1556

Так как по теореме Лагранжа f x2 f x1 f x2 x1 (форC мула Лагранжа), то приращение функции на интервале равно произC ведению производной в некоторой промежуточной точке интервала на приращение независимой переменной.

Теорема Лопиталя.

Пусть функции f(x) и x совместно стремятся к нулю или к .

Если отношение их производных имеет предел, то отношение самих функций также имеет предел, равный пределу отношения произC водных, т.е.

0 ( часто используется для раскрытия неопределенностей вида 0 , ).

Пример.

Теорема справедлива и для х (– ).

Поведение функции в интервале

Необходимый признак монотонности определяет теорема:

–если функция f(x) в интервале возрастает, то ее производная f (x) 0;

–если f(x) в интервале убывает, то f (x) 0;

–если f(x) в интервале не изменяется (f(x)=const), то f (x) 0.

Геометрический смысл теоремы: если точка М(х,у) при движении

по графику функции слева направо поднимается, то касательная к графику образует острый угол (tg >0); если М(х,у) опускается, то касательная образует тупой угол (tg <0).

В интервале монотонности знак производной не может измениться на обратный.

61

Достаточный признак монотонности определяет теорема:

–если f (x) всюду в интервале >0, то f(x) в этом интервале возрастает;

–если f (x) всюду в интервале <0, то f(x) в этом интервале убывает;

–если f (x) всюду в интервале =0, то f(x)=const в этом интервале. Значения х, в которых производные обращаются в нуль, назыC

ваются стационарными точками функции.

Экстремум функции

При исследовании функций особую роль играют те точки, которые отделяют интервалы возрастания и убывания (или убывания и возрасC тания). В этих точках функция меняет характер своего изменения.

Определение. Точка х0 называется точкой максимума (минимума)

функции f(x), если f(x0) есть наибольшее (наименьшее) значение функции f(x) (в некоторой окрестности точки x0).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Функция на данном интервале может иметь несколько экстремуC

мов, называемых локальными (местными).

Глобальный

минимум

a b x

Необходимый признак экстремума: если в точке x0 функция f(x) достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна нулю либо не существует.

Равенство f (x0)=0 следует из теоремы Ферма.

Геометрически: в точке экстремума касательная к графику функции параллельна оси Ох.

Функция может иметь экстремумы и в отдельных точках, в которых она недифференцируема (рис. 9).

62

Выпуклость и вогнутость линии. Точки перегиба

Определение. Дуга называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более, чем в двух точках.

Если дуга выпуклая, то она целиком лежит по одну сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Для непрерывных функций y=f(x) линии, обращенные выпуклостью вверх, называются выпуклыми, а обращенные выпуклостью вниз – вогнутыми. Выпуклая линия лежит под своей любой касательной, вогнутая – над касательной.

Особую роль играют точки перегиба, отделяющие на линии выпуклую дугу от вогнутой. В точке перегиба касательная пересекает линию, в окрестности этой точки линия лежит по обе стороны от касательной.

Теорема. Если производная f (x)<0 всюду в интервале, то дуга линии y=f(x), соответствующая этому интервалу, выпуклая. Если f (x)>0, то вогнутая.

y

x

При увеличении х здесь tg уменьшается, то есть f (x) убывает, и f (x)<0, и наоборот, если f (x)<0, то линия y=f(x) выпукла.

Аналогично для f (x)>0.

Из этой теоремы особенно ясен смысл второго достаточного признака экстремума. Например, если f (x0)>0, f (x)<0, то вершина кривой, соответствующая точке x0, лежит на выпуклой части линии y=f(x), то есть x0 – точка максимума.

Признаки точки перегиба

Необходимый признак: если x0 – абсцисса точки перегиба, то либо f (x)=0, либо f (x) не существует (следует из того, что абсцисса точки перегиба разделяет два интервала монотонности f (x), т.е. является точкой экстремума).

64

Первый достаточный признак: точка (x0,y0) есть точка перегиба линии y=f(x), если f (x) меняет знак при переходе х через х0. При перемене знака с плюса на минус участок вогнутости сменяется участком выпуклости; при перемене знака с минуса на плюс участок выпуклости сменяется участком вогнутости.

