Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1891

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

или
	arcsin	1 2x	arctg	1 2x .
		2		1 2x
	1 2x		1 2x
Оба числа arcsin		и arctg		лежат в промежутке	0,		, в
Оба числа arcsin	2	и arctg	1 2x	лежат в промежутке	0,	2	, в
	2		1 2x			2

котором тангенс изменяется монотонно. Поэтому достаточно доказать, что

1 2x

tg arcsin

tg arctg

Последнее вытекает из равенства

1 2x

sin arcsin

tg arcsin

1 2x

sin2 arcsin

1 2x

1 2x .

1 1 2x

Задания базового уровня сложности

Вычислите:

1. 1 2 , если tg 2, II ч. 1 cos

2.tg tg sin2 , если cos 54 , III ч.

3.2sin 2 3cos2 , если tg 3, II ч. 4sin 2 5cos2

4.tg2 сtg2 , если tg ctg 3

5.	tg , если sin 3 , II ч., cos 0,8, II ч.
	5
6.	sin , если cos 0,6,	II ч., cos 0,28, IV ч.
7.	cos , если sin 3 , I ч., cos 0, III ч.
	5
8.	sin , если сtg 2 6,	III ч.

9. 1 5sin 2						3		, если tg 2
9. 1 5sin 2					cos2			, если tg 2
					cos2
10.	2 13cos2					1			, если сtg	1
10.	2 13cos2						sin 2		, если сtg	5
							sin 2		7 , IV ч.	5
11.	sin , если cos2								7 , IV ч.
12.									8
12.	5tg540 2cos1170 4sin990
13.	sin 25 cos65 sin2 115 cos2 245 sin2 295 cos2 335
14.		ctg44 tg226 cos406 ctg72 ctg18
			cos316
15.	1		2sin 2550 cos 188
15.		tg368
		tg368		2cos638 cos98

16. sin 20 cos10 cos160 cos100 sin 21 cos9 cos159 cos99

17. cos68 cos8 cos82 cos22

cos69 cos9 cos81 cos21 18. cos64 cos4 cos86 cos26

cos71 cos41 cos49 cos19

19.sin 24 cos6 sin 6 sin 66 cos21 cos39 sin39 sin 21

20.cos66 cos6 cos84 cos24 cos65 cos5 cos85 cos25

21.	arcsin		-	1		arctg					3 arccos 1
21.	arcsin		-	2		arctg					3 arccos 1
				2
							1
		cos arcsin					2
22.							2
22.							1
		tg arccos					2
							2
23.								1						3
								2						2
	arcctg				3				arcsin				-
24.						-	1			cos		arctg -			3
24.	ctg arcsin					-	2			cos		arctg -			3
							2

25.tg arcsin 8

26.cos arcsin - 8 arccos 3

17 5

Упростите выражения:

27. sin 180 cos 90 ctg 360 tg 270

28. 1 сtg2 сtg tg сtg

29. tg 45 1 tg 1 tg

30.

1 sin 2

cos 2

2 ctg

31.

tg2 sin2 сtg2 cos2

32.

sin cos 2 sin cos 2

33.

cos2

tg сtg

34.

sin cos 2 1

2tg2

ctg sin cos

35.

1 сtg2

сtg 1

tg 1

36.

tg2

1 сtg2

1 tg4

1 tg2

сtg2

tg2 сtg2

37.cos 25 cos 45

38.sin4 16 sin4 163 sin4 165 sin4 167

39.sin 103 sin 10

Докажите тождества:

40.2cos2 sin4 tg2 45 2cos2 sin4

									3
						cos										1
						cos			2
41. ctg									2
41. ctg						1-cos									sin
	sin		2		cos			2		3				sin
	sin				cos						2			sin			2
42.											2						2		2tg2
42.	tg	2			cos		2					3				2			2tg2
		2					2					3				2
												2	sin				2	2
				2								2					2	2

43. cos2 cos2 cos2 cos2 1
44.	sin3		cos3 2
	sin		cos
45. cos cos cos2 sin2

		tg		tg	4
46.		4			4		sin 2
46.				сtg			sin 2

	сtg
		4			4
47. sin 70 sin50 sin10 1
						8
48. cos105 sin195 sin 135										2
48. cos105 sin195 sin 135										2
49. 16sin 20 sin 40 sin 60 sin80 3										2
49. 16sin 20 sin 40 sin 60 sin80 3
							ОТВЕТЫ

1			1,25			14				0	27	1
2			0,48			15				1	28	0
3			7			16				1	29	-1
4			0			17		-1			30	1
5			0,8			18				1	31	2
6			-0,8			19				1	32	1
7			0,2			20				3	33	0
										2
8			2			21		-0,5			34	2
9			11,4			22			2		35	0
										3
10			-0,25			23		1 3			36	0
								2
11			-4			24				8	37	-0,5
								15
12			1			2				77	38	1,5
										85
13			1			26				0	39	0,5

§5. Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида:

1.sin x a .

2.cos x b .

3.tgx c .

4.сtgx d .

