1663

Конечные матрицы D4 и S4 содержат всю информацию, необходимую

для определения кратчайших путей между любыми двумя узлами сети. Например, кратчайшее расстояние между узлами 1 и 5 равно d15 12 .

Для определения соответствующих маршрутов напомним, что сегмент маршрута(i, j) состоитизребра(i, j) толькотогда, когда sij j . Впротивном

случаеузлыi иj связаны, покрайнеймере, черезодинпромежуточныйузел. Например, поскольку s15 4 и s45 5, сначала кратчайший маршрут между

узлами 1 и 5 будет иметь вид 1 4 5 . Но так как s14 4, узлы 1 и 4 в определяемомпутинесвязаныоднимребром(новисходнойсетионимогут

быть связаны непосредственно). Далее следует определить промежуточный узел (узлы) между первым и четвертым узлами. Имеем s14 2 и s24 4 ,

поэтому маршрут 1 4 заменяем 1 2 4 . Поскольку s12 2 и s24 4 , других промежуточных узлов нет. Комбинируя определенные сегменты

маршрута, окончательно получаем следующий кратчайший путь от узла 1 до узла 5: 1 2 4 5. Длина этого пути равна 12 милям.

Вопросы для самоподготовки

1.Что такое сетевая модель?

2.Сформулируйте алгоритм построения минимального остовного дерева. Всегда ли возможно построить минимальное основное дерево? Какие ограничения в связи с этим накладываются на сетевую модель?

3.Сравнените алгоритмы Дейкстры и Флойда для решения задачи о кратчайших путях. Укажите сильные стороны каждого из алгоритмов. Чем стоит руководствоваться исследователю при выборе одного из этих алгоритмов для решения конкретной задачи?

4.Найти кратчайший путь в транспортной сети, заданной матрицей расстояний, между первым и последним населенным пунктами c помощью алгоритма Дейкстры и алгоритма Флойда (отсутствие числа в таблице означает, что прямой дороги между пунктами нет)

151

152

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, поиск оптимального решения в технических и экономических задачах, задачах оптимального управления, безусловно, является достаточно сложной проблемой, и она всегда будет интересна для исследователя. Однако широкий спектр подобных задач порождает целые классы математических постановок задач и предполагает использование соответствующих методов решения.

Основной задачей учебно-методического пособия явилось знакомство читателя с отдельными классами задач математического программирования: линейного, квадратичного, выпуклого, целочисленного, дробно-линейного, параметрического, стохастического, динамического программирования. Вданной работеавторы изложили основныеалгоритмы и методы наиболее изученного раздела, занимающегося изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения – линейного программирования, а также отдельного подкласса задач линейного программирования – транспортных задач. Кроме того, в работе представлен ряд существующих достаточно эффективных методов сетевого планирования и основ теории графов.

Стоит сказать, что знакомство с существующими алгоритмами построено таким образом, что оно не требует от читателя специальной математической подготовки и все представленные методы сопровождаются разобранными примерами, примерами для самостоятельной работы и контрольными вопросами, ответы на которые будут способствовать более глубокому пониманию материала.

Авторы надеются, что данное пособие поможет разобрать в понимании тех проблем, которые возникают при использовании математических методов, и даст возможность приобрести необходимые навыки в решении практических задач. Читатель, заинтересовавшийся рассматриваемыми вопросами, может обратиться к дополнительным публикациям, приведенным в списке литературы.

153

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Акулич, И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах [Текст]: учеб. пособие / И.Л. Акулич. – 2-е изд., испр. и доп. – М.:

Высш. шк., 1993. –336 с.: ил.

2.Ашманов, С.А. Линейное программирование [Текст] / С.А. Ашманов.

–М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. – 340 с.

3.Банди, Б. Основы линейного программирования [Текст] / Б. Банди; пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1989. – 176 с.

4.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1 [Текст]: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО

«Издательство «Мир и образование», 2003. – 304 с.

5.Калихман, И.Л. Сборник задач по математическому программированию [Текст] / И.Л. Калихман. – 2-е изд., доп. и перераб. – М.: Высш. шк., 1975. – 270 с.: ил.

6.Карасев, А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч.II. Теория вероятностей и математическая статистика. Линейное программирование [Текст]: учеб. пособие для студентов вузов / А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева. – М.: Высш. шк., 1982. – 320 с.

7.Карпелевич, Ф.И. Элементы линейной алгебры и линейного программирования [Текст]: учеб. пособие для технических вузов / Ф.И. Карпелевич и Л.Е. Садовский. – 3-е изд. испр. и доп., – М.: Наука. Гл. ред. физ.-

мат. лит., 1967. – 312 с.

8.Кузнецов, Ю.Н. Математическое программирование [Текст]: учеб. пособие для вузов / Ю.Н. Кузнецов, В.И. Кузубов, А.Б. Волощенко. – М.:

Высш. шк., 1976. – 352 с.

9.Лунгу, К.Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач [Текст] / К.Н. Лунгу. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. –128 с.

10.Микиша, А. М. Математика: основные термины: Толковый словарь: Более 3000 терминов [Текст] / А.М. Микиша. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003. – 448 с.

11.Сборник задач по высшей математике для экономистов: учеб. пособие [Текст] / под ред. В.И. Ермакова. – 2-е изд., испр.– М.: ИНФРА-М, 2009. – 575 с. – (Высшее образование).

12.Солодовников, А.С. Введение в линейную алгебру и линейное программирование[Текст] / А.С. Солодовников. – М.: Просвещение, 1966. – 184 с.

13.Таха, Хемди А. Введение в исследование операций [Текст] / Хемди А. Таха. – 7-е изд.; пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 912 с.

154

155