
1891
.pdf
§6. Тригонометрические неравенства
Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства следующего вида:
1.a1 sin b1;
2.a2 cos b2 ;
3.a3 tg b3 ;
4.a4 сtg b4 ;
где а1, b1, а2, b2, а3, b3, а4, b4 – заданные числа.
При решении этих неравенств удобно в качестве вспомогательного средства пользоваться графиками соответствующих тригонометрических функций или тригонометрическим кругом.
Рассмотри решение простейших тригонометрических неравенств. |
||||
Неравенству sin x a |
|
a |
|
|
|
1 |
соответ- |
ствуют все точки выделенной дуги единичной окружности. С учетом периода функции sin x , равного 2 , решение неравенства запишется в виде
x arcsin a 2 n; arcsin a 2 n ; n Z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a 1, x Ø; |
a 1, x R ; |
a 1, |
|
|
|
2 n; |
3 |
|
|
|||
x |
2 |
2 |
2 n . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
sin x a |
a |
|
|
|
|||||
|
|
Неравенству |
|
|
1 |
|
соответ- |
ствуют все точки выделенной дуги единичной окружности (направление обхода окружности – против часовой стрелки). С учетом периода функции sin x , равного 2 , решение неравенства запишется в виде
|
|
x arcsin a 2 n;arcsin a 2 n ; n Z . |
||||||||||
a 1, x Ø; |
a 1, x R ; |
|
|
a 1, |
|
|
3 |
2 n; |
|
|
||
|
|
x |
2 |
2 |
2 n . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Неравенству |
cos x a |
|
a |
|
1 |
соответ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ствуют все точки выделенной дуги единичной окружности. С учетом периода функции cos x , равного 2 , решение неравенства запишется в виде x arccosa 2 n;arccosa 2 n ; n Z .
a 1, x Ø; a 1, x R ; a 1, x 2 n; 2 n .
51

Неравенству |
|
cos x a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
соответствуют все |
точки |
выделенной |
||||||||||
дуги единичной окружности. С учетом периода функции |
cos x , равного |
||||||||||||||||
|
|
|
2 , решение неравенства запишется в виде |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x arccosa 2 n;2 arccosa 2 n ; n Z . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
a 1, x Ø; |
a 1, x R ; |
|
a 1, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 n;2 2 n . |
|
|
|
|||
Неравенству tg x a |
a R |
соответствуют все точки выделенных |
|||||||||||||||
дуг единичной окружности. С учетом периода |
|
|
|
|
|
||||||||||||
функции |
tg x , |
равного |
, |
|
решение неравенства |
|
|
|
|
|
|||||||
запишется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
n Z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
x arctgx n; |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенство tg x a |
a R |
имеет решение |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n;arctg a n |
|
, n Z . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенству ctg x a a R |
соответствуют |
|||||||||||
|
|
|
все точки выделенных дуг единичной окружности. |
||||||||||||||
|
|
|
С |
учетом |
|
периода |
функции |
ctg x , |
равного |
, |
|||||||
|
|
|
решение неравенства запишется в виде |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n Z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x arctgx n; |
2 |
, |
|
|||
Неравенство ctg x a a R |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
имеет решение |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n;arctg a |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
2 |
n , n Z . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 28. Решить неравенство |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin x 1 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Рассмотрим график функции |
y sin x |
на отрезке (0, 2 ) |
и |
||||||||||||||
отметим |
на нем значения |
x |
|
|
arcsin 1 , x arcsin 1 , |
синус которых |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
4 |
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52

