1891

Решение. Понижая вторую степень косинуса, имеем

1 cos 160 2x cos2x 1 sin 20 .

Свертывая сумму косинусов в произведение, получаем: 2cos80 cos 80 2x sin 20

или

Ответ: 3 n , n Z .

2 6 2

Пример 21. Решить уравнение

tg 40 x ctg 5 x 23 .

41

Решение. Множество допустимых значений данного уравнения состоит из всех действительных значений х, для которых

sin 5 x 0, cos 40 x 0 .

Переходя в левой части уравнения к функциям синус и косинус и преобразуя числитель и знаменатель в сумму, получаем уравнение

3 sin 45 sin 35 2x 2 sin 45 sin 35 2x ,

равносильное данному на его множестве допустимых значений. Последнее уравнение приводится к простейшему

sin 35 2x 102 ,

откуда находим, что

Пример 22. Решить уравнение

sin 2x cos2x 1.

Решение. Так как sin 2x 1 и cos2x 1, то левая часть уравнения равна

x 4 n . Из этих значений х нужно выбрать такие, которые одновременно удовлетворяют и второму уравнению. Подставляя эти значения х в левую часть второго уравнения, получаем:

cos2 4 n cos2 1.

Таким образом, значения x 4 n являются решением нашего уравнения.

42

x 4 k . Подставляя эти значения в левую часть второго уравнения, имеем

cos2 4 n cos2 1.

Последнее означает, что x 4 k , k Z не является решение системы «б», следовательно, и данного уравнения.

Ответ: 4 n , n Z .

Сведение тригонометрического уравнения к рациональному уравнению с одним неизвестным

Пусть тригонометрическое уравнение приведено к одному аргументу, т.е. все тригонометрические функции, входящие в уравнение, содержат один и тот же аргумент . Тогда все тригонометрические функции могут быть выражены через какую-либо одну функцию, и получаем уравнение с одним неизвестным. Такой метод решения целесообразен в том случае, когда результатом всех преобразований является рациональное уравнение невысокой степени, равносильноеданному.

Пример 23. Решить уравнение

3sin x 2cos x 2.

Решение. Предполагая, что x 2 n , выразим sin x и cos x через tg 2x . Получим уравнение

которое после приведения к общему знаменателю и дальнейших упрощений примет вид

tg 2x 23 .

Отсюда находим, что

x 2arctg 23 2 k .

43

Остается проверить, будут ли числа x 2 n удовлетворять исходному уравнению. Подставляяихвлевуючастьэтогоуравнения

3sin 2 n 2cos 2 n 2cos 2 ,

убеждаемся, что они также ему удовлетворяют.

Ответ: 2arctg 2 2 k, 2 n , n, k Z .

3

Тригонометрическое уравнение вида

называется однородным уравнением относительно функций sin x и cos x . Степень его однородности равна n.

Предположим, что коэффициенты А0 0 и Аn 0. В этом случае решениями уравнения не могут быть те значения х, для которых sin x = 0

или cos x = 0. А если это так, то, разделив уравнение на cosn x или sinn x , получим уравнение

равносильное данному. Эти уравнения являются рациональными относительно tgx или ctgx соответственно.

В том случае, когда коэффициенты А0 или Аn обращаются в нуль, левая часть исходного уравнения раскладывается на множители. Приравнивая к нулю каждый из них, получаем два уравнения, из которых одно простейшее cos x = 0 (или sin x = 0), а другое – однородное, сводящееся к уравнениям (1.43) и (1.44).

Пример 24. Решить уравнение

sin3 2x cos2xcos4x 3sin 2xcos2 2x cos2x .

Решение. Переходя к аргументу 2х, имеем уравнение sin3 2x cos2x 3sin 2xcos2 2x cos2xcos4x

или

2cos3 2x 3sin 2xcos2 2x sin3 2x 0 ,

которое равносильно уравнению

tg3 2x 3tgx 2 0 .

44

Последнее распадается на два:

Пример 25. Решить уравнение

sin x 5 cos x 2 cos x 7 .

Решение. Это однородное уравнение относительно sin x и cos x . Раскрывая синусикосинуссуммыиразностиигруппируячлены, имеем

sin x cos5 sin 2 sin7 cos x sin5 cos2 cos7 0.

Так как cos5 0, sin 2 0 , sin7 0 , то cos5 sin 2 sin7 0 и послед-

Решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции

При решении уравнений, связанных с аркфункциями, используется свойство однозначности тригонометрических функций, заключающееся в том, что равным аргументам соответствуют равные значения одноименных тригонометрических функций, если они имеют смысл для этих аргументов.

Вычисляя эти функции от аргументов, заданных в виде аркфункций, получаем более простое уравнение (например, алгебраическое). Проверка корней необходима, так как из условия равенства одноименных тригонометрических функций не всегда следует равенство их аргументов.

45

Пример 26. Решить уравнение

arcsin 53 x arcsin 54 x arcsin x .

Таким образом, имеем

53 x 1 1625 x2 54 x 1 259 x2 x .

Выделяя корень х = 0, после необходимых преобразований находим

Итак, получаем три корня х1=0, х2=–1, х3=1. Непосредственной подстановкой их в исходное уравнение убеждаемся, что все они подходят.

Ответ: 1, 0,1 .

Пример 27. Решить уравнение

2arcsin x arccos 1 x 0 .

Решение. Область допустимых значений – множество всех х, удовлетворяющих неравенствам x 1 и 1 x 1; отсюда следует, что 0 x 1.

Так как 0 x 1, то 0 2arcsin x и 0 arcsin x 2 . Поэтому сумма

этих выражений равна нулю в том и только в том случае, когда оба слагаемых обращаются в нуль одновременно, т.е.

2arcsin x 0 иarccos 1 x 0.

Последнее выполняется только при х = 0.

Ответ: 0.

46

Задания базового уровня сложности

Решите уравнения:

1.cos 45 x sin 45 x 0

2.cos 3x 1

2

3.cos 360 x 2sin 270 x 1

4.cos2x 2sin2 x

5.sin x cos x 1

6.cos4 x cos2 x 0

7.sin 2x 2sin x

8.tgx 1 cos x 0

9.tg2 x сtg2 x 2

10.2sin2 x 3cos 360 x

11.sin2 x 4sin xcos x 3cos2 x 0

12.cos2 x 3sin xcos x 1 0

13.2cos2 x 3sin xcos x 2sin2 x 0

14.cos6x cos8x

15.cos10x sin5x

16.sin xsin3x sin 4xsin8x 0

17.cos6xcos12x cos8xcos10x

18.sin x sin x sin x

2 2

19.sin2 x 3cos2 x 0

20.3sin2 x 5sin xcos x 0

Задания повышенного уровня сложности

Решите уравнения

С5. 2sin x tgx 2tgx cos x 0 С6. 6cos x ctgx 6ctgx sin x 0 С7. sin x tgx tgx 3cos x 0

47

С20. Решите уравнение 5cos2 x 12cos x 4 0 и найдите корни, при-

надлежащие отрезку 5 ; .

2

48

49

50