1737

BUILDING STRUCTURES, BUILDINGS AND CONSTRUCTIONS

СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ

BUILDING STRUCTURES,

BUILDINGS AND CONSTRUCTIONS

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ ГРУНТОВЫХ ОСНОВАНИЙ, ПРИМЕНЯЕМЫХ ПРИ РАСЧЕТЕ ТРАНСПОРТНЫХ СООРУЖЕНИЙ

И.Г. Овчинников, Ю.П. Скачков, И.И. Овчинников, Б.С. Юшков

Приводится сравнительный анализ различных моделей грунтовых оснований, используемых при моделировании поведения жестких дорожных одежд на основаниях. Для сравнения используется прием, основанный на анализе модели с точки зрения простоты её использования и адекватности описания ею реального поведения грунтового основания.

Ключевые слова: модель грунтового основания, моделирование транспортных сооружений, анализ моделей.

СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ

COMPARATIVE ANALYSIS OF SOIL FOUNDATION MODELS

USED IN THE CALCULATION OF TRANSPORT

CONSTRUCTIONS

I.G. Ovchinnikov, Y.P. Skachkov, I.I. Ovchinnikov, B.S. Yushkov

A comparative analysis of different soil foundation models used in modeling rigid pavement behavior on the grounds is considered. For comparison they use a method, based on the model analysis from the point of how easy it is to use it and how adequaitely it describes the real behavior of the ground foundation.

Keywords: models of the soil foundation, simulation of transport constructions, models analysis.

Плиты жестких дорожных одежд приходится рассчитывать, схематизируя природные механические процессы, протекающие в грунтах, заменяя основание расчетной механической, а затем математической моделью. Область применения той или иной модели включает в себя несколько аспектов, а именно:

1)конструкции, для расчета которых используется модель;

2)виды грунтов;

3)работы, в которых для расчетов используется та или иная модель.

Ошибки из-за применения моделей, не соответствующих действительным свойствам грунтового основания, особенно сильно сказываются на количестве арматуры в железобетонных плитах покрытия. Поэтому вопросу рационального выбора расчетной модели и соответствующего ей метода расчета следует уделять серьезное внимание.

Рассмотрим наиболее распространенные модели грунтовых оснований.

Первая модель грунтового основания была предложена в 1801 году в России Н.И. Фуссом для расчета глубины колей, возникающих после проезда экипажей по грунтовым дорогам [6]. Механические свойства материала в модели характеризуются коэффициентом остаточной осадки Со, который автор модели связывал с углом естественного откоса грунта.

Одной из первых и наиболее распространенных моделей грунта является модель Винклера [7, 8, 9]. Сохранив основные свойства модели Фусса, модель Винклера характеризует грунт как упругую макросистему без остаточных деформаций после снятия нагрузки. Эту модельтакженазываютлинейной моделью местных деформаций [10].

А.С. Григорьев [11] дополнил свойства модели Винклера способностью развития остаточных деформаций за счет пластического течения материала при увеличении предельного давлениясверхпределатекучести, введятемсамымвтороймеханическийпараметр.

В инженерной практике часто встречаются случаи, когда плита лежит на основании с анизотропными свойствами. Таким основанием может быть грунт с наклонным расположением пластов или сланцеватый скальный грунт, а также искусственное основание с различным наклоном и расположением свай [12]. Модель Винклера является эффективной для грунтов, особенно связных, в переувлажненном состоянии, а также предпочтительна при проектировании аэродромных покрытий, особенно в водонасыщенных песках и супесях [10].

Более сложной моделью упругого основания является модель упругого полупространства, особенностью которой является наличие распределяющего эффекта, выражающегося в упругих осадках поверхности грунта за пределами штампа [9]. Механическим аналогом его является система пружин, скрепленных сверху шарнирами [8]. Эта модель часто используется при расчетах прогибов и напряжений дорожных и аэродромных одежд, особенно при расчетах на кратковременные нагрузки. Первые экспериментальные исследования в этом направлении были сделаны в России П.А. Миняевым [9]. В числе применявших эту модель к расчету осадок сооружений и дорожных одежд следует назвать Н.Н. Иванова [13], Г.Э. Проктора, Н.П. Пузыревского [9]. Материал модели сплошной, и развитие деформаций местного характера в нем невозможно. Деформации вполне упругие, линейно связаны с напряжениями и полностью исчезают после снятия нагрузки. Продольные деформации сопровождаются поперечными, определяющимися коэффициентом Пуассона.

