Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1891

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
16.06.2024
Размер:
3.54 Mб
Скачать

§6. Тригонометрические неравенства

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства следующего вида:

1.a1 sin b1;

2.a2 cos b2 ;

3.a3 tg b3 ;

4.a4 сtg b4 ;

где а1, b1, а2, b2, а3, b3, а4, b4 – заданные числа.

При решении этих неравенств удобно в качестве вспомогательного средства пользоваться графиками соответствующих тригонометрических функций или тригонометрическим кругом.

Рассмотри решение простейших тригонометрических неравенств.

Неравенству sin x a

 

a

 

 

 

1

соответ-

ствуют все точки выделенной дуги единичной окружности. С учетом периода функции sin x , равного 2 , решение неравенства запишется в виде

x arcsin a 2 n; arcsin a 2 n ; n Z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 1, x Ø;

a 1, x R ;

a 1,

 

 

 

2 n;

3

 

 

x

2

2

2 n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x a

a

 

 

 

 

 

Неравенству

 

 

1

 

соответ-

ствуют все точки выделенной дуги единичной окружности (направление обхода окружности – против часовой стрелки). С учетом периода функции sin x , равного 2 , решение неравенства запишется в виде

 

 

x arcsin a 2 n;arcsin a 2 n ; n Z .

a 1, x Ø;

a 1, x R ;

 

 

a 1,

 

 

3

2 n;

 

 

 

 

x

2

2

2 n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неравенству

cos x a

 

a

 

1

соответ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ствуют все точки выделенной дуги единичной окружности. С учетом периода функции cos x , равного 2 , решение неравенства запишется в виде x arccosa 2 n;arccosa 2 n ; n Z .

a 1, x Ø; a 1, x R ; a 1, x 2 n; 2 n .

51

Неравенству

 

cos x a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

соответствуют все

точки

выделенной

дуги единичной окружности. С учетом периода функции

cos x , равного

 

 

 

2 , решение неравенства запишется в виде

 

 

 

 

 

x arccosa 2 n;2 arccosa 2 n ; n Z .

 

 

 

 

 

 

a 1, x Ø;

a 1, x R ;

 

a 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 n;2 2 n .

 

 

 

Неравенству tg x a

a R

соответствуют все точки выделенных

дуг единичной окружности. С учетом периода

 

 

 

 

 

функции

tg x ,

равного

,

 

решение неравенства

 

 

 

 

 

запишется в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

n Z .

 

 

 

 

 

 

 

x arctgx n;

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неравенство tg x a

a R

имеет решение

 

 

 

 

 

 

 

 

n;arctg a n

 

, n Z .

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Неравенству ctg x a a R

соответствуют

 

 

 

все точки выделенных дуг единичной окружности.

 

 

 

С

учетом

 

периода

функции

ctg x ,

равного

,

 

 

 

решение неравенства запишется в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n Z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x arctgx n;

2

,

 

Неравенство ctg x a a R

 

 

 

 

 

 

имеет решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n;arctg a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

n , n Z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 28. Решить неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 sin x 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

Решение. Рассмотрим график функции

y sin x

на отрезке (0, 2 )

и

отметим

на нем значения

x

 

 

arcsin 1 , x arcsin 1 ,

синус которых

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52

равен 13 , а также x2 6 и x3 56 , синус которых равен 12 . Эти четыре

точки разбивают весь промежуток (0, 2 ) на пять промежутков: (0, х1), (х1, х2), (х2, х3), (х3, х4), (х4, 2 ). Исследуя изменение sin x на каждом из этих

промежутков, убеждаемся,

что

1

sin x

1

на

промежутках (х1, х2) и

 

 

3

1

 

 

 

2

5

 

 

1

 

 

(х3, х4), т.е. на промежутках

 

 

,

и

 

,

arcsin

 

. Переходя от

arcsin

3

 

 

6

3

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

промежутка (0, 2 ) на всю числовую ось и учитывая периодичность

синуса, окончательно получаем:

1

sin x

 

1

на всех промежутках, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

2 n,

 

2 n

 

 

и

 

5

2 n, arcsin

1

 

arcsin

3

6

 

 

 

6

3

2 n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 0 x1 x2

 

x3

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

5

 

 

1

 

n Z

x arcsin

 

2 n,

 

2 n

 

 

2 n, arcsin

 

2 n ,

3

6

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 29. Решить неравенство

 

 

 

 

 

 

 

cos3 xsin3x sin3 xcos3x

3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

Решение. Упрощая левую часть неравенства, получаем равносильное

неравенство

sin 4x

1

. Взяв вспомогательный тригонометрический круг,

 

 

2

 

 

видим, что искомые значения 4х соответствуют точкам дуги MNP , т.е.

