1775

величине вектора E , при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями постоянна.

Рис.1.29

Формула E grad выражает связь потенциала с напряженностью и

позволяет по известным значениям найти напряженность в каждой точке

поля. Можно решить и обратную задачу, т.е. по известным значениям E в каждой точке поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля. Для этого воспользуемся тем, что работа, совершаемая силами поля над зарядом q при перемещении его из точки 1 в точку 2,

может быть, вычислена по формуле:

2

A12 q (E,dl) .

1

С другой стороны эту работу можно представить в виде:

2

A12 q( 1 2 ) , тогда 1 2 (E,dl) .

1

Интеграл можно вычислять по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, так как работа сил поля не зависит от формы траектории движения заряда. Для обхода по замкнутому контуру 1 2 получим:

(Edl) 0 ,

т.е. циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются

31

на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах или уходят в бесконечность (см. рис. 1.29).

Это соотношение верно только для электростатического поля. Поле движущихся зарядов не является потенциальным, и для него это соотношение не выполняется.

1.15. Расчет потенциалов

простейших электростатических полей

Рассмотрим несколько примеров вычисления разности потенциалов между точками поля, созданного некоторыми заряженными телами.

1.15.1. Разность потенциалов между точками поля, образованного двумя бесконечными заряженными плоскостями

где E напряженность электростатического поля между заряженными

0

плоскостями; Sq поверхностная плотность заряда.

Чтобы получить выражение для разности потенциалов между плоскостями, проинтегрируем выражение (1.54):

На рис.1.30 изображены графики зависимости напряженности E и потенциала от расстояния между плоскостями.

32

Рис.1.30

1.15.2. Разность потенциалов между точками поля, образованного бесконечно длинной цилиндрической поверхностью

33

Между цилиндрами ( R1 r R2 ):

Вне цилиндров 0 .

На рис. 1.32 изображена зависимость напряженности E и потенциала от r .

1.15.4. Разность потенциалов между точками поля, образованного заряженной сферой (пустотелой)

Напряженность поля сферы (рис. 1.33) определяется по формуле

35

1.15.5. Разность потенциалов внутри диэлектрического заряженного шара

Рассмотрим диэлектрический шар (рис. 1.34), заряженный с объемной плотностью

Из последней формулы находим, что: в центре шара ( r 0)

3q ; 8 0R

внутри шара ( r R )

на поверхности и вне шара ( r R )

q . 4 0r

Как видно, с помощью теоремы Гаусса сравнительно просто можно рассчитать величины E , u , от различных заряженных поверхностей.

36

Напряженность поля в вакууме изменяется скачком при переходе через заряженную поверхность.

Потенциал поля – всегда непрерывная функция координат.

1.16. Поляризация диэлектриков

Все известные в природе вещества, в соответствии с их способностью проводить электрический ток, делятся на три основных класса: диэлектрики, полупроводники и проводники. Если удельное сопротивление у провод-

ников равно пр 10 8 10 6 Ом/м, то у диэлектриков д 108 1018 Ом/м, а

полупроводники занимают промежуточную область д п/п пр .

В идеальном диэлектрике свободных зарядов, то есть зарядов, способных перемещаться на значительные расстояния (превосходящие расстояния между атомами), нет. Но это не значит, что диэлектрик, помещенный в электростатическое поле, не реагирует на него, что в нем ничего не происходит.

Любое вещество состоит из атомов, образованных положительными ядрами и отрицательными электронами. Поэтому в диэлектриках происходит поляризация.

Поляризацией называется смещение электрических зарядов вещества под действием электрического поля. Способность к поляризации является основным свойством диэлектриков.

Видов поляризации много.

Поляризуемость диэлектрика включает электронную, ионную и ориентационную (дипольную) составляющие (рис. 1.35).

Рис.1.35

37

Электронная поляризуемость обусловлена смещением электронной оболочки атома относительно ядра. Ионная поляризуемость вызвана смещением заряженных ионов по отношению к другим ионам. Ориентационная (дипольная) поляризуемость возникает, когда вещество состоит из молекул, обладающих постоянными электрическими дипольными моментами, которые могут более или менее свободно изменять свою ориентацию во внешнем электрическом поле.

Существуют и другие виды поляризации. Главное в поляризации – смещение зарядов в электростатическом поле. В результате, каждая молекула или атом образует электрический момент p (рис. 1.36):

Электрический момент p пропорционален

напряженности E электростатического поля в

Рис.1.36 месте нахождения молекулы, то есть внутри вещества.

К чему приводит поляризация? Рассмотрим рис. 1.37.

Рис.1.37

Внутри диэлектрика электрические заряды диполей компенсируют друг друга. Но на внешних поверхностях диэлектрика, прилегающих к электродам, появляются заряды противоположного знака (поверхностно связанные заряды).

Обозначим E – напряженность электростатического поля связанных зарядов. Оно направлено против внешнего поля с напряженностью E0 .

Следовательно, величина напряженности результирующего электростатического поля внутри диэлектрика

38

Таким образом, напряженность электростатического поля внутри диэлектрика всегда меньше напряженности внешнего поля. Выясним, во

Поверхностная плотность поляризационных зарядов равна нормальной составляющей вектора поляризации в данной точке поверхности.

Отсюда следует, что индуцированное в диэлектрике электростатическое поле будет влиять только на нормальную составляющую вектора

напряженности E электростатического поля в диэлектрике. Вектор поляризации можно представить так:

чивость – макроскопическая безразмерная величина, характеризующая поляризацию единицы объема.

39

Следовательно, и у результирующего поля изменяется только нормальная составляющая вектора напряженности E , по сравнению с E0 . Танген-

Напряженность электростатического поля в диэлектрике равна напряженности внешнего поля, деленной на диэлектрическую проницаемость среды :

Величина 1 характеризует электрические свойства диэлектрика.

– величина, показывающая во сколько раз напряженность электростатического поля внутри диэлектрика меньше, чем в вакууме:

С учетом этого обстоятельства, при наличии диэлектрической среды во все формулы электростатики вносят поправки. Например, теорему Гаусса записывают в виде:

График зависимости напряженности поля шара от расстояния r , с учетом диэлектрической проницаемости двух сред ( 1 и 2 ), показан на

рис. 1.39.

Как видно из рисунка, напряжен-

ность поля E изменяется скачком при переходе из одной среды 1 в другую

2 .

Рис.1.39

1.17. Различные виды диэлектриков

До сих пор мы рассматривали диэлектрики, которые приобретают электрический момент во внешнем электростатическом поле. Но есть и другие диэлектрики, например, сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики.

40