1556

Примером точки разрыва первого рода (рис.8) является точка x = –1 для функции

x = 1 непрерывна.

y

Рис.8

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Производная функции

Определение. Производной функции y= f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при

51

определяется f (x0)).

Геометрический смысл производной

Теорема. Если значение производной от функции y= f(x) при х=х0

равно f x0 y x x0 , то прямая, проведенная через точку М0(х0,y0) с угC

ловым коэффициентом, равным f (x0), является касательной к графику функции в точке М0.

Касательная и нормаль к линии

Уравнение касательной к линии в точке M0(x0,y0) определяется как уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) с угловым коэффициентом, равным f (x0):

y y0 f x0 x x0 .

Уравнение нормали определяется как уравнение прямой, проC ходящей через точку M0(x0,y0) перпендикулярно касательной:

y y0 f 1x0 x x0 .

52

Основные правила дифференцирования

Предполагается, что слагаемые, сомножители, делимое, делитель непрерывны и имеют производные при рассматриваемых значениях независимой переменной.

1)с = 0;

2)х = 1 ;

3)(u v)= u v ;

4)(cu) = cu ;

5)(uv) = u v + uv ;

6)u u v 2uv ; v v

7)если y=f(u), u=u(x), то есть, если y=f[u(x)], где f(u) и u(x) имеют

производные, то

yx yuux ,

8) если y=f(х) и х= (y) взаимно обратные функции, то

y f 1x .

Формулы для дифференцирования основных функций

8) sin u cosu u ;

53

Для нахождения производных степенноCпоказательных и некотоC рых других функций применяется логарифмическое дифферен3

цирование (состоит в нахождении логарифмической производной

ln f x ff xx ).

Так, из y x x следует

ln y x ln x. Дифференцируя по x обе части. получим

1y yx x ln x x ln x

Производные неявных функций

Если y задана уравнением, связывающим независимую переменную х с функцией y, не разрешенным относительно y, то производную от этой функции можно найти, дифференцируя по х обе части уравнения, с учетом того, что y есть функция от х, определяемая этим уравнением.

Например, для неявно заданной функции y2 x ln xy имеем

2xy2 y xy y x y .

Разрешая относительно y , получим

54

Дифференцирование параметрически заданных функций

Если х= (t); y= (t), то

yx tt .

Дифференциал

f (x) на бесконечно малую:

y f x ,x

y f x x x

( 0 при х 0).

Первое слагаемое f (x) х – главная часть приращения, линейная относительно х (при f (x) 0); называется дифференциалом функции и обозначается dy или df(x).

Для функции y= x имеем:

yx x 1 dy dx 1 x.

Таким образом, дифференциал dx независимого переменного x совпадает с его приращением х.

Поэтому

dy f x dx .

Имеем f x dxdy (производную f (x) можно рассматривать как

отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного).

Из

f x x f x f x dx

следует

55

Геометрический смысл дифференциала

y

T

y+dy

M1

y+ y

dy

нечно малой более высокого порядка, чем отрезок MR.

Свойства дифференциала

1.d u v w du dv dw .

2.d uv vdu udv ; d(cu) = cdu.

производные f u и x, то y fu x dxdy dudy dxdu ; правая часть равенства

получается из левой просто умножением и делением на du (du 0). Выражение для дифференциала функции y=f(и) сохраняет свой вид, независимо от того, является ли ее аргумент и независимой переменной или функцией от независимой переменной (свойство инвариант3 ности).

5. Непосредственно из п.4 следует правило дифференцирования обратной функции:

56

Дифференцируемость функции

Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х, если y A x 0 x .

Геометрически дифференцируемости функции соответствует сущеC ствование у линии y=f(x) касательной, не перпендикулярной к оси ОХ.

Из дифференцируемости f(x) следует ее непрерывность:

lim y f x y f x x

x 0 x

и у 0 при х 0, y=f(x) непрерывна в точке х.

Обратное не всегда верно.

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть y=f(x) имеет производную f (х) в некотором интервале незаC висимой переменной х. Тогда производная от f (х) называется проC изводной второго порядка или второй производной функции f(x):

в частности, производная второго порядка или вторая производная функции f(x):

Функция f (x) в точке x определяет скорость изменения f (x), то есть f (x) – ускорение изменения функции f(x) при данном х.

Производные f x в данной точке могут существовать до опC

ределенного порядка, а производных высшего порядка функция в этой точке может и не иметь.

Однако всякая элементарная функция, за исключением, быть моC жет, отдельных точек, имеет в своей области определения производные любых порядков.

57

Например, для y xn :

y nxn 1,

y n n 1 xn 2,

…

y n n!,

y n 1 y n 2 0.

Производные неявных функций

Для отыскания высшей производной неявных функций надо соответствующее число раз продифференцировать заданное уравнение, связывающее х и у, помня, что у и все ее производные есть функции х.

Например,

x2 y2 1.

2x 2yy 0 x yy 0, y xy ;

1 y y yy 0 y 1 y 2 y

Производные параметрически заданных функций

Из х= (t), y=f(t) следует:

… .

58

Дифференциалы высших порядков

Определение. Дифференциалом nCго порядка dny называется диффеC ренциал от дифференциала (nC1)Cго порядка как функции х:

d n y = d ( d n C 1 y ) .

В частности,

d 2 y d dy dy dx.

Замечая, что dx от х не зависит, получим:

d 2 y f x dx dx f x dx dx f x dx2.

Аналогично

d n y f n x dxn .

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций

Приведем несколько широко используемых теорем.

Теорема Ферма. Если y=f(x), непрерывная в интервале [х1, х2], принимает свое наибольшее (или наименьшее) значение во внутренней точке этого интервала (х1< <х2), то есть, если в точке существует функция f(x), то обязательно производная f 0 или не существует.

Геометрический смысл теоремы Ферма

y

М

Касательная к графику функции в его наивысшей (наинизшей) точке параллельна оси абсцисс или не существует.

59

Теорема Ролля. Если функция y=f(x): непрерывна в замкнутом интервале [х1, х2], дифференцируема во всех его внутренних точках; имеет на концах интервала равные значения, то в интервале [х1, х2] существует хотя бы одно значение х= , для которого f ( )=0.

Геометрический смысл теоремы Ролля

На линии y=f(x), где f(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

y

М

f(x1)= f(x2)

x1 x2 x

Теорема Лагранжа (о конечных приращениях).

Если функция f(x): непрерывна в замкнутом интервале [х1,х2], дифференцируема во всех его внутренних точках, то в этом интервале существует хотя бы одно значение х= , для которого

fx2 f x1 f . x2 x1

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

Теорема утверждает, что если во всех точках дуги АВ существует касательная, то на этой дуге найдется точка С между А и В, в которой касательная параллельна хорде АВ.

f(x2)–f(x1)

A

60