BUILDING STRUCTURES, BUILDINGS AND CONSTRUCTIONS

Для модели линейно деформируемого полупространства характерны способность грунта образовывать остаточные деформации под штампом и упругая осадка вокруг штампа при нагружении, а после снятия нагрузки – остаточная деформация за пределами штампа [4, 9]. Связь между нагрузкой и деформацией в линейно деформируемом полупространстве линейна. Существенный недостаток модели упругого полупространства заключается в полном игнорировании остаточных деформаций, в то время как большинству естественных грунтов свойственно одновременное развитие как восстанавливающихся, так и остаточных деформаций. С целью преодоления этого противоречия Н.Н. Иванов [13] предложил обобщённый параметр – коэффициент оседания, учитывающий и упругие, и остаточные деформации грунта, а Н.М. Герсеванов [14] вместо модуля упругости и коэффициента Пуассона при расчетах грунтовых оснований методами теории упругости использовал другие параметры, также отражающие и упругие, и остаточные деформации, а именно модуль полной деформации Еп и коэффициент Пуассона для полной деформации mп. Эта замена была обоснована тем, что при небольших изменениях напряжений в грунте, возникающих при возведении сооружений, полные деформации, являющиеся не вполне упругими, связаны с напряжениями линейной зависимостью.

Наблюдения показали, что механические свойства грунтовых оснований при нагружении и снятии нагрузки различны. Поэтому были введены дополнительные параметры, характеризующие поведение линейно деформируемого полупространства при снятии нагрузки, – модуль упругости Ев и коэффициент Пуассона mв. При нагружении модель ведет себя так же, как и упругое полупространство, но после снятия нагрузки штамп и окружающая поверхность грунта модели образуют своеобразную остаточную воронку вдавливания с пологими криволинейными бортами, уходящими в бесконечность. Применение модели линейно деформируемого полупространства к расчетам дорожных и аэродромных покрытий сопровождалось резкой критикой моделей Фусса и Винклера, причем сторонники новой модели ссылались на экспериментальные факты, противоречащие свойствам моделей, учитывающих только местные свойства основания. Вначале Фепплем и Бастианом [15] был установлен факт распространения упругих деформаций в стороны от штампа, а затем в ряде опытов была обнаружена прямая пропорциональность между осадкой штампа и его линейными размерами. Последующие опыты не подтвердили универсальной применимости модели линейно деформируемого полупространства, и Феппль сам отметил, что его опыты хотя и действительно обнаружили наличие распространяющихся в стороны восстанавливающихся деформаций в грунтах, но были недостаточными для обоснования универсальной применимости решений теории упругости к расчету природных грунтовых оснований.

Привлекает внимание к себе модель грунтового основания в виде сжимаемого слоя конечной мощности [7, 9]. Свойства сжимаемого слоя конечной мощности были подробно исследованы М.И. Горбуновым-Посадовым [16], Л.Н. Федуловой-Локкен- берг [17] и О.Я. Шехтер [9], разработавшей таблицы для расчета лежащих на сжимаемом слое грунта конечной мощности плит, которые использовались при проектировании жестких дорожных покрытий. Сжимаемый слой может быть упругим или линейно деформируемым. Его механические свойства в первом случае характеризуются двумя параметрами: Ев, и mв, а во втором – четырьмя: Еп, Ев, mп, mв. При нагружении штампом модель слоя грунта конечной мощности ведет себя как упругое полупространство в случае упругого слоя и как линейно деформируемое полупространство – в случае линейно деформируемого слоя. Однако степень распространения деформаций зависит от отношения толщины слоя к диаметру штампа. При бесконечно большой толщине слоя модель превращается в однородное упругое полупространство, при малых толщинах приобретает свойства модели Винклера, и ее деформации становятся местными.

Модель П.Л. Пастернака, характеризуемая двумя коэффициентами постели: коэффициентом сжатия и коэффициентом сдвига [9], – принимается в качестве расчетной при проектированиижесткихдорожныходеждсмонолитнымиисборнымипокрытиями.

СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ

Оригинальна модель А.П. Синицына [10, 18], в которой верхний слой имеет остаточные деформации, как в модели Фусса, а нижний представляет собой упругое полупространство. Большинство ранее описанных моделей не допускает одновременного развития местных и общих деформаций. Между тем такие явления наблюдаются при сжатии двух соприкасающихся тел и при осадке сооружений. А.П. Синицын, объясняя увеличение осадок сооружений относительно смежных точек поверхности грунта пластическими деформациями сдвига в поверхностном, наиболее напряженном слое грунта, предложил модель, которую можно представить в виде остаточно-дефор- мируемого слоя конечной мощности, лежащего на поверхности упругого полупространства. Верхний слой обладает способностью к местным деформациям и не может развивать деформаций общего характера. Его толщина определяется глубиной зоны пластических деформаций, возникающих под фундаментом. Штамп, установленный на поверхности модели А.П. Синицына, при нагружении даёт осадку, слагающуюся из местной осадки вследствие обжатия верхнего слоя и общей осадки, вызываемой упругими деформациями модели в целом. Модель характеризуется коэффициентом местной осадки, модулем упругости Ев и коэффициентом Пуассона mв.

И.Я. Штаерман обратил внимание на то, что любая поверхность всегда обладает известными неровностями и абсолютно плотное прилегание практически неосуществимо [19]. В связи с этим при сжатии соприкасающихся тел происходят два процесса: местные деформации неровностей в контакте и общие деформации обоих тел в целом. И те, и другие деформации автор модели считает упругими и подчиняющимися закону Гука. Модель И.Я. Штаермана аналогична модели А.П. Синицына, уравнения полной осадки и осадки точек поверхности определяются так же, как и в модели А.П. Синицына. Модель пригодна для решения контактных задач теории упругости с учетом деформаций местных неровностей поверхностей соприкасающихся тел.

М.М. Филоненко-Бородич указал на возможность построения таких моделей упругого основания [20], которые давали бы теорию, более совершенную, чем теория прямой пропорциональности, и вместе с тем не связанную с математическими трудностями, которые возникают при использовании теории упругого полупространства. Его модель представляет собой модель в виде винклеровской, перекрытой гибкой мембраной. В зависимости от механических свойств мембраны и основания деформации поверхности могут иметь различный вид.

Поскольку свойства естественного грунтового основания не отражаются целиком ни одной из существующих моделей, И.И. Черкасов и Г.К. Клейн предложили более совершенную модель, обладающую следующими свойствами [9]:

а) модель принимается в виде полупространства или сжимаемого слоя конечной мощности, её материал обладает способностью к одновременному развитию упругих деформаций общего характера и остаточных деформаций местного характера;

б) в части упругих деформаций модель подчиняется законам теории упругости для однородного или неоднородного полупространства или для сжимаемого слоя конечной мощности при соблюдении линейной зависимости между напряжениями и деформациями. Остаточные деформации принимаются пропорциональными ширине штампа и, в общем случае, нелинейно связаны с напряжениями;

в) материал модели наделяется способностью к упрочнению, в результате которого, в частных случаях, может иметь место появление участков вполне упругих деформаций или участков, в пределах которых связь остаточных деформаций с напряжениями может быть принята линейной;

г) механические свойства материала модели в неупрочненном состоянии характеризуются тремя параметрами, которые получаются путем обработки опытных данных о связиостаточныхивосстанавливающихсяосадоксосреднимудельнымдавлениемштампа.

Подобными свойствами обладает модель В.З. Власова [21], преимущество которой заключается в применении удобного математического аппарата, позволяющего решать задачи расчета балок и плит на упругом основании проще, чем при использовании упругого полупространства. Эта модель получена с помощью некоторых допущений о распределении деформаций в слое грунта исходя из общих уравнений теории

BUILDING STRUCTURES, BUILDINGS AND CONSTRUCTIONS

упругости. В плоской обобщённой модели упругого основания с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно определить напряженно-дефор- мированное состояние упругого основания, принимаемого за линейно деформируемую среду конечной толщины Н в условиях плоской деформации. Можно считать, что дифференциальными уравнениями характеризуется плоская обобщённая модель упругого основания, построенная на базе общего вариационного метода, с помощью которого можно получать, выбирая для ограниченного числа определенных функций различные выражения, ряд моделей упругих оснований, приближенных с точки зрения теории упругости, но достаточно точных с точки зрения практических приложений. Большинство из тех расчетных моделей упругих оснований, которые могут быть получены на базе общего вариационного метода, оказываются более простыми. В работе [21] В.З. Власовым и Н.Н. Леонтьевым было предложено в качестве примеров несколько моделей, полученных на основе этого метода.