 

 

 

7 2 n 4x

2 n ,

 

 

 

6

6

53

отсюда следует, что

 

7

 

n x

 

 

n .

24

24

 

 

2

 

2

y

M

1

P

2

 

 

0

6

x

 

7

6

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: x

 

 

 

 

n,

 

 

 

n

,

n Z .

24

2

24

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Неравенства, не являющиеся простейшими, с помощью тождественных преобразований можно свести к одному или системе простейших неравенств, равносильных данному.

Пример 30. Решить неравенство

2sin4 x 3sin2 x 1 0 .

Решение. Переходим к аргументу 2х, получаем равносильное нера-

венство cos2 2x cos2x 0 ,

которое

равносильно, в свою очередь,

совокупности двух систем

 

 

а) cos2x 1 0,

б) cos2x 1 0,

 

0,

 

cos2x

cos2x 0.

Первое неравенство системы «а» справедливо для всех х, кроме тех, для

которых cos2x 1,

т.е. для x

 

n . Из второго неравенства системы

 

 

 

2

 

 

 

 

 

«а» следует, что

 

2 n 2x

 

2 n , т.е.

 

n x

 

n , причем

 

2

 

2

 

4

 

4

 

54

точки x

 

n не входят в эти промежутки

ни при

каком n. Итак,

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n,

решением системы «а» являются промежутки

4

4

n .

 

 

 

 

 

 

Система «б» несовместна, так как первое неравенство системы «б» не имеет решений. Следовательно, решения системы «а» являются решениями данного неравенства.

 

 

 

n,

 

 

,

n Z .

Ответ: x

4

4

n

 

 

 

 

 

 

Пример 31. Найти все значения х, лежащие в промежутке 1 , 1 и

6 4

удовлетворяющие неравенству tg 1 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Решением неравенства

tg

1

1

будут

все

значения х,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

удовлетворяющие

условию

n

1

 

n .

Так

как

по условию

 

 

1 6 ,

 

 

 

 

 

 

4

x

2

 

 

 

 

4

 

то нужно выбрать такие значения n, при которых промежутки

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n,

 

попадают

целиком

или

частично внутрь

промежутка

 

2

n

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1. Итак,

(4,

 

6). Очевидно,

 

таким

единственным

значением

будет

1

n . Следовательно,

2

x 1 .

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

x

 

2

 

 

2

 

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: x

 

,

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

Решите неравенства:

1.

sin x

1

 

 

2.

sin x

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

cos x

1

 

4.

 

3

 

cos x

1

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

1

cos x

3

6.

 

x

 

 

 

1

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

2

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55

7. 1 tgx

2

8. 3 tgx 1

9. ctgx 1

3

10. sin 3x cos x cos3x sin x 0,5

 

11.cos2 x 3cos x 10 0

12.2cos2 3x cos 3x 1 0

2 3 2 3

13.sin 2x 4cos2 x 1 0

14.sin2 3x 4sin 3x 3 0

15.

sin x cos x

 

 

16.

sin 2x cos 2x

 

17.

sin

x

cos

x

 

 

 

18.

sin x cos x 0

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

19.

cos x sin x

 

0

20.

sin x cos x

 

0

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

tg x ctg 2x 0

 

22.

6sin2 x sin2 2x 6

23.

4sin xsin 2xsin 3x sin 4x

24.

2cos2 x sin x sin 3x 1

25.

2sin3 x cos 2x sin x 0

26.

sin3 x sin 3x 0

27.1costg2xx 0

28.ctg x tg x 2 tg2x 4 tg4x 8 33

29.4sin2 x 5cos xsin x 6cos2 x 0

30.2sin2 x 3 sin x 3 0

31.sin xsin 2x cos x cos 2x sin 2x

32.cos 2x 5cos x 3 0

33.cos 2x sin x cos x 1

34.6cos2 2x tg2 x 2sin2 x 3tg2 x

35.Найдите все действительные значения параметра a , при которых

a2 1 cos2 x 2 a 1 cos x 1 0 являются всерешениями

действительные числа.

56

ОТВЕТЫ

1

 

 

 

2 n;

5

 

2 n

 

 

19

 

 

 

 

2 n;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

6

 

 

, n Z

 

 

 

 

 

 

 

2

2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2 n;

3

 

 

, n Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

5

2 n;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

2 n , n Z

 

 

3

 

2 n; 2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, n Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n;2 2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

2 n;

 

2

 

 

 

 

 

Z

21

 

 

 

n;

 

 

 

 

 

 

 

 

n Z

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

2 n , n

 

 

4

4

 

n ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

2 n;

5

 

 

 

 

 

 

 

22

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

6

2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2 n;

2

2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

3

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

2 n;

 

 

 

 

 

 

 

23

 

n;

 