Второй достаточный признак точки перегиба: точка (x0,y0) есть точка перегиба линии y=f(x), если f (x0)=0, а f (x0) 0:

при f (x0)>0 выпуклость меняется на вогнутость;

при f (x0)<0 вогнутость меняется на выпуклость.

Асимптоты линий

Прямая линия называется асимптотой линии, если расстояние точки линии до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Различают вертикальную и наклонную асимптоты.

х=а есть вертикальная асимптота кривой y=f(x), и обратно, если х=а есть асимптота, то выполняется одно из вышеприведенных равенств.

Если y=kx+b –наклонная асимптота линии y=f(x), то

Общая схема исследования функций

Предлагаемая схема включает 4 раздела.

1.Исследование без использования производной.

1.1.Область определения функции.

1.2.Симметрия графика (четность, нечетность функции).

1.3.Точки разрыва и интервалы непрерывности.

65

Пишут

lim f x, y A.

x x0 y y0

Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке М0(x0,y0) G, если

Свойства непрерывных функций

1. Если f(x,y) определена и непрерывна в замкнутой и ограC ниченной области G, то в этой области найдется, по крайней мере, одна точка N0(x0,y0), такая, что для всех других точек области

f x, y f x0 , y0 M ,

и, по крайней мере, такая одна точка N0 (x0 ,y0 ), что для всех x, y G f x, y f x0 , y0 m.

Здесь M, m – наибольшее и наименьшее значения функции в области G. Следовательно, непрерывная в замкнутой ограниченной области G функция достигает, по крайней мере, один раз наибольшего значения М и наименьшего – m.

2. Если f(x,y) непрерывна в замкнутой и ограниченной области G, то для любого числа , такого, что

m M , найдется точка x0 , y0 G , что

f x0 , y0 .

Если f(x,y) непрерывна в замкнутой и ограниченной области и принимает как положительные, так и отрицательные значения, то внутри G найдутся точки, в которых f(x,y)=0.

67

Частные производные

По определению частная производная по х функции f(x,y) есть

Как видим, частная производная по х функции f(x,y) есть проC изводная f(x,y) по х, вычисленная в предположении, что у – поC

Полный дифференциал и его связь с частными производными

Определение. Функция z f x, y , для которой приращение z x, y может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно х и у, и бесконечно малой величины высшего порядка относительно , называется дифференцируемой в точке (x,y), а линейная часть приращения

f x, y x f x, y y dz ( df)

x y

называется полным дифференциалом функции f(x,y) в точке (х,у).

Если f(x,y) имеет непрерывные частные производные в точке (x,y), то она дифференцируема в этой точке и имеет полный дифференциал

dz xz dx yz dy ;

где dx, dy C дифференциалы независимых переменных x и y . Например, для z x2 y имеем: dz 2xydx x2 dy.

Теорема. Полный дифференциал функции z f x, y при х=х0, у=у0 изображается приращением аппликаты точки касательной

68

плоскости, проведенной к поверхности z f x, y в ее точке

M0 x0 , y0 , z0 .

При малых х и у справедливо:

Соотношение часто используется при приближенных вычислениях значений функции z f x, y .

Производные и дифференциалы высших порядков

Если z f x, y имеет частные производные

z fx x, y ,

x

z fy x, y .

y

которые в свою очередь имеют частные производные, то они называются частными производными второго порядка и:

Дифференцируя производные второго порядка, получим производные третьего порядка; частная производная n3го порядка есть первая производная от производной (n–1)Cго порядка.

69

Теорема. Если функция z=f(x,y), ее частные производные xz , yz ,

2 z , 2 z определены и непрерывны в точке M(x,y) и в некоторой

x y y x

непрерывны, то они равны между собой.

Аналогичная теорема справедлива для функций любого числа переменных.

Производная сложной функции

Для дифференцируемой функции z f u,v , где u u x , v v x –

также дифференцируемые, имеем:

z f u x ,v x F x ,

dz dF z du z dv . dx dx u dx v dx

Производная dxdz называется полной производной (не путать с частной

z

производной x !); приведенная формула является обобщением

правила дифференцирования сложной функции одной переменной. Если z f u,v ; u u x, y ; v v x, y , то

Так, из z exy sin x y следует z eu sin v ; u xy ; v x y ;

z

Аналогично определится y .

70