Решить уравнение sin x a – это значит найти все числа х (или углы), синус которых равен а. А все эти числа заключены в формуле

x 1 k arcsin a k, k Z .

Таким образом, при a 1 уравнение имеет бесчисленное множество решений и не имеет ни одного решения при a 1. Аналогично для

уравнения cos x b . Все его решения заключены в формуле x arccosb 2 n, n Z .

Уравнения tgx c и сtgx d имеютрешенияпри любых действительныхc

иd. Всеэтирешениязаключенысоответственновформулах

xarctgc m, m Z ,

xarcctgd l, l Z .

Рекомендуется помнить все эти формулы и их частные случаи, когда

а = 1, a = 0, b = 1, b = 0:
если sin x 1, то x		2 n,	n Z ;
	2

если sin x 1, то x 2 n, n Z ; 2

если sin x 0, то x n, n Z ; если cos x 1, то x 2 n, n Z ;

если cos x 1, то x 2 n, n Z ;

если cos x 0 , то x		n,	n Z .
	2

Пример 14. Решить уравнение

	5		1	.
sin	3	cos x	2	.
	3		2

Решение. Сразу находим, что						5	cos x 1 k		k, k Z , откуда
						3
	3		k 1					6
cos x		1			. Последнее	уравнение		имеет	решения для тех
	5		6	k

значений k, для которых 1 k 16 k 53 , т.е. для k = 0 и k = 1. При этих значениях n имеем три простейших уравнения:

1. cos x 101 , x1 arccos101 2 n, n Z ; x1 1 arccos101 2n, n Z .

2. cos x 1 ,						x			2 k,					k Z;
			2					2			3
x 1			2								3
x 1			2k,			k Z .
2		3
		3		7												7
				7												7
3. cos x							,		x3 arccos									2 m,	m Z ;
3. cos x				10			,		x3 arccos							10		2 m,	m Z ;
				10												10
x3		1								7		2m,		m Z .
			arccos
			arccos							10
										10
Ответ:
	1				1							1			1				7
		arccos						2n,					2k,				arccos			2m	,	n,m,k Z .
		arccos			10			2n,				3	2k,				arccos		10	2m	,	n,m,k Z .
					10							3							10

Отметим тригонометрические уравнения вида:

1.sin2 x a2 .

2.cos2 x b2 .

3.tg2 x c2 .

4.сtg2 x d 2 .

Все решения уравнения sin2 x a2 содержатся в формуле x arcsin a n, n Z .

Все решения уравнения cos2 x b2 имеются в формуле x arccosb k, k Z .

Все решения уравнения tg2 x c2 содержатся в формуле

xarctgc m, m Z ,

арешения уравнения сtg2 x d 2 – в формуле

xarcctgd l, l Z .

Если уравнение не является простейшим, то с помощью тождественных преобразований его нужно свести к одному или нескольким простейшим. При этом по возможности нужно избегать тех преобразований, которые нарушают равносильность.

Сведение тригонометрических уравнений

кпростейшим с помощью тождественных преобразований

Пример 15. Решить уравнение

cos10x cos8x cos6x 1 0 .

Решение. Сгруппируем первый член с третьим, второй с четвертым и каждую группу свернем в произведение. Имеем

cos10x cos6x 1 cos8x 0 ,

2sin8xsin 2x 2sin2 4x 0.

Чтобы получить общий множитель, преобразуем sin8x по формуле двойного аргумента

4sin 4xcos4xsin 2x 2sin2 4x 0 .

Один из множителей вычитаемого (sin 4x ) также развернем по формуле двойного аргумента

4sin 4xcos4xsin 2x 4sin 2xcos2xsin 4x 0 , sin 4xsin 2x cos2x cos4x 0 .

Последнее уравнение распадается на три уравнения

sin 4x 0, sin 2x 0,		cos2x cos4x 0 .
Решая каждое из них, находим	x n, n Z,
4x n,	x n, n Z,
1	1	4
		4
2x k,	x k, k Z.
2	2	2
		2

Так как

cos2x cos4x 2sin xsin3x 0,

то

x3 m, m Z,

3x4 l, x4 3 l, l Z.

Если решение тригонометрического уравнения получено в виде нескольких формул, то необходимо проверить, не повторяют ли эти

формулы одни и те же значения х. Так, в нашем случае x2 2 k содержится

в формуле x1 4 n , а x3 m – в х1 или в х4. Значит, формулы х2 и х3 не

дают ничего нового по сравнению с х1 и х4 (они входят в них). Поэтому лишние формулы отбрасываем, и окончательно получаем:

						x		n, n Z,										x l,						l Z .
					1				4									4				3
Ответ: n,			l						4													3
Ответ: n,			l			n, l Z .
4			3
Пример 16. Решить уравнение
			cos2x						3		cos x sin x											1	cos x sin x .
			cos2x								cos x sin x											2	cos x sin x .
									2													2
Решение. Переходим от аргумента 2х к аргументу х и вынося за скобки
общий множитель cos x sin x , имеем
																								3				1
			cos x sin x cos x sin x																										0.
			cos x sin x cos x sin x																					2				2	0.
																								2				2
Данное уравнение распадается на два
				cos x sin x 0 или																										0 .
				cos x sin x 0 или															2 sin					4		x				0 .
																								4
	cos x sin x									3 1														x
															или			2 cos												2 cos						,
										2					или			2 cos					4							2 cos			12			,
										2													4										12
		3		1	cos					cos						2cos						cos
																														2 cos					.
		2		2					6						3					4					12					2 cos		12			.
		2		2					6						3					4					12							12
													0		находим x1												n, n Z .
Из уравнения sin x									4				0		находим x1										4		n, n Z .
									4																4

