1556

Деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме осуществляется по формуле:

z1 r1 (cos 1 2 i sin 1 2 ), z2 r2

то есть, модули делятся, а аргументы вычитаются.

Корень n 3й степени из комплексного числа z определяется как комплексное число w , удовлетворяющее равенству wn z :

где k 0,1,2, ,n 1.

Любое комплексное число z 0 имеет ровно n различных корней n 3й степени.

Комплексные функции действительного переменного

менного.

Параметр t изменяется в некотором конечном или бесконечном интервале.

Годографом функции z t называется линия с параметрическими уравнениями x x t и y y t .

Непрерывность комплексной функции z t эквивалентна непреC рывность ее действительной и мнимой частей x t и y t .

81

Производная комплексной функции действительного переменного определяется как предел отношения приращения функцииz z t t z t к приращению независимой переменной t :

z t lim z .

t 0 t

Производная z t является комплексной функцией. Геомет3

рически, вектор, изображающий комплексное число z t0 параллелен касательной к годографу функции z t , проведенной в точке, соотC ветствующей значению параметра t0 .

Справедливо z t x t iy t , то есть комплексную функцию действительного переменного z t x t iy t можно дифференциC

ровать как обыкновенную сумму, считая i просто постоянным. Разумеется, это правило приобретает смысл только после введенных выше определений. Все правила дифференцирования действительных функций без всяких изменений переносятся на комплексные функции.

Показательная функция с мнимым показателем степени опреC деляется как комплексная функция

eit cost i sin t ,

где t может принимать любые действительные значения.

Приведенная формула носит название формулы Эйлера. Правая часть формулы представляет собой тригонометрическую форму записи комплексного числа с модулем, равным 1, и аргументом, равным t :

eit 1, Argeit t .

Годографом функции z eit служит единичная окружность. Комплексная функция eit дифференцируется так же, как если бы i

было просто постоянным числом:

eit sin t i cost i cost i sin t ieit .

Заменив в формуле Эйлера t на t , получим e it cost i sin t

( eit и e it – комплексно сопряженные выражения).

82

Тригонометрические функции cost и sin t можно представить через показательные функции действительного переменного в виде

Эти формулы также называются формулами Эйлера.

Решение уравнений

Уравнение Pn x 0 , где Pn x a0 xn a1xn 1 an , называется алгебраическим уравнением n Cой степени; коэффициенты a0 ,a1, ,an – действительные или комплексные числа, a0 0 .

Основная теорема высшей алгебры. Всякое алгебраическое ураC внение степени n 0 имеет хотя бы один корень, действительный или комплексный.

Справедливо Pn x x Qn 1 x R , где Qn 1 x – многочленn 1 Cй степени. Если C корень многочлена Pn x , то R P 0 и

Pn x x Qn 1 x

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P x на двучлен

x равен значению этого многочлена при x .

Из предыдущего следует разложение многочлена Pn x на линейC ные множители:

Pn x ao x x1 k1 x x2 k2 x xr kr ,

где k1,k2, ,kr – кратности корней x1, x2, , xr соответственно; r – число различных корней; k1 k2 kr n . Таким образом, алгебраическое уравнение n 3й степени имеет n корней, если каждый корень считать столько раз какова его кратность.

Если все коэффициенты a0 ,a1, ,an – действительные числа, то

комплексные корни уравнения (если они есть) попарно сопряжены. Тогда любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень. Для произведения комплексно сопряженных корней справедливо:

x i x i x2 px q ,

83

Откуда следует возможность разложения многочлена с действиC тельными коэффициентами в виде:

Pn x a0 x x1 k1 x xs ks x2 p1x q1 l1 x2 pt x qt lt ,

где k1 ks 2 l1 lt n , ki – кратности действительных корней, l j – кратности комплексно сопряженных корней.

Не существует формул, пользуясь которыми можно было бы при помощи конечного числа алгебраических действий выразить корни через коэффициенты таких уравнений (решить уравнение в радиC калах), если степень n 5. При n 3 и n 4 соответственно испольC зуются формулы Кардано и Феррари. При n 1 и n 2 получим соответственно линейное или квадратное уравнение.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Неопределенный интеграл

Первообразной для функции f x на данном интервале называется

тегральной функцией, дифференциал dx указывает на то, что интеC грирование ведется по переменной x.

Правила интегрирования (свойства неопределенного интеграла)

1.d f x dx f x dx.

2.dF x F x C .

84

3.f x dx f x .

4.af x dx a f x dx , где a – постоянная.

5.( f1 x f2 x )dx f1 x dx f2 x dx .

6.Если f x dx F x C и u x , то f u du F u C .

5.ex dx ex C.

6.sin xdx cos x C.

7.cos xdx sin x C.

85

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Преобразование интеграла к табличному при помощи внесения некоторой функции под знак дифференциала

Пример.

Вычисляются при помощи выделения полного квадрата:

используют одну из четырех последних формул, приведенных выше в таблице основных интегралов.

86

2. Метод замены переменной (подстановки)

Замена переменной (иногда называемая также подстановкой) состоит в том, что вместо переменной x в подынтегральное выражение f x dx вводится функция x t :

f x dx f t t dt.

Функцию (t) следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части последнего раC венства.

3. Интегрирование по частям

Производится по формуле

udv uv vdu ,

где u(x), v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. Подынтегральное выражение разбивается на две части, одну из коC

торых принимают за u, а другую – за dv так, чтобы интеграл vdu выC

числялся проще, чем исходный.

Метод позволяет вычислять интегралы видов:

где P x – многочлен.

Для интегралов типа I в формуле интегрирования по частям приC нимается P x u , а для интегралов типа II – P x dx dv .

Пример. Вычислить x ln xdx .

87

Интегрирование рациональных функций разложением на простейшие дроби

Рассмотрим отношение двух алгебраических многочленов (назыC

вается рациональной функцией или рациональной дробью) f x QPmn xx ,

Pm x b0 b1x bm xm , Qn x a0 a1x an xn ,

88

x2 2x 3 A2 B x3 A1 A2 A2 2B C x2

A1 A2 A2 B 2C x A1 A2 C

Теорема позволяет свести интегрирование рациональных функций к интегрированию простейших дробей, входящих как слагаемые в

разложение Pm x .

Qn x

Для предыдущего примера имеем:

89

В случае m n следует предварительно выделить целую часть рациональной дроби и представить ее в виде

f x N x Pm1 x , m1 n,

Qn x

где N(x) – многочлен.

Интегрирование тригонометрических функций

1. При вычислении интегралов вида sin x cos xdx,

cos x cos xdx, sin x sin xdx используются формулы:

sin x cos x 12 sin sin , cos x cos x 12 cos cos , sin x sin x 12 cos cos .

2. При вычислении интегралов вида sinm x cosn xdx (m, n – целые числа) при нечетном m используется замена cos x t, sin xdx dt ; при нечетном n – замена sin x t, cos xdx dt ; если обе степени m и n – четные и неотрицательные, то используются формулы:

Использована замена cos x t .

3. Интегралы вида R sin x,cos x dx , где R – рациональная функция

своих аргументов, сводится к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

90