1556

Инвариантность формы полного дифференциала

Теорема. Полный дифференциал функции z f u,v сохраняет

один и тот же вид, независимо от того, являются ли ее аргументы u,v независимыми переменными или функциями от независимых переменных.

dz uz du vz dv.

Указанное свойство справедливо и для функций n независимых переменных.

Свойства дифференциала

Для любых двух функций u и v, имеющих непрерывные частные производные в точке х, справедливы следующие свойства:

1)d u v du dv ;

2)d uv udv vdu ;

Предполагается, что частные производные от функций, стоящих в скобках (слева), непрерывны в точке х.

Дифференцирование неявных функций

Неявная функция одного переменного определяется уравнением F x, y 0 (в общем случае оно может и не определять функцию,

Fy x0 , y0 0 , то уравнение F x, y 0 при значениях x, близких к x0 , имеет единственное непрерывно зависящее от x решение y x такое, что x0 y0 .

Функция y x имеет также непрерывную производную.

Если F x, y 0 определяет неявную функцию y x , то должны

иметь:

F x, x 0;

71

dxdy 22xy xy , y 0 .

Если F x, y, z 0 определяет z как некоторую функцию z x, y ,

то аналогично

z Fx ; z Fy .x Fz y Fz

Геометрические приложения дифференциального исчисления функций двух переменных

Уравнение касательной плоскости в точке M0 x0 , y0 , f x0 , y0 z z0 fx x0 , y0 x x0 fy x0 , y0 y y0 .

Нормальный вектор N fx , fy , 1 .

Уравнение нормали определится как уравнение прямой, проходящей

через точку M0 x0 , y0 , f x0 , y0 и имеющей направляющим вектором a N fx , fy , 1 .

Пусть теперь поверхность задана не в виде z f x, y , а неявно уравнением

F x, y, z 0 .

72

Если выполнены условия теоремы существования неявной функC ции в окрестности точки M0 x0 , y0 , z0 , то определяется неявная

функция z f x, y и

fx x0 , y0 Fx x0 , y0 , z0 ; Fz x0 , y0 , z0

xx0 , y y0 , z z0 );

–уравнение нормали

Например, напишем уравнения касательной плоскости и нормали в

73

Производная по направлению

Пусть дана гладкая кривая Г

xx t ;

yy t ;

zz t .

( x(t), y(t), z(t) имеют производные в точке t).

Рассмотрим дифференцируемую в точке (x,y,z) функцию трех переменных u u x, y, z . По правилу дифференцирования сложной

функции

u u x t , y t , z t F t

будем иметь:

du u dx u dy u dz . dt x dt y dt z dt

В частном случае, когда параметр t совпадает с длиной дуги s:

где cos , cos , cos – направляющие косинусы направляющего вектора n касательной к кривой Г в точке М.

M(x(s),y(s),z(s))

(x0,y0,z0)

y

x

74

ной функции u(x,y,z) вдоль кривой Г или производной по направлению вектора n.

Вектор

Тогда, если P0 x0 , y0 – стационарная точка, то при:

1.B2 AC 0 точка Р0 – точка экстремума:

максимум при A<0, C<0,

минимум при A>0, C>0;

2.B2 AC 0 точка Р0 не является точкой экстремума;

75

3. B2 AC 0 никакого заключения о характере стационарной точC ки сделать нельзя (требуются дополнительные исследования).

Условный экстремум

На линии L, определяемой в плоскости xOy уравнением x, y 0 (уравнение связи), найдем точку P x, y , в которой функция z f x, y

принимает наибольшее или наименьшее значения по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки называются точками условного экстремума

функции f x, y на линии L.

Для определения точек условного экстремума часто используется метод множителей Лагранжа. Здесь отыскание условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа x, y f x, y x, y , где – неопределенный

постоянный множитель.

Возможные точки условного экстремума определятся из необходимых условий экстремума функции Лагранжа:

(достаточные условия не приводятся).

Задачи о наибольших и наименьших значениях функции

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z f x, y в замкнутой области, нужно найти все максимумы или

минимумы функции, достигаемые внутри этой области, а также наибольшее или наименьшее значения функции на границе области (наибольшее из всех этих чисел и будет искомым наибольшим значеC нием, а наименьшее – наименьшим).

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов (МНК) состоит в выборе функции

yi – полученные экспериментально значения y в точке xi .

76

Откуда

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Комплексным числом z называется упорядоченная пара чисел x, y , x Re z – действительная, y Im z – мнимая части. Запись числа z в виде z x iy называется алгебраической формой комплексного числа. Символ i называется мнимой единицей ( i2 1).

x . Множество R действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел ( R C ).

Два комплексных числа z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2 называются равC

ными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, то есть z1 z2 при x1 x2 и y1 y2 . В частности, комплексное

число z x iy равно нулю тогда и только тогда, когда x y 0 .

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Два комплексных числа z x iy и z x iy , отличающиеся тольC ко знаком мнимой части называются сопряженными.

78

плексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой.

Величина угла между положительным направлением действительC

комплексного числа z 0 не определен. Аргумент комплексного числа

79

Используя формулу Эйлера ei cos i sin , комплексное число z можно записать и, в так называемой, показательной (или экспоненC

x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i y1 y2 .

Вычитание определяется как действие, обратное сложению:

x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i y1 y2 .

Произведением комплексных чисел z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2 назыC вается комплексное число, определяемое равенством:

x1 iy1 x2 iy2 x1x2 y1y2 i x1y2 y1x2 . Получается путем перемножения двучленов x1 iy1 и x2 iy2 с

учетом i2 1:

x1 iy1 x2 iy2 x1x2 iy1x2 iy2x1 i2y1y2 x1x2 y1y2 i x1y2 y1x2 .

Частное двух комплексных чисел находят путем умножения числиC теля и знаменателя на число, сопряженное знаменателю (избавляются от мнимости в знаменателе):

модули перемножаются, а аргументы складываются, то есть z1 z2 r1 cos 1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2

= r1 r2 cos 1 2 i sin 1 2 .

Откуда следует формула Муавра для возведения комплексных чисел в натуральную степень:

zn r cos i sin n r n cos n i sin n .

80