; n														,	n	Z
			4								4													4
16			n;				5								,n Z							34				2 n;					3							2 n
			n;					8	n						,n Z									2		2 n;						2						2 n				2 n , n Z
	8							8																2								2

17																						35	1;
		3				4 n;													, n Z
				2		4 n;					2			4 n					, n Z
				2							2
18													, n Z
		2			n; n								, n Z
		2

Глава II

ПРОИЗВОДНАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

§1. Определение производной. Основные правила дифференцирования

Пусть функция y f x определена на некотором интервале (а; b),

содержащем точку x0. Для любой другой точки х интервала (а; b) разность х – х0 обозначается х и называется приращением аргумента; соответству-

ющая разность значений функции f		x –	f x0	обозначается f x0 и
называется приращением	функции.	Из	равенства		х = х – х0	следует
х = х0 + х и f x0 = f x0 x – f x0 .
Если х х0, то, очевидно, х 0.
Производной функции	y f x	в	точке	х0	называется	предел

отношения приращения функции к соответствующему приращению


аргумента, когда последнее стремится					к нулю. Производная функции
y f x в точке х0	обозначается		f x0		или y x0 . Таким образом, по
определению		f x0		f x0 x f x0
f x0	lim		lim			.
		x
	x 0		x 0		x

Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке; операция нахождения производной называется дифференцированием.

Укажем основные формулы и правила дифференцирования, с помощью

которых можно при дифференцировании обойтись без непосредственного

вычисления производной как предела отношения

lim

при х 0.

x 0

Основные формулы лучше запомнить в виде:

n 1

1) u

cosu

n u

u ;

;

10)

tgu

;

cos

–

;

11)

ctgu

;

sin

e u ;

12)

arctgu

;

1 u2

au ln a u ;

13)

arctgu

;

6) ln u

;

14) arcsin u

;

1 u2

loga u

;

15) arccosu

u ln a

1 u2

sin u

cosu u ;

Правила дифференцирования

Пусть с – постоянная, u x ,

v x – дифференцируемые на некотором

интервале (а, b) функции, на этом же интервале справедливы формулы: c 0,

cu cu ,

u v u v ,

u v u v uv ,


u	u v uv		.

	v	2
v

Пример 1. Найти производные функций:

а) y x2 1x ; б) y x ln x .

в) y 2x 1 . 3 x

Решение.

а) y x2 x 1 2x 1 x 2

;

б) y

x ln x x ln x ln x x

x ln x 1;

3 x

в) y

2x 1

3 x 2

3 x 2 ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20243.53 Mб01887.pdf
#
16.06.20243.53 Mб01888.pdf
#
16.06.20243.53 Mб01889.pdf
#
16.06.2024220.86 Кб0189.pdf
#
16.06.20243.53 Mб01890.pdf
#
16.06.20243.54 Mб21891.pdf
#
16.06.20243.54 Mб01892.pdf
#
16.06.20243.54 Mб01893.pdf
#
16.06.20243.55 Mб01894.pdf
#
16.06.20243.55 Mб01895.pdf
#
16.06.20243.55 Mб21896.pdf