1712

Т а б л и ц а 1 0 . 2 4

Т а б л и ц а 1 0 . 2 5

Т а б л и ц а 1 0 . 2 6

В табл. 10.26 блокируем ячейку 1001–9 и вводим фиктивный узел 1002 в вершину Б1, а затем вычеркиваем звено 2–8. Получаем новую матрицу, показанную в табл.10.27. В ней блокируем клетку 10–Б2 против зацикливания и включаем в маршрут звено 5–1002.

Т а б л и ц а 1 0 . 2 7

101

Далее в табл. 10.28–10.31 последовательно удаляем ветви: 10–Б3, 11–Б2, Б3"9, 1001–Б3 и 1002–7.

Т а б л и ц а 1 0 . 2 8

Рис. 10.7. Маршрут передвижения в фиктивном графе

102

В результате выполненных расчетов из исходной матрицы расстояний были вычеркнуты ветви: 13Ф–10, 8–13Ф, Б1–4, 12Ф–11, 7–12Ф, 6–Б1, 9–11Ф, 11Ф–6, 4–1001, Б2–8, 5–1002, 10–Б3, 11–Б2, Б3– 9, 1001–5, 1002–7.

Выполняем склейку ветвей и получаем фиктивный маршрут: Б1–4– 1001–5–1002–7–12Ф–11–Б2–8–13Ф–10–Б3–9–11Ф–6–Б1 (рис. 10.7).

Отбрасывая фиктивные узлы, находим оптимальный маршрут дли" ной 100 единиц (рис. 10.8): Б1–4–Б1–5–Б1–7–11–Б2–8–10–Б3–9–6–Б1.

Рис. 10.8. Оптимальный маршрут

10.2. Определение оптимальных маршрутов, выходящих из одного центра и заканчивающихся в разных узлах

Одной из задач является поиск нескольких радиальных маршрутов, выходящих из одного центра, который часто встречается при мелкопартионной развозке грузов (рис. 10.9). Обратно автомобиль совершает холостой пробег по самому короткому маршруту, который может быть найден методом «метлы».

Рис. 10.9. Схема графа двух радиальных маршрутов

На рис. 10.9 маршруты начинаются в вершине Н, а заканчиваются в вершинах К1 и К2.

При решении задачи необходимо придерживаться следующего алгоритма, состоящего из шести этапов.

103

На первом этапе вводится в центральный узел фиктивные узлы в количестве, равном числу маршрутов минус единица. Каждый фиктивный узел соединяется с действительными вершинами, которые являются смежными к центральному пункту. Длины фиктивных хорд равны величинам действительных связей между центральным пунктом и смежными вершинами. Между собой дополнительные узлы не соединены друг с другом.

На втором этапе составляется матрица полученных расстояний между пунктами транспортной сети.

На третьем этапе находится приведенная матрица, согласно методу «ветвей и границ», подробно разобранному в разд. 9.

На четвертом этапе в матрице вычеркиваются строки, содержащие номера узлов, из которых выходят маршруты, а также столбцы с номерами вершин в которые они входят. Это необходимо сделать для того, чтобы обеспечить приоритет движения от исходного центра к заданным конечным пунктам.

На пятом этапе над полученной матрицей повторяются операции приведения для тех строк и столбцов, в которых отсутствует ноль.

На шестом этапе рассматривается вопрос о выборе дуги, которую необходимо включить в маршрут при решении матрицы. Для этого создается оценочная матрица. Определяется для каждого нулевого элемента оценка. Она складывается из суммы наименьших чисел содержащихся в строке и столбце на его пересечении. В результате размер матрицы уменьшается. Теперь можно опять выполнять над ней операцию приведения и оценки. Они продолжаются до тех пор, пока останется матрица 2 2 и последняя вычеркиваемая ветвь не станет очевидной.

Описанный алгоритм решения задачи рассмотрим на примере, показанном на рис. 10.10. Исходная матрица расстояний для тран" спортного графа показана в табл. 10.32. Требуется определить два маршрута из пункта Б1 до пунктов Б2 и Б3 чтобы их суммарная длина была минимальной.

Т а б л и ц а 1 0 . 3 2

104

Т а б л и ц а 1 0 . 3 3

Т а б л и ц а 1 0 . 3 4

Т а б л и ц а 1 0 . 3 5

Т а б л и ц а 1 0 . 3 6

106

Выполняем операции приведения в столбце 4. Получаем табл. 10.36. Вычеркиваем в ней ячейку 5–8 с наибольшей оценкой 9.

Получается новая таблица 6 6 (табл. 10.37). Блокируем звено 8–5. Т а б л и ц а 1 0 . 3 7

Результат приведения матрицы и оценки нулевых элементов показан в табл. 10.38. В ней две ячейки имеют одинаковую оценку 3. В принципе можно вычеркнуть любую из них. Оптимальный маршрут устанавливается из сравнения всех вариантов. В данном примере рассмотрим случай вычеркивания ветви Б1–5.

107

В результате новая матрица имеет размер 4 4 (табл. 10.41). В ней блокируем ветвь 8–4 против зацикливания. Как показала оценка ее нулевых элементов, в восьми из них она одинакова. Можно вычер" кивать любую ветвь. Оптимальное звено устанавливается из сравнения вариантов. В ней приводим один оптимальный маршрут. Вычеркиваем ячейку 6–4 и получаем табл. 10.42.

Рис. 10.12. Схема кольцевого фиктивного маршрута

Рис. 10.13. Радиальные маршруты

108

Вней блокируем звено 8–6 и вычеркиваем ветвь 8–7.

Та б л и ц а 1 0 . 4 2

Получаем матрицу, в которой удаляем 7–Б2 и Ф1–6 (табл. 10.43).

В результате расчетов получаем фиктивный кольцевой маршрут: Б1–5–8–7–Б2–Ф1–6–4–Б3–1 (рис. 10.12). Отбрасывая фиктивный узел Ф1, получаем две оптимальные радиальные схемы передвижения: 1–5–8–7–2 и 1–6–4–3, каждая длиной 10 км (рис. 10.13).

10.3. Определение оптимальных маршрутов, начинающихся в одном и заканчивающихся в другом узле

Рассмотрим вариант использования внешних фиктивных узлов для расчета двух радиальных маршрутов, проходящих через единый, заранее заданный, контрольный узел (рис. 10.14).

Рис. 10.14. Схема транспортной сети

109

Если матрица расстояний будет симметричной, то из найденных радиальных маршрутов можно составить кольцевой маршрут опти" мальной длины.

Алгоритм решения задачи несколько отличается от вышерассмот" ренного примера.

На первом этапе вводится в исходный начальный и контрольный пункты маршрутов фиктивные узлы в количестве равном числу планируемых маршрутов минус единица. Далее каждый фиктивный узел соединяется с действительными смежными узлами, как это делалось в предыдущем примере. В дальнейшем алгоритм вычислений совпадает с рассмотренном ранее.

Методику решения подобного типа задач рассмотрим на примере транспортного графа, показанного на рис. 10.15. Требуется определить два маршрута, выходящих из пункта 1 в пункт 2, чтобы их суммарная длина была минимальной. Исходная матрица расстояний показана в табл. 10.44. После введения фиктивных узлов 8Ф и 9Ф получаем расчетный транспортный граф (рис. 10.16). Расчетная матрица расстоя" ний между пунктами приведена в табл. 10.45.

Рис. 10.15. Исходный транспортный граф

Т а б л и ц а 1 0 . 4 4

110