1556

Плоскость в пространстве

Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение

Ax By Cz D 0 ,

где A2 B2 C2 0 .

Частные случаи расположения плоскости, определяемой общим уравнением:

A 0 параллельна оси Ox ; B 0 параллельна оси Oy ; C 0 параллельна оси Oz ;

D 0 проходит через начало координат;

A B 0 перпендикулярна оси Oz (параллельна плоскости xOy ); A C 0 перпендикулярна оси Oy (параллельна плоскости xOz ); B C 0 перпендикулярна оси Ox (параллельна плоскости yOz ); A D 0 проходит через ось Ox ;

B D 0 проходит через ось Oy ;

C D 0 проходит через ось Oz ;

A B D 0 совпадает с плоскостью xOy ( z 0 ); A C D 0 совпадает с плоскостью xOz ( y 0 ); B C D 0 совпадает с плоскостью yOz ( z 0 ).

Если в общем уравнении плоскости коэффициент D 0 , то, разделив все члены уравнения на D , уравнение плоскости можно привести к виду:

ax by cz 1.

(Здесь a DA , b DB , c CD ). Это уравнение плоскости называется

уравнением в отрезках: в нем a, b, c – соответственно абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Ox, Oy, Oz.

Положение плоскости в пространстве полностью определяется точкой M0 x0 , y0 , z0 , лежащей на этой плоскости, и перпендикулярным

ей вектором n A, B,C . Уравнение этой плоскости имеет вид:

A x x0 B y y0 C z z0 0

и называется уравнением плоскости с нормальным вектором n .

Уравнение плоскости в пространстве с направляющими век0 торами. Даны точка M0 x0 , y0 , z0 и направляющие ненулевые векторы

31

p l,m,n и q l ,m ,n . Найдем уравнение плоскости, проходящей через M0 с направляющими векторами p и q . Для всех тех и только тех точек

M, которые принадлежат плоскости, векторы M0M (x x0 , y y0 , z z0 ) , p и q компланарны, то есть их смешанное произведение

Получили искомое уравнение плоскости.

Как следствие получим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1 x1, y1, z1 , M2 x2, y2, z2 , M3 x3 , y3 , z3 ,

Из компланарности M0M (x x0 , y y0 , z z0 ) x x0, p,q следует их линейная зависимость:

x x0 sp tq .

Откуда получим параметрические уравнения плоскости x x0 sl tl ;

y y0 sm tm ; z z0 sn tn .

Расстояние d от точки M0 x0 , y0 , z0 до плоскости Ax By Cz D 0 вычисляется по формуле

d Ax0 By0 Cz0 D . A2 B2 C2

Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя

32

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей вытеC кают из условий коллинеарности и ортогональности нормальных векC торов n1 и n2 .

Уравнение

A1x B1y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0

при произвольном значении определяет некоторую плоскость, прохоC дящую через прямую пересечения плоскостей A1x B1y C1z D1 0 и A2 x B2 y C2 z D2 0 , то есть некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих через эту прямую (уравнение пучка плоскостей).

Прямая в пространстве

Каждая прямая в пространстве может быть задана системой двух линейных уравнений:

A1x B1y C1z 0,A2 x B2 y C2 z 0

(эти уравнения определяют две плоскости, пересечением которых и служит данная прямая).

Положение прямой полностью определяется какойCнибудь ее точ3 кой M0 x0 , y0 , z0 и направляющим вектором a l,m,n , параллельным прямой. Для всех тех и только тех точек M, которые принадлежат пряC мой, векторы M0M и a коллинеарны, то есть их векторное произведение

равно 0 . Откуда получим следующие канонические уравнения прямой в пространстве

mn

nl

lm

При l,m,n 0 получим

33

Если одна из координат вектора a равна нулю, например, l 0 , то будем иметь

x x0 ,

y y0 z z0 . m n

Так что при l 0 прямая ортогональна Ox .

При l m 0 прямая ортогональна плоскости xOy . Аналогично и для других случаев.

Из предыдущего легко следуют параметрические уравнения

прямой:

Прямая и плоскость в пространстве

Угол между прямой с направляющим вектором a l,m,n и

A2 B2 C2 l 2 m2 n2

Условие параллельности прямой и плоскости (векторы a и n ортоC гональны): Al Bm Cn 0 .

Условия перпендикулярности прямой и плоскости вытекают из условия коллинеарности векторов a и n : a n .

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 x0 , y0 , z0 и перC пендикулярной прямой с направляющим вектором a l,m,n , запиC сывается в виде:

l x x0 m y y0 n z z0 0 .

34

Для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости необходимо решить систему уравнений, состоящую из параметC рических уравнений прямой и уравнения плоскости.