Попытка классифицировать грунтовые основания по ряду признаков была предпринята М.А. Железниковым[8], которыйподразделяетгрунтовыеоснованиянатрикласса:

1)модели, ассоциирующиеся с системой не связанных между собой пружин (Фусс, Винклер, Уэстергард);

2)«интегральные» модели, ассоциирующиеся с системой связанных между собой пружин (упругое полупространство, сжимаемый слой конечной мощности, двухслойное упругое основание);

3)«дифференциальные» – по виду дифференциального оператора, устанавливающего связь между прогибом и реактивным давлением (М.М. Филоненко-Бородич, П.Л. Пастернак, В.З. Власов).

Отметим некоторые другие подходы к этой проблеме, предложенные различными авторами. Так, например, Вигхардтом [7, 16] выдвинута гипотеза, по которой связь между давлением и осадкой выражается через убывающую экспоненциальную функцию, однако до конца им был доведен лишь пример расчета балки под равномерную нагрузку. Все предложения Вигхардта, М.М. Филоненко-Бородича, В.З. Власова и П.Л. Пастернака для балок дают одно и то же дифференциальное уравнение, несмотря на различие в исходных идеях и гипотезах. Кроме того, все эти модели обладают одним и тем же недостатком: у концов балок и по краям плит вне зависимости от их жесткости при расчете выявляются реакции в виде сосредоточенных сил. Поперечные силы у краёв или на концах конструкций отличны от нуля даже тогда, когда эти края свободны и не несут никакой нагрузки. И, главное, грунт не может принимать воздействие в виде сосредоточенных сил. Здесь концентрация нагрузки на грунт оказывается ещё более высокого порядка, чем это получается в теории упругости, где под краями конструкций давление на грунт бесконечно велико, тогда как именно бесконечно большие значения реактивного давления под краями конструкций являются предметом критики гипотезы упругого полупространства, так как они вызывают повышенное значение изгибающих моментов и при реальном грунте возникать не могут: грунт при таких давлениях переходит в пластическое состояние, и давление падает.

М. Хетенли [7] предложил упрощённую разновидность модели М.М. ФилоненкоБородича, где внутри пружин винклеровского основания заложена балка или плита какой-нибудь заданной жесткости. Комбинацию упругого полупространства и винклеровской модели предложил Л.Н. Репников [22]. Здесь упругие пружины работают внутри упругого полупространства, причем осадки пружин и полупространства равны между собой. Таким образом, в этой модели упругое полупространство как бы армировано пружинами, но пружины внутри него работают без трения о полупространство. В.А. Барвашов и В.Г. Федоровский [23] предложили трехпараметрическую модель, в которой модель с двумя коэффициентами постели С1 и С2 Филоненко-Бородича накрывается слоем винклеровских пружин с жесткостью С3. Авторы назвали эту модель ССС. К расчету с использованием коэффициента жесткости примыкает способ М. Кани [7], в котором напряжение в основном определяется с учетом модели однородного упругого полупространства, но деформации в каждой точке поверхности рассматриваются как сумма обжатий отдельных слоёв в столбике грунта под этой

СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ

точкой от соответствующих напряжений. Получило распространение и предложение К.Е. Егорова [24], заключающееся в том, что в расчет вводится не упругое полупространство, а сжимаемый слой, ниже которого основание принимается несжимаемым.

С.С. Давыдов [25] вместо условия отсутствия касательных напряжений между слоем и несжимаемым основанием ввел условие отсутствия горизонтальных перемещений вдоль нижней границы слоя. Используя метод Б.Н. Жемочкина, С.С. Давыдов разработал алгоритм для расчета тех элементов подземных сооружений, которые работают как полосы на упругом полупространстве. В дальнейшем С.С. Давыдов так усовершенствовал свой метод расчета, что он позволил учитывать работу песчаной или щебеночной подготовки в предположении, что верхний слой грунта состоит из не связанных между собой столбиков.