равен 13 , а также x2 6 и x3 56 , синус которых равен 12 . Эти четыре
точки разбивают весь промежуток (0, 2 ) на пять промежутков: (0, х1), (х1, х2), (х2, х3), (х3, х4), (х4, 2 ). Исследуя изменение sin x на каждом из этих
промежутков, убеждаемся, |
что |
1 |
sin x |
1 |
на |
промежутках (х1, х2) и |
|||||||
|
|
3 |
1 |
|
|
|
2 |
5 |
|
|
1 |
|
|
(х3, х4), т.е. на промежутках |
|
|
, |
и |
|
, |
arcsin |
|
. Переходя от |
||||
arcsin |
3 |
|
|
6 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
промежутка (0, 2 ) на всю числовую ось и учитывая периодичность
синуса, окончательно получаем: |
1 |
sin x |
|
1 |
на всех промежутках, т.е. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 n, |
|
2 n |
|
|
и |
|
5 |
2 n, arcsin |
1 |
|
||||||||||||
arcsin |
3 |
6 |
|
|
|
6 |
3 |
2 n . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 x1 x2 |
|
x3 |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
n Z |
|
x arcsin |
|
2 n, |
|
2 n |
|
|
2 n, arcsin |
|
2 n , |
|||
3 |
6 |
6 |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 29. Решить неравенство |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
cos3 xsin3x sin3 xcos3x |
3 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
Решение. Упрощая левую часть неравенства, получаем равносильное
неравенство |
sin 4x |
1 |
. Взяв вспомогательный тригонометрический круг, |
|
|
|
2 |
|
|
видим, что искомые значения 4х соответствуют точкам дуги MNP , т.е. |
||||
|
|
|
7 2 n 4x |
2 n , |
|
|
|
6 |
6 |
53

отсюда следует, что
|
7 |
|
n x |
|
|
n . |
|
24 |
24 |
||||||
|
|
2 |
|
2 |
y
M |
1 |
P |
2 |
|
|
|
0 |
6 |
|
x |
||
|
7
6
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x |
|
|
|
|
n, |
|
|
|
n |
, |
n Z . |
|
24 |
2 |
24 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенства, не являющиеся простейшими, с помощью тождественных преобразований можно свести к одному или системе простейших неравенств, равносильных данному.
Пример 30. Решить неравенство
2sin4 x 3sin2 x 1 0 .
Решение. Переходим к аргументу 2х, получаем равносильное нера-
венство cos2 2x cos2x 0 , |
которое |
равносильно, в свою очередь, |
совокупности двух систем |
|
|
а) cos2x 1 0, |
б) cos2x 1 0, |
|
|
0, |
|
cos2x |
cos2x 0. |
Первое неравенство системы «а» справедливо для всех х, кроме тех, для
которых cos2x 1, |
т.е. для x |
|
n . Из второго неравенства системы |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
«а» следует, что |
|
2 n 2x |
|
2 n , т.е. |
|
n x |
|
n , причем |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
4 |
|
54

точки x |
|
n не входят в эти промежутки |
ни при |
каком n. Итак, |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n, |
||||
решением системы «а» являются промежутки |
4 |
4 |
n . |
||||
|
|
|
|
|
|
Система «б» несовместна, так как первое неравенство системы «б» не имеет решений. Следовательно, решения системы «а» являются решениями данного неравенства.
|
|
|
n, |
|
|
, |
n Z . |
Ответ: x |
4 |
4 |
n |
||||
|
|
|
|
|
|
Пример 31. Найти все значения х, лежащие в промежутке 1 , 1 и
6 4
удовлетворяющие неравенству tg 1 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Решением неравенства |
tg |
1 |
1 |
будут |
все |
значения х, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
удовлетворяющие |
условию |
n |
1 |
|
n . |
Так |
как |
по условию |
||||||||
|
|
1 6 , |
|
|
|
|
|
|
4 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
то нужно выбрать такие значения n, при которых промежутки |
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n, |
|
попадают |
целиком |
или |
частично внутрь |
промежутка |
||||||||||
|
2 |
n |
||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1. Итак, |
|
(4, |
|
6). Очевидно, |
|
таким |
единственным |
значением |
будет |
|||||||||
1 |
n . Следовательно, |
2 |
x 1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ответ: x |
|
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельного решения
Решите неравенства:
1. |
sin x |
1 |
|
|
2. |
sin x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
cos x |
1 |
|
4. |
|
3 |
|
cos x |
1 |
|||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
1 |
cos x |
3 |
6. |
|
x |
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
2 |
|
2 |
3 |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55

