1556

При изучении двумерных случайных величин рассматриваются числовые характеристики одномерных составляющих X и Y : матема тические ожидания и дисперсии.

Для дискретных случайных величин X и Y

Наряду с ними рассматриваются также числовые характеристики условных распределений: условные математические ожидания Mx Y

и M y X и условные дисперсии Dx Y и Dy X . Эти характеристики

находятся по обычным формулам математического ожидания и дисперсии, в которых вместо вероятностей событий или плотностей вероятности используются условные вероятности или условные плот ности вероятности.

Условное математическое ожидание Mx Y случайной величины Y

при X x , есть функция от x и называется функцией регрессии или просто регрессией Y по X ; аналогично My X называется функцией

191

регрессии X по Y . Графики этих функций называются соответственно

линиями (кривыми) регрессии Y по X и X по Y .

Однако математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y недостаточно полно характеризуют двумерную случайную ве личину X,Y , так как не выражают степени зависимости ее состав

ляющих X и Y . Поэтому пользуются и другими характеристиками, к числу которых относятся корреляционный момент (ковариация) и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом (или моментом связи) Kxy случайных ве# личин X и Y называют математическое ожидание произведения центри#

i j

Для непрерывных величин:

Kxy X ax Yi ay f x, y dxdy .

В механической интерпретации, когда распределение вероятностей трактуется как распределение единичной массы на плоскости, точка

ax ,ay есть центр массы распределения; D X , D Y – моменты инерции распределения масс относительно точки ax ,ay ; Kxy –

центробежный момент инерции распределения масс. Непосредственно из определения Kxy следует:

1.Kxy = Kyx .

2.Корреляционный момент двух случайных величин равен мате# матическому ожиданию их произведения минус произведение ма# тематических ожиданий

Kxy M XY ax ay .

192

3. Корреляционный момент двух независимых случайных величин равен нулю.

Если X мало отличается от M X (т.е. она почти не случайна), то

корреляционный момент будет мал. Так что корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание.

Корреляционный момент зависит от размерностей X и Y , так как размерность корреляционного момента равна произведению размерностей X и Y . Чтобы избавиться от этого недостатка, вводят безразмерную характеристику – коэффициент корреляции:

лированными (несвязанными). Из независимости следует некорре# лированность. Обратное не всегда верно.

Если rx y = 0 , то это означает только отсутствие линейной связи

между случайными величинами. Любой другой вид связи может при этом присутствовать.

Если коэффициент корреляции двух случайных величин равен (по абсолютной величине) единице, то между этими случайными ве личинами существует линейная функциональная зависимость.

Для любых случайных величин X и Y коэффициент корреляции

2 Найти:

1) коэффициент а; 2) математические ожидания ax и ay ; 3) средние квадратичные отклонения x , y ; 4) коэффициент корреляции rxy .

193

Решение.

1.Коэффициент а найдем из условия

3.D X M X 2 M X 2

194

Отсюда коэффициент корреляции

Случайная величина ( X,Y ) называется распределенной по дву# мерному нормальному закону, если ее совместная плотность имеет вид:

Нормальный закон на плоскости определяется пятью параметрами:

ax ,ay , x , y ,rxy .

Если случайные величины X,Y подчиняются нормальному закону

на плоскости и при этом rxy 0 (то есть X,Y – некоррелированы), то

Как видим, здесь из некоррелированности составляющих X, Y

следует их независимость (равносильны понятия независимости и не коррелированности).

Элементы математической статистики

Математическая статистика занимается разработкой методов сбора, регистрации и обработки результатов наблюдений (измерений) с целью познания закономерностей случайных массовых явлений.

Основные задачи математической статистики:

– определение (приближенное) неизвестного закона распределения случайной величины;

195

–определение неизвестных параметров распределения (статисти ческие оценки);

–проверка правдоподобия гипотез о распределении.

Результаты измерений (наблюдений) называют статистическими данными. Вся исследуемая совокупность однородных объектов назы вается генеральной совокупностью. Совокупность объектов, отобран ных случайным образом из генеральной совокупности, называется

выборочной совокупностью или выборкой. Число объектов в совокупно сти называют ее объемом. Так, если из 10000 деталей для обследования отбирается 100 деталей, то объем генеральной совокупности N 10000 , а объем выборки n 100 . Метод, основанный на том, что по данным исследования выборки делается заключение о всей генеральной сово купности, называется выборочным методом.

Два основных способа составления выборки:

–повторная, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность;

–бесповторная, при которой отобранный объект не возвращается в генеральную совокупность.

Объекты выборки должны правильно представлять свойства генеральной совокупности; говорят, выборка должна быть репрезента# тивной (по закону больших чисел выборка будет репрезентативной, если каждый объект генеральной совокупности имеет одинаковую возможность попасть в выборку).