Для большинства практических задач вполне приемлемы модели деформационного типа, отражающие при небольшом количестве параметров наиболее характерные деформационные свойства. В работе [26] рассмотрена модель среды с внутренним трением, являющаяся комбинацией билинейной деформационной модели и модели идеально пластического тела, в связи с чем в качестве её названия употреблен термин «модель билинейно деформируемой идеально пластической среды». Параметры представленной модели соответствуют общепринятым в проектной практике деформационным и прочностным характеристикам материалов.

Сопоставление некоторых из рассмотренных моделей с точки зрения их адекватности моделируемому эффекту и простоты их использования показано на рис. 1. На рис. 2 приведены схемы деформирования и графики вдавливания штампа для основных из представленных моделей.

Рис. 1. Сопоставление рассмотренных моделей:

1 модель Винклера; 2 модель упругого полупространства; 3 модель линейно деформируемого полупространства; 4 сжимаемый слой конечной мощности; 5 модель Черкасова – Клейна; 6 модель Власова –Леонтьева

В ы в о д . Наиболее простой, но в то же время наименее корректно описывающей поведение грунтового основания является модель Винклера. Модели упругого полупространства и линейно деформируемого полупространства занимают промежуточное положение – они имеют приемлемую адекватность и поддаются решению. Модели Черкасова – Клейна и Власова – Леонтьева обладаютсопоставимойадекватностью, однако модель Власова – Леонтьева, с нашей точки зрения, более удобна для реализации (отличаетсянесколькобольшейпростотой).

BUILDING STRUCTURES, BUILDINGS AND CONSTRUCTIONS

Модель Власова Леонтьева

Модель Черкасова – Клейна

Рис. 2. Схемы деформирования и графики вдавливания штампа

СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ

Список литературы

1.Малышев, М.В. Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений / М.В. Малышев. – М.: Стройиздат, 1994. – 228 с.

2.Support under portland cement concrete pavemants / Darter M.J., Hall K.T., Kuo Chen-Ming// NCHRP Rept/ Nat. Coop. Highway. Res program. – 1995. – №372. – С. 1-50.

3.Гук, Г.В. Полимерный бетон в автодорожном строительстве / Г.В. Гук. –

Львов: Свит, 1990. – 93 с.

4.Жесткие покрытия аэродромов и автомобильных дорог: учеб. пособие для

вузов / Г.И. Глушков [и др.]; под ред. Г.И. Глушкова. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Транспорт, 1994. 349 с.

5.Степушин, А.П. Обоснование параметров модели аэродромного покрытия из цементобетона / А.П. Степушин // Проектирование и строительство аэропортов: сб. тр.

МАДИ. – М., 1978. – Вып. 153. – Р. 118–123.

6.Бабков, В.Ф. Основы грунтоведения и механики грунтов / В.Ф. Бабков, А.В. Гербурдт-Гейбович. – М.: Автотрансиздат, 1956. – 308 с.

7. Горбунов-Посадов, М.И. Расчет конструкций на упругом основании / М.И. Горбунов-Посадов, Т.А. Маликова, В.И. Соломин. – М.: Стройиздат, 1984. – 679 с.

8.Железников, М.А. Методы расчета конструкций дорожных одежд под колесные и гусеничные нагрузки: обзор. информ. / Информавтодор. – М., 1994. – 60 с. – (Автомобильные дороги; Вып.1).

9.Черкасов, И.И. Механические свойства грунтовых оснований / И.И. Черкасов. –

М., 1958. – 156 с.

10.Смирнов, А.В. Прикладная механика дорожных и аэродромных конструкций: учебное пособие / А.В. Смирнов.– Омск, 1993. – 128 с.

11.Григорьев, А.С. Изгиб балок на упругопластическом основании / А.С. Григорьев // Тр. ЦАГИ. – М.: Изд-во ЦАГИ, 1946. – Вып. 600. – 30 с.

12.Кончковский, З. Плиты. Статические расчеты / З. Кончковский. – М.: Стройиздат, 1984. – 480 с.

13.Иванов, Н.Н. Конструирование и расчет нежестких дорожных одежд / Н.Н. Иванов. – М.: Транспорт, 1973. – 327 с.

14.Герсеванов, Н.М. Теоретические основы механики грунтов и их практические приложения / Н.М. Герсеванов, Д.Е. Польшин. – М.: Стройиздат, 1948. – 247 с.