Из уравнения cos x													cos					следует, что
Из уравнения cos x									4				cos			12		следует, что
									4							12

									cos x								cos						0,
									cos x							4	cos				12		0,
	x															4					12
												x
												x													x									x
2 sin			4		12		sin							4			12								x									x
			4		12									4			12		2 sin												sin							,
			2																2 sin								2				sin				2			,
			2												2												2			6					2		12

			x					0,			x			k,		x2			2 k,		k Z ,
		sin
		sin		2		6				2			6					3
				2		6				2			6					3
						x								x3			2 m,			m Z .
					sin					0,
					sin		2		12	0,						6
							2		12							6
Итак, все решения данного уравнения содержатся в формулах
x		n, n Z						, x 2 k, k Z ,										x			2 m, m Z .
1	4								2			3							3	6
	4											3								6
Ответ:				n,					2 k,
Ответ:			4	n,				3	2 k,					6	2 m , n, m, k Z .
			4					3						6

Пример 17. Решить уравнение

tgx tg2x tg3x .

Решение. Уравнение содержит тангенсы углов, поэтому необходимо указать ОДЗ входящих в него функций

					cos x 0,			cos2x 0, cos3x 0,
т.е. x		k,	x			k,	x		k,	k Z .
	2			2		2		6	3

Преобразуя сумму тангенсов в произведение и перенося tg3x в левую

часть уравнения, имеем
	sin3x	sin3x	0 .
	cos xcos2x	cos3x

После приведения к общему знаменателю получаем: sin3xcos3x sin3xcos xcos2x 0.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений

	sin3x 0	и cos 3x cos x cos 2x 0 .
Решая первое из них, получаем 3x				n, x n,		n Z . Во втором
			1	1	3
					3
уравнении произведение cos xcos2x преобразуем в сумму. Получаем:
1	cos3x cos x cos3x 0			или cos3x cos x ,
2
		2sin 2x sin x 0 ,
	x m, x l,			m, l Z .
	2	3	2
			2

Анализируя полученные формулы для х1, х2, х3, замечаем, что х1 и х2 удовлетворяют данному уравнению при всех целых значениях n, а из х3


нужно	исключить	углы	x3		2k 1			k , для которых
нужно	исключить	углы	x3	2			2	k , для которых
cos x3 0	n 2k 1 .			2			2
cos x3 0	n 2k 1 .			2k
Если же n = 2k,		то выражение		2k		k	входит в формулу для х2.
Если же n = 2k,		то выражение		2		k	входит в формулу для х2.
				2

Таким образом, все решения данного уравнения содержатся в формуле x 3 n, n Z .

Ответ: n , n Z .

Пример 18. Решить уравнение
						4sin 2x 20 cos 2x 200 3.
Решение. Замечая, что cos											2x 200 cos								2x 20 , имеем
						4sin		2x 20 cos 2x 20 3,
									17 sin 2x 20 3,
где arcsin			1		.
где arcsin			17		.
			17
Итак, получаем простейшее уравнение																	3
							sin 2x 20										3		,
							sin 2x 20									17			,
откуда находим, что																17
откуда находим, что
			2x 20 1 m arcsin												3	180 m,						m Z ,
			2x 20 1 m arcsin													180 m,						m Z ,
														17
x		180				1 arcsin				1		1 1 m arcsin						3			180			m,	m Z .
x						1 arcsin				17		1 1 m arcsin					17							m,	m Z .
	18					2				17		2					17					2
Ответ:
	180			1				1			1	1	m				3			180
	18			2		arcsin					2			arcsin						2			m ,		m Z .
						arcsin		17						arcsin			17						m ,		m Z .
								17									17

Пример 19. Решить уравнение

2cos2 80 x cos2x 1 sin 20 .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20243.53 Mб01887.pdf
#
16.06.20243.53 Mб01888.pdf
#
16.06.20243.53 Mб01889.pdf
#
16.06.2024220.86 Кб0189.pdf
#
16.06.20243.53 Mб01890.pdf
#
16.06.20243.54 Mб21891.pdf
#
16.06.20243.54 Mб01892.pdf
#
16.06.20243.54 Mб01893.pdf
#
16.06.20243.55 Mб01894.pdf
#
16.06.20243.55 Mб01895.pdf
#
16.06.20243.55 Mб21896.pdf