Поверхности второго порядка

Поверхностями второго порядка называются такие множества точек в пространстве, координаты которых удовлетворяют уравнению вида

Ax2 By2 Cz2 Dxy Eyz Fzx Gx Hy Kz L 0 .

При помощи поворотов и параллельного переноса осей координат это уравнение может быть преобразовано к простому каноническому виду. Основные канонические уравнения и названия соответствующих поверхностей (рис. 6):

а) x2 y2 z2 1 – эллипсоид, a2 b2 c2

м) x2 0 – пара совпадающих плоскостей.

35

Рис. 6

36

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Переменные и постоянные величины. Множества

Под переменной величиной понимается величина, которая в процессе изучения какогоCлибо явления принимает хотя бы два различных значения.

Величина, которая при исследовании данного явления принимает только одно значение, называется постоянной.

Множество – это совокупность, собрание какихCлибо объектов произвольной природы.

Объекты, входящие в данное множество, называются элементами множества.

Обозначения

1.х А – элемент х принадлежит множеству А;

2.х А, x A – х не входит в множество А;

3.А В (В А) – множество А включено в В, то есть, если х А, то

х В;

А– подмножество множества В;

, – знаки включения.

4.– пустое множество; А, где А – любое множество.

5.Для обозначения множеств широко употребляют фигурные скобки, внутри которых тем или иным способом описываются их элементы.

Например,

N 1,2, ,n, – множество натуральных чисел;

{0,1,2,3,…} – множество целых неотрицательных чисел; Z , 2, 1,0,1,2, – множество всех целых чисел;

Q m

, где m, n Z, n 0 – множество рациональных чисел.

n

6. А=В – множества А и В равны: А В, В А.

Операции над множествами

1. Сумма (объединение) множеств А и В – множество С=А+В (С=А В), состоящее из элементов множеств А и В (А+А=А).

А В

АВ

37

2. Произведение (пересечение) множеств А и В есть множество С=А В (или С=АВ), состоящее из элементов, одновременно принадлежащих множеству А и множеству В (А А=А).

АВ

А В

Если АВ , то А и В не пересекаются.

3. Разность множеств А и В есть множество С=А\В, состоящее из элементов А, не содержащихся в В.

В общем случае (А\В)+В А.

А\В

А В

1.А+В=В+А.

2.(А+В)С=АС+ВС.

3.(АВ)С=А(ВС).

4.(А+В)+С=А+(В+С).

Логические символы:

1.– из предложения следует предложение .

2.– предложения и эквивалентны: из следует , из следует .

3.х А: – для всякого элемента х А имеет место предложение ( – квантор всеобщности).

Кванторы (от лат. quantum – сколько) – логические эквиваленты слов «все», каждый и т.п.

4.y B: – существует элемент y B, для которого имеет место предложение ( – квантор существования).

5.– не ; отрицание предложения .

Отрезок, интервал, ограниченное множество

1. Отрезок, сегмент [a,b] – множеcтво чисел х, удовлетворяющих неравенствам: a x b.

2. Интервал, открытый отрезок (a,b): a x b.

3. Полуоткрытые отрезки, полуинтервалы [a,b), (a,b]: a x b;. a x b.

4. Окрестность точки с – интервал (a,b): a c b.

38

5. – окрестность точки с: (с– , с+ ). Неравенства для абсолютных величин:

1.a a ;

2.a b b a b ;

3.a b a b.

a b a b .

Предел последовательности. Сравнение величин

Пусть каждому n=1,2,3,… поставлено в соответствие число хn. Этим

определена последовательность чисел

xn x1, x2, x3, .

Говорят, что переменная xn пробегает значения последовательностиxn , хn – элементы xn .

Примеры

4. 1,4,9, n2 .

Впримерах 1, 2, 3 последовательности ограничены.

Впримере 4 последовательность ограничена снизу, но не ограC ничена сверху.

Определение. Число а называется пределом последовательности

Заметим, если lim xn a, то lim xn 1 a , и обратно. Действительно, из lim xn a следует xn a при n > n0. Отсюда xn 1 a при n > n0 – 1. Верно и обратное.

39

Теорема 1. Если переменная хn имеет предел, то он единственный. Теорема 2. Если {xn} сходится, то она ограничена.

Теорема 3. Если последовательность действительных чисел не убыC вает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) числом М (соотC ветственно m), то существует действительное число а, не превышающее М (не меньшее m), к которому эта последовательность стремится как к своему пределу:

lim xn a M

n

lim zn a .

n

Арифметические действия с переменными, имеющими предел

Если существуют конечные пределы {xn}, {yn}, то существуют и пределы последовательностей:

В последнем случае предполагается, что limyn 0.

Число e определяется как предел ограниченной и возрастающей последовательности

Функция

Пусть Е – множество чисел. И пусть каждому х Е поставлено в соответствие одно число y Е1. Тогда говорят, что на Е задана однозначная функция y=f(x).

40