15.Феппель, А. Теория сопротивления материалов и теория упругости / А. Феп-

пель. – СПб., 1901. – 420 с.

16. Горбунов-Посадов, М.И. Расчет конструкций на упругом основании / М.И. Горбунов-Посадов. – М.: Гос. изд-во лит. по стр-ву и архитектуре, 1953. – 627 с.

17.Федулова-Локкенберг, Л.К. Определение осадок фундаментов на упругом основании, подстилаемом скалой / Л.К. Федулова-Локкенберг // Материалы к IV Международному конгрессу по механике грунтов. – М.: Изд-во АН СССР, 1957. – С. 126-132.

18.Жемочкин, Б.Н. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании без гипотезы Винклера / Б.Н. Жемочкин, А.П. Синицын. – 2-е изд. – М.: Госстройиздат, 1962. – 239 с.

19.Штаерман, И.Я. Контактная задача теории упругости / И.Я. Штаерман. – М.: Гостехиздат, 1949. – 207 с.

20.Филоненко-Бородич, М.М. Некоторые приближенные теории грунтового основания / М.М. Филоненко-Бородич // Ученые записки МГУ. – 1940. – Вып.46. – С. 1-18.

21.Власов, В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В.З. Власов, Н.Н. Леонтьев. – М.: Физматгиз, 1960. – 491 с.

22.Репников, Л.Н. Расчет балок на упругом основании, объединяющем деформативные свойства основания Винклера и линейно деформируемой среды / Л.Н. Репников // Основания, фундаменты и механика грунтов. – 1967. – №6. – С. 15-28.

23.Барвашов, В.А. Трехпараметрическая модель грунтового основания и свайного поля, учитывающая необратимые структурные деформации грунта / В.А. Барвашов, В.Г. Федоровский// Основания, фундаментыимеханикагрунтов. – 1978. – №4. – С. 17-20.

24.Егоров, К.Е. О деформации основания конечной толщины / К.Е. Егоров // Основания, фундаменты и механика грунтов. – 1961. – №1. – С. 25-26.

25.Давыдов, С.С. Расчет и проектирование подземных сооружений / С.С. Давыдов. – М.: Стройиздат, 1950. – 376 с.

26.Копейкин, В.С. Взаимодействие изгибаемых конструкций с билинейно-дефор- мируемой идеально пластической средой: автореф. дис. … канд. техн. наук / В.С. Копейкин. – Саратов, 1997. – 34 с.

BUILDING STRUCTURES, BUILDINGS AND CONSTRUCTIONS

References

1.Malyshev, M.V. Soil strength and stability of the base constructions / M.V. Malyshev. – M.: Stroyizdat, 1994. – 228 p.

2.Support under portland cement concrete pavemants / Darter M.J., Hall K.T., Kuo Chen-Ming// NCHRP Rept/ Nat. Coop. Highway. Res program. – 1995. – №372. – P. 1-50.

3.Hooke G.V. Polymer concrete in road construction / G.V. Hooke. – Lviv: Sweet, 1990. – 93 p.

4.Hard pavements of airfields and roads: textbook manual for schools / G.I. Glushkov [and others]; ed. Glushkov. – 2 ed., Rev. and enlarged. – M.: Transport, 1994. – 349 p.

5.Stepushin, A.P. Justification of the model parameters of cement concrete airfield pavement / A.P. Stepushin // Design and construction of airports: Proc. / MADI. – M., 1978. – Vol. 153. – P. 118–123.

6.Babkov, V.F. Fundamentals of soil science and soil mechanics / V.F. Babkov, A.V. Gerburdt-Geybovich. – M.: Avtotransizdat, 1956. – 308 p.

7. Gorbunov-Posadov, M.I. Calculation of structures on elastic foundation / M.I. Gorbunov-Posadov, T.A. Malikova, V.I. Solomin. – M.: Stroyizdat, 1984. – 679 p.

8.Zheleznikov, M.A. Methods for the analysis of the pavement structures under wheeled and tracked load: overview. Information / Informavtodor. – M., 1994. – 60 p. – (Roads, Issue 1).

9.Cherkasov, I.I. The mechanical properties of soil bases / I.I. Cherkasov. – M., 1958. – 156 p.

10.Smirnov, A.V. Applied Mechanics road and airport construction: the manual / A.V. Smirnov. – Omsk, 1993. – 128 p.