 

 

 

 

3

n;

 

 

 

 

 

3

 

6

 

2 n

 

 

 

8

 

n

 

8

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n;

 

2 n

 

 

, n Z

 

 

 

5

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

3

 

 

 

 

 

n;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

8

 

n , n Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, n Z

 

24

 

 

 

 

2 n;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4 n;4 n

 

 

 

4

 

6

 

2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n;

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n;

 

 

 

 

2 n

, n Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

n;arctg

 

2

 

 

 

 

25

 

 

 

n;

 

 

 

 

 

 

 

 

n Z

 

 

 

 

 

4

 

 

3

n , n Z

 

 

4

4

 

n ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57

8

 

 

 

n;

 

 

 

n

 

, n Z

26

 

 

 

 

 

2

n;

2

n

 

n

Z

 

 

 

3

 

4

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

3

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

n; n

 

 

 

Z

 

 

27

 

 

 

n;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, n Z

 

 

 

 

 

, n

 

 

 

 

4

2

n

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n;

12

 

n

 

, n Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

, n Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

8

 

8

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

11

Ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg 2 n;

2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n; arctg

3

 

 

, n Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

4

 

4 n

 

;

4 n

 

,n Z

 

 

30

 

 

 

2 n;

2

 

 

2 n

 

n Z

 

 

 

 

 

9

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

n; arcctg

1

n

 

, n Z

31

 

 

 

 

2 n;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

6

2 n

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n;

5

 

 

 

 

 

 

, n Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

2 n

, n Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

2

2 n;

2

 

 

 

 

, n Z

 

6

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

3

2 n;

 

 

 

 

 

 

, n

Z

33

 

 

 

n; n

 

,

n

Z

 

 

 

 

 

4

 

4

2 n

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

n;

5

 

 

 

 

 

 

,n Z

 

 

34

 

 

 

2 n;

3

 

 

2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

n

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2 n , n Z

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4 n;

 

 

 

 

 

 

 

, n Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

4 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, n Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

n; n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

58

Глава II

ПРОИЗВОДНАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

§1. Определение производной. Основные правила дифференцирования

Пусть функция y f x определена на некотором интервале (а; b),

содержащем точку x0. Для любой другой точки х интервала (а; b) разность х – х0 обозначается х и называется приращением аргумента; соответству-

ющая разность значений функции f

x

f x0

обозначается f x0 и

называется приращением

функции.

Из

равенства

х = х – х0

следует

х = х0 + х и f x0 = f x0 x f x0 .

 

 

 

 

Если х х0, то, очевидно, х 0.

 

 

 

 

 

Производной функции

y f x

в

точке

х0

называется

предел

отношения приращения функции к соответствующему приращению

аргумента, когда последнее стремится

 

к нулю. Производная функции

y f x в точке х0

обозначается

f x0

 

или y x0 . Таким образом, по

определению

 

f x0

 

f x0 x f x0

 

f x0

lim

lim

.

x

 

 

x 0

x 0

 

x

Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке; операция нахождения производной называется дифференцированием.

Укажем основные формулы и правила дифференцирования, с помощью

которых можно при дифференцировании обойтись без непосредственного

вычисления производной как предела отношения

lim

 

f

x0

 

при х 0.

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

Основные формулы лучше запомнить в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

cosu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n u

 

 

 

u ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

u

 

 

 

 

 

 

 

;

 

10)

tgu

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

2

 

u

 

cos

2

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

cu

;

 

 

11)

ctgu

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u2

 

 

sin

u

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

e

u

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

e u ;

 

 

 

 

12)

arctgu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

5)

au

au ln a u ;

13)

arctgu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

1

u

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

59

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

6) ln u

u

;

 

 

14) arcsin u

 

 

 

;

 

 

1 u2

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

u

 

 

7)

loga u

 

 

 

;

15) arccosu

 

 

 

.

 

u ln a

1 u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin u

 

cosu u ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правила дифференцирования

 

 

 

 

Пусть с – постоянная, u x ,

v x – дифференцируемые на некотором

интервале (а, b) функции, на этом же интервале справедливы формулы: c 0,

cu cu ,

u v u v ,

u v u v uv ,

 

 

 

 

 

 

 

u

 

u v uv

 

.

 

 

 

 

 

v

2

 

v

 

 

 

 

Пример 1. Найти производные функций:

а) y x2 1x ; б) y x ln x .

в) y 2x 1 . 3 x

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y x2 x 1 2x 1 x 2

2x

1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y

x ln x x ln x ln x x

x ln x 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

2x

 

3 x

 

 

 

2x

 

3

 

 

 

2

 

3 x

 

 

в) y

 

 

 

1

 

 

 

1

x

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

3 x 2

 

 

 

 

 

 

3 x 2

3 x 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]