1775

Механические силы, действующие между заряженными телами, назы-

вают пондермоторными.

Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:

Это формула для расчета пондермоторной силы.

1.9.3. Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R , заряженной с постоянной линейной плотностью dqdl , где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 1.22).

Если уменьшать радиус цилиндра R (при const ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при R 0 , получить нить.

Рис.1.23

1.9.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с линейной плотностью , одинаковой по модулю, но разного знака

Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать

E0 (рис. 1.24).

Взазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:

E(r) . 2 0r

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины ци-

Рис.1.24 линдров (цилиндрический конденсатор).

1.9.5. Поле заряженного пустотелого шара

Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью . Поле в данном случае будет

центрально симметричным, E – в любой точке проходит через центр шара.

E E(r) , и силовые линии поля перпендикулярны поверхности шара в

любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 1.25).

Если r R то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q ,

распределенный по сфере, тогда

ФE E(r)S E(r)4 r2 q ,

0

23

откуда напряженность поля вне сферы:

Внутри сферы, при r R поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов: E(r) 0 .

Как видно из (1.33) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.

Рис.1.25

1.9.6. Поле объемного заряженного шара

Для поля вне шара радиусом R (рис. 1.26) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:

Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем:

ФE E(r)S E(r)4 r2 1 4 r3 ,

0 3

т.е. внутри шара

24

1.10 Теорема о циркуляции вектора напряженности

Для того, чтобы доказать, что электростатическое поле потенциально, нужно доказать, что силы этого поля консервативны. Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от формы траектории, а зависит только от положения конечной и начальной точек.

Вычислим работу, которую совершает электростатическое поле, со-

Из формулы (1.35) видно, что работа электростатических сил не зависит от формы траектории, а только лишь от координат начальной и конечной точек перемещения. Следовательно, силы поля электростатического поля консервативны, а само поле – потенциально.

25

Этот вывод можно распространить и на поле, созданное системой зарядов, так как по принципу суперпозиции полей: E Ek .

k

Если в качестве пробного заряда, перенесенного из точки 1 (рис. 1.28) поля в точку 2, взять положительный единичный заряд q , то элементарная

работа сил поля будет равна:

Из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути:

вольную замкнутую траекторию на две части: 1а2 и 2b1 (рис. 1.28). Из сказанного выше следует, что

Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным. Любое электростатическое поле является потенциальным.

1.11. Работа электростатического поля

Электростатическое поле потенциальное. Следовательно, можно ввести функцию состояния, зависящую от координат – потенциальную энергию.

26

Исходя из принципа суперпозиции сил F Fk , можно показать, что

k

общая работа A при перемещении заряда q будет равна сумме работ каждой силы:

A Ak .

k

Здесь каждое слагаемое не зависит от формы траектории, следовательно, не зависит от формы траектории и сумма работ.

Работу сил электростатического поля можно выразить через убыль потенциальной энергии – разность двух функций состояний:

Сопоставляя формулы (1.39) и (1.40), получаем выражение для потенциальной энергии заряда q в поле заряда q :

Потенциальную энергию определяют с точностью до постоянной интегрирования.

Значение константы в выражении для W выбирают таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (т.е. при r ), потенциальная энергия обращалась в нуль.

Выражение (1.41.) справедливо для одного заряда. Для системы зарядов суммарная энергия

W Wk .

k

1.12. Потенциал электростатического поля

Разные пробные заряды q ,q ,… в одной и той же точке поля обладают

являющуюся энергетической характеристикой электрического поля и называемую потенциалом:

Потенциал в данной точке электрического поля – скалярная физическая величина, численно равная потенциальной энергии, которой обладает в этой точке поля единичный положительный заряд.

Подставив в (1.42) значение потенциальной энергии, получим выражение для потенциала в точке поля, созданного точечным зарядом:

Потенциал, как и потенциальную энергию, определяют с точностью до постоянной интегрирования. Поскольку физический смысл имеет не потенциал, а разность потенциалов, поэтому договорились считать, что потенциал точки, удаленной в бесконечность, равен нулю. Когда говорят о потенциале такой-то точки, имеют в виду разность потенциалов между этой точкой и точкой, удаленной в бесконечность.

Другое определение потенциала:

Aq или A q ,

т.е. потенциал численно равен работе, которую совершают силы электрического поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки поля в бесконечность (или наоборот – такую же работу нужно совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля). При этом 0 , если q 0.

Если поле создается системой зарядов, то, используя принцип суперпозиции, получаем:

Тогда и для потенциала k , или

k

т.е. потенциал поля, создаваемый системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

28

Выразим работу сил электростатического поля над зарядом q через

разность потенциалов между начальной и конечной точками его траектории:

Таким образом, работа над зарядом q равна произведению заряда на убыль потенциала. То есть

A q( 1 2 ) qU .

где U – напряжение.

1.13. Связь напряженности и потенциала

Электростатическое поле можно описать либо с помощью векторной величины E , либо с помощью скалярной величины . Очевидно, что меж-

ду этими величинами должна существовать определенная связь. Найдем ее. Пусть заряд q движется по произвольной траектории длиной l в

электростатическом поле с напряженностью E .

Работа, совершенная силами электростатического поля на бесконечно

С другой стороны, эта работа равна убыли потенциальной энергии заряда, перемещенного на расстояние dl :

dA qd , El qdl qd ,

откуда

l dl

Для ориентации dl (направление перемещения) в пространстве, надо знать проекции E на оси координат:

29

Сумма первых производных от какой-либо функции по координатам есть градиент этой функции, то есть

grad x i y j z k .

Знак минус означает, что вектор E направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.

1.14. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

Направление силовой линии (линии напряженности) в каждой точке

поля совпадает с направлением вектора E . Отсюда следует, что напряжен-

ность E равна разности потенциалов U , приходящейся на единицу длины

силовой линии.

Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение

потенциала. Поэтому всегда можно определить E между двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь опре-

делить E наиболее просто:

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение этой поверхности имеет вид

Графическое изображение силовых линий и эквипотенциальных поверхностей показано на рис. 1.29.

При перемещении по этой поверхности на dl потенциал не изменится: d 0. Отсюда следует, что проекция вектора E на dl равна нулю, то есть El 0 . Следовательно, вектор напряженности E в каждой точке направлен

по нормали к эквипотенциальной поверхности.

Эквипотенциальных поверхностей можно провести сколь угодно много. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о

30