11.Grigoriev, A.S. Bending of beams on elastic – plastic base / A.S. Grigoriev // Proceedings of TsAGI. – M.: Publishing House of TsAGI, 1946. – Issue. 600. – 30 p.

12.Konchkovsky, Z. Plates. Static calculations / Z. Konchkovsky. – M.: Stroiizdat, 1984. – 480 p.

13.Ivanov, N.N. Design and calculation of non-rigid pavements / N.N. Ivanov. – M.: Transport, 1973. – 327 p.

14.Gersevanov, N.M. Theoretical basis of soil mechanics and their practical application

/N.M. Gersevanov, D.E. Polshin. – M.: Stroiizdat 1948. – 247 p.

15.Feppel, A. Theory of strength of materials and theory of elasticity / A. Feppel. – St. Petersburg, 1901. – 420 p.

16.Gorbunov-Posadov, M.I. Calculation of structures on elastic foundation / M.I. Gor- bunov-Posadov. – M.: Transl. Publishing House of Literature on Construction and Architecture, 1953. – 627 p.

17.Fedulova-Lokkenberg, L.K. Determination of residue on elastic foundation underlain rock / L.K. Fedulova-Lokkenberg // Proceedings of the IV International Congress of Soil Mechanics. – M.: Publishing House of the USSR Academy of Sciences, 1957. – P. 126-132.

18.Zhemochkin, B.N. Practical methods for calculating the foundation beams and plates on elastic base without the hypothesis of Winkler / B.N. Zhemochkin, A.P. Sinitsyn. – Ed. 2nd. – M.: Gosstroiizdat, 1962. – 239 p.

19.Shtaerman, I.J. Contact problem of the theory of elasticity / I.J. Shtaerman. – M., Gostehizdat, 1949. – 207 p.

20.Filonenko-Borodich, M.M. Some approximate theories of subgrade / M.M. Filonen-

ko-Borodich // Proceedings of MGU. – 1940. – Vyp.46. – P. 1-18.

21. Vlasov, V.Z. Beams, plates and shells on elastic foundation / V.Z. Vlasov,

N.N.Leontiev. – M.: Fizmatgiz, 1960. – 491 p.

22.Repnikov, L.N. Analysis of beams on elastic foundation, which unites the deformation properties of Winkler foundation and linearly deformable medium / L.N. Repnikov // Bases, foundations and soil mechanics. – 1967. – №6. – P. 15-28.

23.Barvashov, V.A. Three-parameter model of the subsoil and pile field, taking into account irreversible structural deformation of soil / V.A. Barvashov, V.G. Fedorovsky // Bases, foundations and soil mechanics. – 1978. – №4. – P. 17-20.

24.Egorov, K.E. Deformation of the base with finite thickness / K.E. Egorov // Bases, foundations and soil mechanics. – 1961. – №1. – P. 25-26.

25.Davydov, S.S. Calculation and design of underground structures / S.S. Davydov. – M.: Stroiizdat, 1950. – 376 p.

26.Kopeikin, V.S. The interaction of flexible structures with bilinear deformable perfectly plastic medium: thesis of diss. Candidate. tech. Science / V.S. Kopeikin. – Saratov, 1997. – 34 p.

СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ

УДК 658.562

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ В СМЫСЛЕ И.И.ЭТЕРМАНА ПРИ АНАЛИТИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

А.М. Данилов, И.А. Гарькина

Рассматривается актуальная для приложений разработка методики аппроксимации таблично-графически заданных функций. Приводится пример реализации.

Ключевые слова: асимптотические полиномы, аппроксимация функций многих переменных.

ASYMPTOTIC POLYNOMIALS IN TERMS OF I.I.ETERMAN IN THE ANALYTICAL DESCRIPTION OF EXPERIMENTAL DATA

A.M. Danilov, I.A. Garkina

Development of table-graphically given functions approximation methods are discussed. The example of its implementation is given.

Keywords: asymptotic polynomials, approximation of functions of several variables.

Рассмотрим функцию F u,v , заданную таблично-графически на прямоугольнике

функции F u,v от первой переменной u при каждом из заданных значений второй

переменной v ).

Займемся ее аппроксимацией полиномом

R u,v A00 A10u A01v A20u2 A11uv A02v2 A21u2v A12uv2 A22u2v2.