1556

вид:

y2 2 px . Вид этой параболы приводится на рис. 3.

y

Рис. 3

Длина фокального радиусаCвектора определится в виде r x 2p

( p 0 ).

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Расстояние между точками A x1, y1, z1 и B x2, y2, z2 вычисляется по формуле

d x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .

Если отрезок с концами в точках A x1, y1, z1 и B x2, y2, z2 делится точкой C x, y, z в отношении , то координаты точки С опредеC

Цилиндрические координаты. Положение точки M(x,y,z) в проC странстве можно определить ее аппликатой z и полярными координатами r OP и xOP проекции P этой точки на координатную плоскость

xOy. Величины r, , z называются цилиндрическими координатами точки

23

М. Декартовы прямоугольные и цилиндрические координаты точки связаны соотношениями x r cos , y r sin (аппликаты в обеих системах одинаковы).

Сферическая система координат задает положение точки M(x,y,z) следующими тремя величинами: расстоянием r OM , угломzOM и углом между плоскостями zOx и zOM. Величины r, , называются сферическими координатами точки М. Прямоугольные и сферические координаты связаны соотношениями:

x r sin cos , y r sin sin , z r cos .

Векторы

Вектором называется направленный отрезок AB, у которого точка A рассматривается как начало, а точка В — как конец.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Вектор a может быть единственным образом представлен в виде a xi yj zk

(разложение вектора a по осям координат или разложение по ортам). Здесь x,y,z – проекции вектора a на соответствующие оси координат (координаты вектора a ), i , j , k – орты этих осей (единичные векторы, направления которых совпадают с положительными направлениями соответствующих осей).

Векторы xi , yj , zk называются составляющими (компонентами) вектора a по осям координат.

Длина (модуль) вектора a обозначается a и определяется по

формуле a x2 y2 z2 .

Направление вектора a определяется по направляющим косинусам углов , , , образованных a с осями координат (направляющие косинусы)

cos2 cos2 cos2 1.

24

Для точек A x1, y1, z1 и B x2, y2, z2 разложение вектора AB по

ортам имеет вид

AB x2 x1 i y2 y1 j z2 z1 k .

Его длина совпадает с расстоянием между точками A и B

Действия над векторами. Скалярное произведение Произведение вектора на число. Сумма и разность векторов

Произведением вектора a на число называется вектор a , коллинеарный вектору a , имеющий модуль a и направленный одиC

впадает с началом вектора a b , а конец — с концом вектора b (правило треугольника).

Разность векторов a b определяется как сумма векторов a и – b (рис. 5). Если a x1, y1, z1 , b x2, y2, z2 , то

ab x1 x2, y1 y2, z1 z2 .

b

a b

a

Рис. 5

25

Вектор, начало которого совпадает с его концом, называется нулевым и обозначается 0 . Очевидно, 0 0,0,0 и a 0 a для люC бого вектора a .

Линейные пространства

Множества всех плоских или пространственных векторов, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств.

При этом nCмерным вектором называется упорядоченная совокупC ность n действительных чисел, записываемых в виде x x1, x2, , xn , где xi –iCя координата вектора x .

Два nCмерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты ( x y , если xi yi , i 1,n ).

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z x y , координаты которого равны сумме соответствующих

координат слагаемых векторов ( zi xi yi , i 1,n ).

Произведением вектора x на действительное число называется вектор u x , координаты ui которого равны произведению на соответствующие координаты вектора x ( ui xi , i 1,n ).

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют

для любого вектора x ;

7)Для любого вектора x существует противоположный вектор

x , такой, что x x 0 ;

8)1 x x для любого вектора x .

26

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше свойствам (рассмат0 риваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

Под x, y, z можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы, удовлетворяющие свойствам 1C8. В этом случае соответствующее множество R элементов называется линейным

пространством.

Размерность и базис векторного пространства

Вектор am называется линейной комбинацией векторов a1,a2 , ,am 1 векторного пространства R, если

am 1a1 2a2 m 1am 1 , где i – действительные числа i 1,m 1.

Векторы a1,a2 , am векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1, 2, , m , не равные одновременно нулю, что

1a1 2a2 mam 0 .

В противном случае векторы a1,a2 , ,am называются линейно

независимыми.

Если векторы a1,a2 , ,am линейно зависимы, то по крайней мере один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.

Линейное пространство R называется nCмерным, если в нем существуют n линейно независимых векторов, а любые n 1 векторов

уже являются зависимыми. Число n называется размерностью

пространства R.

Совокупность n линейно независимых векторов nCмерного пространства R называется базисом.

Т е о р е м а . Каждый вектор x линейного пространства R можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

Так, если e1 ,e2 , ,en – базис nCмерного линейного пространства R, то любой вектор x R можно единственным образом представить в виде:

x 1e1 2e2 nen .

27

Таким образом, вектор x в базисе e1 ,e2 , ,en определяется единC ственным образом с помощью чисел 1, 2, , n . Эти числа называются координатами вектора x в этом базисе.

При определении размерности линейного пространства используют следующую теорему: «Если e1,e2 , ,en – система линейно независимых векторов пространства R, и любой вектор x линейно выражается через e1,e2 , ,en , то пространство R является nCмерным, а векторы e1,e2 , ,en – его базисом».

Скалярным произведением векторов a x1, y1, z1 и b x2, y2, z2

называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними: a,b a b cos .

Свойства скалярного произведения

a,b a b cos ; (при a b имеем: a,b a,a a a 1 a 2 );

a,b 0 , если a 0 , либо b 0 , либо a b ;

a,b b,a (переместительный закон);

a, b c a,b a,c (распределительный закон);

b x2 i y2 j z2k , то скалярное произведение этих векторов находится по формуле a,b x1x2 y1y2 z1z2 .

Угол между векторами.

Угол между вектором и осями координат

Угол между векторами a и b определяется из соотношения

cos a,b . a b

Условие ортогональности двух векторов. Векторы a и b ортогоC нальны тогда и только тогда, когда a,b 0 .

28

Условие коллинеарности двух векторов. Векторы a x1, y1, z1 и b x2, y2, z2 коллинеарны тогда и только тогда, когда a b или

Проекция вектора b на направление вектора a , равная b cos ,

вычисляется по формуле

a,b

Прa b a .

Векторное и смешанное произведения

Векторным произведением векторов a и b называется вектор

ca,b , определяемый условиями:

1)вектор c перпендикулярен векторам a и b ;

2)модуль вектора c равен площади параллелограмма, построC

b x2 i y2 j z2k , то векторное произведение этих векторов находится по формуле

y1z2 z1y2, x1z2 z1x2, x1y2 y1x2 .

29

Свойства векторного произведения

1. a,b b,a , то есть векторное произведение не обладает переC местительным свойством.

Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять

местами знаки векторного и скалярного умножения:

a,b ,c = a, b,c .

При перестановке любых двух векторов смешанное произведение

2.Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке векторов:

a,b,c = b,c ,a = c ,a,b .

3.Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если они компланарны (параллельны одной и той же плоскости).

4.Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Если векторы заданы разложениями по ортам a x1i y1 j z1k ,

b x2 i y2 j z2k , c x3 i y3 j z3k , то их смешанное произведение вычисляется как определитель третьего порядка:

30