7. 1 tgx |
2 |
8. 3 tgx 1 |
9. ctgx 1 |
3 |
10. sin 3x cos x cos3x sin x 0,5 |
|
11.cos2 x 3cos x 10 0
12.2cos2 3x cos 3x 1 0
2 3 2 3
13.sin 2x 4cos2 x 1 0
14.sin2 3x 4sin 3x 3 0
15. |
sin x cos x |
|
|
16. |
sin 2x cos 2x |
|
||||||
17. |
sin |
x |
cos |
x |
|
|
|
18. |
sin x cos x 0 |
|
||
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|||
19. |
cos x sin x |
|
0 |
20. |
sin x cos x |
|
0 |
|||||
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
21. |
tg x ctg 2x 0 |
|
22. |
6sin2 x sin2 2x 6 |
||||||||
23. |
4sin xsin 2xsin 3x sin 4x |
24. |
2cos2 x sin x sin 3x 1 |
|||||||||
25. |
2sin3 x cos 2x sin x 0 |
26. |
sin3 x sin 3x 0 |
27.1costg2xx 0
28.ctg x tg x 2 tg2x 4 tg4x 8 33
29.4sin2 x 5cos xsin x 6cos2 x 0
30.2sin2 x 3 sin x 3 0
31.sin xsin 2x cos x cos 2x sin 2x
32.cos 2x 5cos x 3 0
33.cos 2x sin x cos x 1
34.6cos2 2x tg2 x 2sin2 x 3tg2 x
35.Найдите все действительные значения параметра a , при которых
a2 1 cos2 x 2 a 1 cos x 1 0 являются всерешениями
действительные числа.
56
ОТВЕТЫ
1 |
|
|
|
2 n; |
5 |
|
2 n |
|
|
19 |
|
|
|
|
2 n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
6 |
6 |
|
|
, n Z |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 n; |
3 |
|
|
, n Z |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
5 |
2 n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
|
4 |
2 n , n Z |
|
|
3 |
|
2 n; 2 n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, n Z |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n;2 2 n |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
2 |
2 n; |
|
2 |
|
|
|
|
|
Z |
21 |
|
|
|
n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
n Z |
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
2 n , n |
|
|
4 |
4 |
|
n , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
2 |
|
2 n; |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
6 |
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
5 |
2 n; |
2 |
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
6 |
3 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
|
|
|
2 n; |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
n; |
|
|
|
|
|
3 |
n; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
6 |
|
2 n |
|
|
|
8 |
|
n |
|
8 |
2 |
n |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 n; |
|
2 n |
|
|
, n Z |
|
|
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
n , n Z |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, n Z |
|
24 |
|
|
|
|
2 n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
4 n;4 n |
|
|
|
4 |
|
6 |
|
2 n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n; |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
2 n |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n; |
|
|
|
|
2 n |
, n Z |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7 |
|
|
|
|
n;arctg |
|
2 |
|
|
|
|
25 |
|
|
|
n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
n Z |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4 |
|
|
3 |
n , n Z |
|
|
4 |
4 |
|
n , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57
8 |
|
|
|
n; |
|
|
|
n |
|
, n Z |
26 |
|
|
|
|
|
2 |
n; |
2 |
n |
|
n |
Z |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9 |
|
|
n; n |
|
|
|
Z |
|
|
27 |
|
|
|
n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, n Z |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, n |
|
|
|
|
4 |
2 |
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n; |
12 |
|
n |
|
, n Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
, n Z |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||
11 |
Ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg 2 n; |
2 |
|
n |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n; arctg |
3 |
|
|
, n Z |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12 |
|
|
4 |
|
4 n |
|
; |
4 n |
|
,n Z |
|
|
30 |
|
|
|
2 n; |
2 |
|
|
2 n |
|
n Z |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
13 |
|
|
n; arcctg |
1 |
n |
|
, n Z |
31 |
|
|
|
|
2 n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
6 |
2 n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n; |
5 |
|
|
|
|
|
|
, n Z |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14 |
|
|
|
2 n |
, n Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
2 |
2 n; |
2 |
|
|
|
|
, n Z |
||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
2 n |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
15 |
|
|
3 |
2 n; |
|
|
|
|
|
|
, n |
Z |
33 |
|
|
|
n; n |
|
, |
n |
Z |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
4 |
2 n |
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
16 |
|
|
n; |
5 |
|
|
|
|
|
|
,n Z |
|
|
34 |
|
|
|
2 n; |
3 |
|
|
2 n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
n |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 n , n Z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
|
4 n; |
|
|
|
|
|
|
|
, n Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
4 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, n Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
n; n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58