Количественное значение признака X , наблюдаемое при отборе, –

случайная величина; ее возможные значения x1, x2, , xk называются

вариантами. Числа ni ,i 1,k , показывающие, сколько раз встречаются варианты, называются частотами, а их отношение к общему числу

наблюдений Wi nni – относительными частотами или частостями.

Частоты и частости называются весами; Wi 1.

i

Изучение выборки начинают с составления статистического рас# пределения (таблицы значений признака, расположенных в возрастаю# щем порядке (вариационный ряд), и соответствующих им частот или относительных частот):

196

Если возможные значения признака изолированы друг от друга, то распределение называется дискретным; при непрерывном признаке – распределение интервальное. Составление статистического распреде ления начинают с определения наименьшего и наибольшего значений признака. Остальные значения записываются между ними в порядке возрастания. Далее подсчитываются частоты каждого значения при знака.

Для непрерывно варьируемого количественного признака интервал его изменения разбивают на частичные интервалы одинаковой длины. Число интервалов m следует брать не очень большим, чтобы после группировки ряд не был громоздким, и не очень малым, чтобы не потерять особенности распределения признака (по Стерджесу рекомендуемое число интервалов m 1 3,221lg n , а длина частичного

признаков в каждом интервале (обычно признак, находящийся на границе двух интервалов, относят к правой границе интервала).

вала находятся последовательным суммированием частот (частостей) всех предшествующих интервалов, включая данный).

Cтатистическое распределение дискретной случайной величины наглядно иллюстрируется полигоном распределения; представляет со бой ломаную, в которой концы отрезков имеют координаты xi ,ni .

ni

nk–1

n2

n1

Для наглядности распределений широко используются гистограммы. Это ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников с основаниями,

197

равными длине частичного интервала h , и высотами, равными от

ношениям Wi (относительная плотность частоты). Площадь частичного h

прямоугольника равна Whi h Wi – относительной частоте вариант, попавших в i й частичный интервал. Площадь всей ступенчатой фигуры равна сумме всех прямоугольников; S hWhi Wi 1.

Wi

h

Гистограмма относительных частот

Эмпирическая функции распределения F x определяет для каж#

дого значения X относительную частоту события X x : F x W (X x) nnx ,

где nx – число опытов, при которых наблюденные значения X были меньше x ;

n – общее число наблюдений (опытов).

Для данного x эмпирическая функция распределения представляет накопленную относительную частоту.

Различие между эмпирической функцией распределения F x и

теоретической функцией распределения F x состоит в том, что F x для заданного значения x определяет вероятность события X x ; а F x – определяет относительную частоту этого события. По теореме,

зовать F x вместо F x .

198

Функция F x обладает всеми свойствами функции F x :

1)значения эмпирической функции принадлежат отрезку 0,1 ;

2)F x – неубывающая функция;

3)если x1 наименьшее наблюденное значение признака, а xk – наи большее, то F x1 0 при x x1 и F xk 1 при x xk .

Выборочной средней статистического распределения называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты, деленная на сумму частот:

i 1

Если извлекать выборки одинакового объема из одной и той же генеральной совокупности, то выборочная средняя будет изменяться при переходе от одной выборки к другой (в силу случайного отбора она является случайной величиной).

Отметим основные свойства выборочной средней, аналогичные свойствам математического ожидания случайной величины:

1.Выборочная средняя постоянной равна самой постоянной.

2.Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то выборочная средняя увеличится (уменьшится) во столько же раз.

3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то выборочная средняя увеличится (уменьшится) на то же число:

4. Выборочная средняя отклонений вариантов от средней ариф метической равно 0:

m

xi x ni 0 .

i 1

199

5.Выборочная средняя алгебраической суммы нескольких при знаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков:

x y x y .

6.Если ряд состоит из нескольких групп, общая средняя равна выборочной средней групповых средних, причем весами являются объемы групп:

Групповой средней называется среднее арифметическое значение признаков, принадлежащих группе.

Общей средней называется среднее арифметическое значение признаков, принадлежащих всей совокупности.

Медианой Me вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину вариационного ряда наблюдений.

Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с четным числом членов – полусумме двух серединных вариантов

( для ряда 2 5 7 8 10 14 17 – Me = 8,

7 8 7,5 ).

2

Модой Mo вариационного ряда называется вариант, которому соот ветствует наибольшая частота.

Вариационный размах R – разность между наибольшим и наи меньшим вариантами ряда:

R xmax xmin .

Дисперсией Dв называется среднее арифметическое значение квад ратов отклонений вариантов от выборочной средней:

или

m

Dв xi xв 2 Wi .

i 1

200