Глава II
ПРОИЗВОДНАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§1. Определение производной. Основные правила дифференцирования
Пусть функция y f x определена на некотором интервале (а; b),
содержащем точку x0. Для любой другой точки х интервала (а; b) разность х – х0 обозначается х и называется приращением аргумента; соответству-
ющая разность значений функции f |
x – |
f x0 |
обозначается f x0 и |
|||
называется приращением |
функции. |
Из |
равенства |
х = х – х0 |
следует |
|
х = х0 + х и f x0 = f x0 x – f x0 . |
|
|
|
|
||
Если х х0, то, очевидно, х 0. |
|
|
|
|
|
|
Производной функции |
y f x |
в |
точке |
х0 |
называется |
предел |
отношения приращения функции к соответствующему приращению
аргумента, когда последнее стремится |
|
к нулю. Производная функции |
|||||
y f x в точке х0 |
обозначается |
f x0 |
|
или y x0 . Таким образом, по |
|||
определению |
|
f x0 |
|
f x0 x f x0 |
|
||
f x0 |
lim |
lim |
. |
||||
x |
|
||||||
|
x 0 |
x 0 |
|
x |
Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке; операция нахождения производной называется дифференцированием.
Укажем основные формулы и правила дифференцирования, с помощью
которых можно при дифференцировании обойтись без непосредственного |
||||||||||||||||||||||||||||||||
вычисления производной как предела отношения |
lim |
|
f |
x0 |
|
при х 0. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Основные формулы лучше запомнить в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
cosu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n u |
|
|
|
u ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
10) |
tgu |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
u |
|
cos |
2 |
u |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
||||||
3) |
– |
|
|
cu |
; |
|
|
11) |
ctgu |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
sin |
u |
|
|
||||||||||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4) |
e |
u |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
e u ; |
|
|
|
|
12) |
arctgu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 u2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
||||||
5) |
au |
au ln a u ; |
13) |
arctgu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||
|
1 |
u |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59

|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
6) ln u |
u |
; |
|
|
14) arcsin u |
|
|
|
; |
||||
|
|
1 u2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
u |
|
|
|
7) |
loga u |
|
|
|
; |
15) arccosu |
|
|
|
. |
|||
|
u ln a |
1 u2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin u |
|
cosu u ; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Правила дифференцирования |
|
|
|
|||
|
Пусть с – постоянная, u x , |
v x – дифференцируемые на некотором |
интервале (а, b) функции, на этом же интервале справедливы формулы: c 0,
cu cu ,
u v u v ,
u v u v uv ,
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
u v uv |
|
. |
||
|
|
|
|
|
||
v |
2 |
|
||||
v |
|
|
|
|
Пример 1. Найти производные функций:
а) y x2 1x ; б) y x ln x .
в) y 2x 1 . 3 x
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) y x2 x 1 2x 1 x 2 |
2x |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) y |
x ln x x ln x ln x x |
x ln x 1; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x |
|
3 x |
|
|
|
2x |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
3 x |
|
|
|||||
в) y |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 x 2 |
|
|
|
|
|
|
3 x 2 |
3 x 2 ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60